特训06 相似三角形在特殊平行四边形的应用（由基础向压轴过渡，三大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

特训06 相似三角形在特殊平行四边形的应用（由基础向压轴过渡，三大模块） 目录： 模块1：基础+重点 模块2：压轴过渡题 模块3：压轴题专练 模块1：基础+重点 1．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为32，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明以及是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）设，结合矩形的周长解得的值，易得，，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）可知，， ∴， ∵矩形的周长为32， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 2．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【解析】（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 3．如图，四边形中，，，点M在线段上，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，由得，而，所以，则，则四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理求得，再证明，则，求得． 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 4．如图，点E在正方形的边上，以为边作正方形，连接交于点H．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接交于点O，连接，利用正方形的性质，平行线分线段成比例定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【解析】证明：如图，连接交于点O，连接． 四边形是正方形， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H． (1)求证：； (2)若，求证；四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质，可得．从而得到，再由，可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，即可求证． 此题考查平行四边形的性质，菱形的判定定理，相似三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是菱形． 6．如图， 在 中， 以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F ． (1)求证：四边形为菱形； (2)当， 时，求菱形的周长和面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)菱形的周长为，菱形的面积为． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明即可； （2）设，证明，可得，再进一步解答即可． 【解析】（1）证明：∵过点D作交于点E，交于点F， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵，， ， ∴， ∵四边形为菱形， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的作图的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键． 7．如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （）设，，则，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴矩形的周长． 8．如图，在中，，为边上的中线．四边形中，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)连结，交于点F，若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识: （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断； （2）证明推出，由此即可解决问题 【解析】（1）证明：∵ ∴四边形是平行四边形， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵ , ∵ ∴ ∴, ∴ 9．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，连接交边于点，连接．    (1)求证：； (2)如果平分，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得，从而证明，进而可得，，然后再证，从而可得，再结合（1）的结论可得，最后利用等角的余角相等可得，从而可得，进而利用菱形的判定方法即可解答． 【解析】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如下图：   平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 模块2：压轴过渡题 10．如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，则的长为______； (3)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）已知矩形中，根据矩形的性质可得，即可判定，根据相似三角形的性质可得，即可得； （2）过D作于H，可得，即可得，所以，设，则，，证明，得出，进而求得，进而即可求解； （3）由（2）可得，证明，得出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：为矩形， ，，， ， 是边的中点， , ； （2）解：过作于， ， ， ， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 在与中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，正确的作出辅助线是是解题的关键． 11．如图，已知，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求证：； (3)连接，若，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由，，可证得，即可证得，则得四边形为平行四边形； （2）由平行线分线段成比例定理，即可证得； （3）首先作辅助线：连接，交于点，连接，易证得，即可证得，则得到，又由，即可证得四边形为菱形． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ∴， ， 四边形为平行四边形； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：连接，交于点，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形中， ， 四边形为菱形． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理等．综合性很强，图形较复杂，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 12．如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，因为，得证四边形是矩形； （2）先由矩形的性质得证，则点是的中点．然后证明，代入数值化简，即可作答． 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 在中，，点是的中点， ， ， 四边形是矩形； （2）解：的值为定值． 理由：四边形是矩形，点为的中点， ，， ， ， ， ， 点是的中点． 