精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

三明一中2024-2025学年上学期高二10月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角大小（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点，以下各点一定在直线上的是（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，，，，G为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 方程表示点 B. 方程可表示过点的所有直线 C. 过两点的直线都可以用方程表示 D. 已知点，，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆恒相交 C. y轴被圆C截得的弦长为 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱BC的中点，F是侧面上的动点，且平面，则（ ） A. 点F到直线的距离为定值 B. 线段的长度最小值为 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则______． 13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 14. 如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过两点． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，D，E，F分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知椭圆E的两个焦点坐标分别为，并且经过点． （1）求E的标准方程； （2）在E上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M满足，当点P在E上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点P经过椭圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合）． 18. 已知圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆：的公共弦长； （3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）． （1）若，，求和； （2）若点M（2，1），，求的最大值； （3）已知点P，Q是直线l：上的两动点，问是否存在直线l使得，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2024-2025学年上学期高二10月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2. 直线的倾斜角大小（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到，根据计算得到答案. 【详解】直线，即，，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力. 3. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 4. 已知两点，以下各点一定在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. 5. 在四面体中，，，，G为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由向量加、减法，以及向量的线性运算法则即可求解. 【详解】， . 故选：D. 6. 已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在. 【详解】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为. 故选：D. 7. 直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，表示出边界线，根据所过点以及切线性质，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 当直线位于直线时，交点一定有两个， 由，则，易知， 设直线，由图可知为切线，则，解得， 由图可得：. 故选：C. 8. 已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知直线与直线垂直，直线经过定点，直线经过定点，因此点A在以为直径的圆上，因此. 【详解】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直； 易知直线经过定点，直线经过定点， 所以点A在以为直径的圆上， 的中点为，所以， 所以圆， 所以, 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 方程表示点 B. 方程可表示过点的所有直线 C. 过两点的直线都可以用方程表示 D. 已知点，，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将方程进行配方即可判断；对于B，点斜式方程能表示斜率存在且经过某个点的直线；对于C，两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线；对于D，观察可知，所以点P在线段AB上. 【详解】对于A，对方程进行配方可得， 所以，所以方程表示点，故A正确； 对于B，方程表示斜率为且过点的直线，故B错误； 对于C，两点式方程不适用于垂直坐标轴的直线，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以点P在线段上，故动点P的轨迹是线段. 故选：BCD 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆恒相交 C. y轴被圆C截得的弦长为 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由，则圆心，半径， ，故B正确； 对于C，令，整理圆的方程为，解得， 轴被圆截得的弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱BC的中点，F是侧面上的动点，且平面，则（ ） A. 点F到直线的距离为定值 B. 线段的长度最小值为 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质，利用面面平行判定定理，明确动点的轨迹， 对于A，根据平行线的性质，可得其正误； 对于B，根据等腰三角形的性质，根据勾股定理，可得其正误； 对于C，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得其正误； 对于D，根据线面角正弦值的向量公式，利用同角三角函数的平方式，可得答案. 【详解】由题意，分别取的中点为，连接， 分别以为轴建立空间直角坐标系，作图如下： 易知，由平面，则平面， 因为，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，，所以平面平面， 当时，平面，则平面， 对于A，由平行线的传递性知，故所求距离为定值，故A正确； 对于B，在中，设其高度为，则，解得， 在中，易知，为的中点时，取得最小值， ，故B正确； 对于C，由，则二面角与二面角的大小相同， 由图可知：，，，， 取，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量； 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量； 设二面角的大小为，则，故C正确； 对于D，由，则平面与平面为同一平面， 由C可知平面的一个法向量， 由图可知：，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则余弦值为，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，可得，解得. 故答案为：. 13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 14. 如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意作图，根据角平分线的性质以及椭圆的定义，可得的长，利用三角形中位线，可得答案. 【详解】由题意，延长交于，连接，如下图： 因为为的角平分线且，所以， 则，即， 在中，易知分别为的中点，即为中位线， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过两点． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标求得斜率，根据点斜式方程，可得答案； （2）根据直线平行写出直线的一般式，结合平行线距离公式求得参数，可得答案. 【小问1详解】 由题意知直线l的斜率， 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由两平行直线的距离公式得，即， 解得或，所以所求直线m的方程为或. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，D，E，F分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 因为为直三棱柱，所以， 又分别为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； (2) 根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算求出平面的法向量，再根据点到面的距离公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直三棱柱，且，以A为坐标原点， 分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为，又，即 所以点E到平面的距离. 17. 已知椭圆E的两个焦点坐标分别为，并且经过点． （1）求E的标准方程； （2）在E上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M满足，当点P在E上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点P经过椭圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合）． 【答案】（1） （2）轨迹方程为，轨迹是：以为圆心，5为半径的圆． 【解析】 【分析】（1）由已知，利用椭圆定义可求出，进而求得，即可得到椭圆E的标准方程； （2）设，，由，可得，代入椭圆方程即可. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 因为椭圆E的两个焦点坐标分别为，并且经过点 所以， 所以，， 所以E的标准方程为：. 【小问2详解】 设，，则，， 因为，所以，则 ， 又因为， 把代入上式得：， 所以点M的轨迹方程为，轨迹是：以为圆心，5为半径的圆． 18. 已知圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆：的公共弦长； （3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在定点 【解析】 【分析】（1）设圆方程为，代入已知三点组成方程组，解出即可得到圆的方程； （2）联立圆与圆的两方程相减得到公共弦的方程，求出圆心到公共弦的距离，再利用勾股定理，即可求得公共弦长； （3）假设在y轴上存在定点，设，，利用两点距离公式可得，由P满足圆方程，可得，即存在定点使得为定值. 【小问1详解】 设圆方程为， 因为圆过，，三点， 则，解得：, 所以圆方程为. 【小问2详解】 圆方程化为一般方程为：， 联立圆与圆两圆方程得： ， 两式相减得公共弦的方程：， 圆的标准方程为，圆心，半径为4， 圆心到直线的距离， 又圆的半径为4，所以公共弦长为. 【小问3详解】 假设在y轴上存在定点，满足题意， 不妨设，，则， 即：， ① 因为P为圆上任意一点，所以满足，即， 所以①式可化简为：， 那么，解得：或（舍去）， 所以存在定点使得为定值. 【点睛】关键点点睛：小问（2），两圆方程相减得到公共弦的方程；小问（3），假设在y轴上存在定点，设，，由两点距离公式可得关于的方程，又P满足圆方程，再由对应相等求出. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）． （1）若，，求和； （2）若点M（2，1），，求的最大值； （3）已知点P，Q是直线l：上的两动点，问是否存在直线l使得，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的公式，直接计算，可得答案； （2）根据圆的几何性质，结合向量夹角的余弦公式，结合函数思想，可得答案； （3）根据点与线的位置关系，结合题意，表示出距离，建立方程，分情况可得答案. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设N（x，y），由题意得：， 表示的图形是为圆心，1为半径的圆， 即点N在圆的边上运动，，， 可知：当取到最小值时， 最大，相应的有最大值． 因此，点ON与圆相切：可得 所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 ①当时，，则，，满足题意； ②当时，，则，，满足题意； ③当且时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 则，不合题意；综上，满足条件的直线有且只有两条，l：和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $