精品解析：山西省大同市浑源县大联考2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024~2025学年高一10月质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 设、，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知集合或，，且，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为了增强公司凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中正确是（ ） A. B.  C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 若，则关于的不等式的解集为或 11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是_____________ 13. 已知集合有且只有两个子集，则的值为________. 14. 已知，，且，则最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若，请写出集合的所有子集； （2）若集合，且，求的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若为真命题，求的取值范围； （3）若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高一10月质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：D. 2. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 3. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 4. 设、，“且”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，，则“且”“”， 另一方面，当时，可取，， 则“且”“”， 因此，“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知集合或，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法将用、加以表示，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，其中、， 则， 所以，，解得， 所以，， 因为，， 所以，，， 由不等式的性质可得，即， 因此，的取值范围是. 故选：C. 7. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、，设这三项比赛都参加的员工人数为，作出韦恩图，可得出关于实数的方程，解之即可. 【详解】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、， 设这三项比赛都参加的员工人数为，根据题意得出如下韦恩图， 因为该公司共有名员工参加比赛， 则有， 即，解得， 因此，这三项比赛都参加的员工人数是. 故选：B. 8. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 则小于或等于的最小值， 因为， 即当时，取最小值，所以，， 因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B.  C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可判断A选项，根据集合与集合的关系可判断BC选项，利用集合相等可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，集合与集合之间没有包含关系，C错； 对于D选项，，D错. 故选：AB. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 若，则关于的不等式的解集为或 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；利用根与系数的关系可判断B选项；利用一元二次不等式的解法可判断C选项；设，利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为或，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，，则，B错； 对于C选项，由B选项可知，由可得， 可得，即，解得或， 所以，关于的不等式的解集为或，C对； 对于D选项，不妨设，其中，则，，， 由可得，可得， 即，即，解得， 此时，关于的不等式的解集为，D错. 故选：AC. 11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由重要不等式可得出，可判断A选项；利用基本不等式可得出，再利用基本不等式及不等式的性质可判断B选项；分析可知，关于的二次方程有实根，由可判断C选项；由基本不等式可得出，再利用立方和公式可判断D选项. 【详解】因为，，且， 对于A选项，由重要不等式可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，当且仅当时，等号成立，B对； 对于C选项，由题意可知，关于的二次方程有实根， 则，即，解得， 又因为，所以，，C对； 对于D选项，由可得， 由基本不等式可得， 可得，即， 因为，，则，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，，D对. 故选：BCD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是_____________ 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故答案：，. 13. 已知集合有且只有两个子集，则的值为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分析可知，关于的方程只有一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得.综合可得出实数的值. 【详解】因集合有且只有两个子集，则集合只有一个元素， 所以，关于的方程只有一个实根， 当时，即当时，方程为，解得，合乎题意； 当时，即当时，则有，解得. 综上所述，或. 故答案：或. 14. 已知，，且，则的最大值为____________. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】由已知条件，可变形为，利用基本不等式求出的最小值，可得的最大值. 【详解】已知，，且， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， 则有，，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若，请写出集合的所有子集； （2）若集合，且，求的取值范围. 【答案】（1）、、、 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. 【小问2详解】 解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，解两个集合中的不等式，得到这两个集合，再由定义进行补集和交集的运算； （2）时，讨论集合中不等式的解集，再由包含关系求的取值范围. 【小问1详解】 不等式，解得，则， 当时，不等式解得，则， 求，. 【小问2详解】 若，则， 方程的根为和， 当，即时，不等式无解，，满足； 当时，不等式解得，， 由，有，解得； 当时，不等式解得，， 由，有，解得. 综上可知，的取值范围为 17. 已知命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若为真命题，求的取值范围； （3）若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据不等式恒成立可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据题意可得出当时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围； （3）分真假、假真两种情况讨论，分别求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 对于命题，不等式恒成立，则， 即，解得， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为， 若命题为真命题，则，使得成立， 可得，可得，所以，， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为命题、有且只有一个是真命题，分以下两种情况讨论： 若真假，则，可得； 若假真，则，可得. 综上所述，若命题、有且只有一个是真命题， 实数的取值范围是或. 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1） （2）总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【解析】 【分析】（1）求出前面墙长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 前面墙的长度为米， 总报价，其中. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【小问1详解】 解：因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 【小问3详解】 解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$