如图，过点作的平行线，交于点， 为的中点． ， ， ， ， ， 与的大小无关，即与的大小无关， 当发生变化时，的值为定值． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题的难点在于过点作的平行线，构造相似三角形，从而将线段与之间的关系表示出来． 13．如图，在边长为3的菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，与相交于点，连接，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和三角形综合题．熟练掌握菱形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质，结合，判断出，即可得出结论； （2）根据（1）结论先判断出是等边三角形，得出，进而用等式的性质得出，推出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵在菱形中，，，且， ∴,， ∴， ∴， ∴ ，，， ∴ （2）证明：由（1）知，， ∴，， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ． 14．如图，和的斜边分别为正方形的边和，其中，线段与线段相交于． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，的面积是2，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，推出，即可得证； （2）证明，得到，三角形的面积公式求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可． 【解析】（1）证明：∵正方形， ，           ， ． ； 又 是等腰直角三角形； （2）， 的面积是2，且， ，得 ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 15．如图，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），过D作，交的延长线于G、F，连接． (1)求证：； (2)点E在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)若，当n为何值时，． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形得，，再由同角的余角相等得出，即可利用角边角证明，据此可证明结论； （2）①先求出，得出点E在运动过程中，能是等腰三角形，只能，设，在中，由勾股定理得出方程，求解方程即可得出的值；②先在中表示出，然后证明，得出，即，求解方程即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴； （2）解：点E在运动过程中，能是等腰三角形，理由如下： 由（1）知， ∴． ∴． ∴， ∴只能． 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 即， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值是； （3）解：在中，，设， 则，， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 整理得，． 解得：，（不合题意，舍去） ∴， ∴，即。 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16．如图，四边形和四边形都是矩形，三点在一直线上，连接并延长交边于点，． (1)求证：①：②若，求的值． (2)若，，请直接写出长 【答案】(1)①证明见解析；②； (2) 【分析】（）①证明即可求证；②证明可得，推出，进而得到，即可求解； （）利用勾股定理得到，由求出，再根据即可求解； 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 17．已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 【答案】(1)①见详解② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可得：，，，，结合四边形内角和可证得，②因为，所以得出，即可求得答案； （2）根据已知条件可证得，得出，进而得出，利用，即可得出答案． 本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【解析】（1）解：① 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ②∵， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 模块3：压轴题专练 18．如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)见解析； 【分析】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （2）①延长交于，设菱形的边长为，则，，求得，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形中位线定理得到； ②过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到． 【解析】（1）四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是； （2）①证明：延长交于， 设菱形的边长为，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ； ②解：过作交的延长线于， ，， ， ，， ， ， 由①知，， ， ． 19．问题提出 如图，已知点是菱形边上一点，是等腰三角形，且，，交于点探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图，求与的数量关系． 问题拓展 （3）将图特殊化，如图，当，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过证明求出，再同（2）构造全等三角形得到 ，再解直角三角形求出，进而求出即可解出． 【解析】（1）解：过点F作交延长线于H，如图所示： ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． ， 即； （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，如图所示： 设菱形的边长为， ， ， ∵四边形为菱形， ∴，， 在中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴由（2）知，． ， ， ，即， ， 如图，在上截取，使，连接，作于点O， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 20．如图1，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长与的延长线相交于点，若， ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）①根据正方形的性质，证明，得， 即，由（1）证得，即可得到； ②设，，则，根据，列出方程，解得，进而解决问题． 【解析】（1）证明：如图1，由旋转的性质，得，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①由旋转的性质可得，， 是等腰直角三角形， ， ， 在正方形中，， ，， ， ， ， 即， 由（1）证得， 又， ， ， ②设，，则， ， 整理得， ， 解得（负值舍去）， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．综合性较强，属于中考压轴题． 21．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 【答案】(1) (2)①1 ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．理由见解析 【分析】（1）由勾股定理求出，即可求出的周长． （2）①连接，通过证明，得到为的角平分线，，进而得出，再通过，得出，从而求的长，即可得到的长度． ②通过辅助线构造和，得出，，再根据点F的位置进行分类讨论判断，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵正方形， ∴， 在中，，，则， ∴的周长， 故的周长为． （2）解：①连接，如图， ∵正方形， ∴， 根据折叠的性质，，，． ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， 在和中，，， ∴． ∴，． ∴， ， ∵ ∴ ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴． ∴． ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对； 当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对． 理由如下： 延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图， 由正方形与折叠的性质得， ，， ∴对于和，，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 如图a，当点F在的延长线上时，， ∵，，， ∴； 如图b，当点F在线段上时，， ∵，，， ∴． 故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及分类讨论的能力．通过构造全等三角形证明是解决本题的关键． 22．如图 (1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； (2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 【答案】(1)； (2)，，理由见解析； (3)． 【分析】()证明，即可得到； ()证明，得到，，延长相交于点，可以证明； ()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解． 【解析】（1）解： ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为， 由()知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 23．在矩形中，，，将其绕点A逆时针旋转得到矩形． (1)如图1，若点E在上，连接，，交于点O． ①求证：平分． ②求的长． (2)如图2，若点A，E，C在同一条直线上，直线交于点P，将沿翻折得到，连接，求的长． (3)如图3，若射线交于点P，将沿，翻折得到，连接，当点P，H，B在同一条直线上时，设与交于点M，直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析  ② (2) (3) 【分析】（1）①根据旋转的性质，得到等腰三角形，结合等腰三角形的等边对等角性质，矩形的性质，平行线的性质证明平分． ②过点作于点，连接，利用矩形的性质，勾股定理求的长即可． （2）如图2，过点作于点．利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，计算的长即可． （3）根据旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，设未知数解方程求的的长即可． 【解析】（1）解：①证明：由旋转可得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴平分． ②解：如图1，过点作于点，连接． ∵四边形是矩形， ∴． 由①得平分， ∴． ∵四边形是矩形， ． ， ． 四边形是平行四边形． ． 在中，． 由勾股定理，得． 在中，， 由勾股定理，得 ． （2）解：如图2，过点作于点． 根据题意，得． 四边形是矩形， ． 在中，由勾股定理，得． 由翻折可知，． ． ． ， 即． 由勾股定理，得． ． ． ， ． ． 由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． （3）． 由旋转可知，． ． 由翻折可知， ． 在中，由勾股定理，得． ， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得． ， 解得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转性质，翻折性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相关性质，勾股定理和三角形相似的判定是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． (1)求直线的解析式； (2)直线有一点F，若与相似，求F点的坐标； (3)如图2，在直线上找一点G，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求出P点的坐标． 【答案】(1) (2)1或 (3)或 【分析】（1）由，得到，再由已知求出，即可得到，用待定系数法求直线的解析式即可； （2 ）由题意可知只有和两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求解即可； （ 3）设，，，为菱形对角线，，列出方程组，解得或，进而求出的值即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴的解析式为， 令，则 ∴ ∴， ∴，，，， ∵F点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴与相似时，只有和两种情况，此时F点必在x轴下方， ∴， ①当时，， ∴， ∴（舍）或； ②当时，， ∴， ∴或（舍）； 综上所述：t的值为1或； （3）解：设， ∵四边形是菱形，， ∴为菱形对角线，， ∴， 解得或， 当时，则， ， ； 当时，则， ， ； ∴P点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论，准确地计算是解题的关键． 25．如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，通过证明，可得 ，即可求解； （3）①先表示出，和，在证明基础上，代入求得结果； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，求得，表示出，，根据列出，进一步得出结果． 【解析】（1）过点作于，交于；如图， ，四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， 线段绕点逆时针旋转， ， ， 又， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2），， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）将绕点逆时针旋转至，如图2， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ①设，则，，，， 由（1）知：， ， ， ， ，舍去； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 26．如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． (1)若，，，求的长； (2)如图，若，，，连接交于点，求的长； (3)如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据进行计算即可求解； （2）由（1）得出，过点作交于点，根据平行线分线段成比例得出，证明，，得出比例式，代入数据即可求解． （3）根据已知条件证明，根据，证明，延长至，至，使得，，补形为正方形，证明是菱形，由，设，则，设，则，在中，根据勾股定理得出，的关系，进而求得，，由（1）得，进而根据，等量代换得出，即可求解． 【解析】（1）解：， ， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ， ，，， ； （2）解：，，， ，， ， ， ， ， 如图，过点作交于点， ， ，， 解得， ，， ， ， ， ， ， 解得； （3）解：平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，， ，，， ， 如图，延长至，至，使得，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 又， ， ， ，即是菱形， ， 又， 设，则， ， 设，则， ， ， 在中，，，， ， ， 整理得， ， ，即， ， ， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 27．已知正方形中，点E在边上（不与两端点重合）． (1)如图1，连接，若平分，，求正方形的面积； (2)如图2，将绕点A逆时针方向旋转得到线段，过点H作交于点F，直线交于点G，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若正方形的边长是4，点P是边上一点，且，连接，，将沿翻折到同一平面上的，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）如图，过作于，证明，可得正方形的边长，从而可得答案； （2）分两种情况讨论，延长交于M，连接，则和都是等腰直角三角形，得出，，证出，证明得出，，再证明，得出，再进一步即可得出结论． （3）如图，作，证明，可得，可得，，当三点共线，此时最短，此时，再进一步利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； （2）解：或； 理由如下：延长交于M，连接，如图所示：当落在的延长线上时， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 如图所示：当落在上时， 同理可得：，， ∴． 综上，线段间的数量关系为或． （3）解：∵正方形，， ∴，， 结合轴对称可得：， 如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当三点共线， 此时最短，此时， 而， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，角平分线的性质，二次根式的混合运算，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，其中全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 相似三角形在特殊平行四边形的应用（由基础向压轴过渡，三大模块） 目录： 模块1：基础+重点 模块2：压轴过渡题 模块3：压轴题专练 模块1：基础+重点 1．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为32，求的长． 2．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 3．如图，四边形中，，，点M在线段上，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 4．如图，点E在正方形的边上，以为边作正方形，连接交于点H．求证：． 5．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H． (1)求证：； (2)若，求证；四边形是菱形． 6．如图， 在 中， 以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F ． (1)求证：四边形为菱形； (2)当， 时，求菱形的周长和面积． 7．如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 8．如图，在中，，为边上的中线．四边形中，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)连结，交于点F，若，，则的长为______． 9．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，连接交边于点，连接．    (1)求证：； (2)如果平分，连接，求证：四边形为菱形． 模块2：压轴过渡题 10．如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，则的长为______； (3)连接，求证：． 11．如图，已知，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求证：； (3)连接，若，求证：四边形为菱形． 12．如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由． 13．如图，在边长为3的菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，与相交于点，连接，． (1)求证：． (2)求证：． 14．如图，和的斜边分别为正方形的边和，其中，线段与线段相交于． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，的面积是2，求长． 15．如图，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），过D作，交的延长线于G、F，连接． (1)求证：； (2)点E在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)若，当n为何值时，． 16．如图，四边形和四边形都是矩形，三点在一直线上，连接并延长交边于点，． (1)求证：①：②若，求的值． (2)若，，请直接写出长 17．已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 模块3：压轴题专练 18．如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 19．问题提出 如图，已知点是菱形边上一点，是等腰三角形，且，，交于点探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图，求与的数量关系． 问题拓展 （3）将图特殊化，如图，当，，求的值． 20．如图1，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长与的延长线相交于点，若， ①求证：； ②直接写出的值． 21．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 22．如图 (1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； (2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 23．在矩形中，，，将其绕点A逆时针旋转得到矩形． (1)如图1，若点E在上，连接，，交于点O． ①求证：平分． ②求的长． (2)如图2，若点A，E，C在同一条直线上，直线交于点P，将沿翻折得到，连接，求的长． (3)如图3，若射线交于点P，将沿，翻折得到，连接，当点P，H，B在同一条直线上时，设与交于点M，直接写出的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． (1)求直线的解析式； (2)直线有一点F，若与相似，求F点的坐标； (3)如图2，在直线上找一点G，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求出P点的坐标． 25．如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 26．如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． (1)若，，，求的长； (2)如图，若，，，连接交于点，求的长； (3)如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 27．已知正方形中，点E在边上（不与两端点重合）． (1)如图1，连接，若平分，，求正方形的面积； (2)如图2，将绕点A逆时针方向旋转得到线段，过点H作交于点F，直线交于点G，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若正方形的边长是4，点P是边上一点，且，连接，，将沿翻折到同一平面上的，连接，，请直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$