第3章 圆锥曲线与方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程 单元重点综合测试 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出，，求出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据题意，. 故选：A. 3．等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（    ） A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用等腰三角形的性质分析即可. 【详解】为等腰三角形且为底边，点在的中垂线上． 又为的中点时不能构成三角形，点的轨迹应是一条直线去掉一点． 故选：B 4．若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】由双曲线方程的结构特点列出不等式求解即可. 【详解】方程表示双曲线， ，解得， 故的取值范围为， 故选：A. 5．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解. 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 6．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【知识点】抛物线方程的四种形式与位置特征、求实际问题中的抛物线方程 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 7．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，点M是Γ上不与顶点重合的一点，满足，则Γ的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首项确定点在左支上，作的内切圆P，设内切圆P与切于点C，证明C点为双曲线的左顶点，从而根据，得到，从而得到，求出离心率. 【详解】因为，所以，，所以， 故M点在左支上，作的内切圆P，设内切圆P与切于点C，与切于点B，与切于点A， 连接，，PA，PB，PC，则，，， 且平分，平分， 由双曲线的定义可知：， 因为，，， 所以， 设点A坐标为，则，解得，故点A为双曲线的左顶点， 因为，所以，， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 8．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，表示出韦达定理，结合为锐角，即，代入韦达定理化简即可； 【详解】显然不满足题意， 设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，则，即，， 所以 ，解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】依次将，代入曲线方程验证方程是否成立即可. 【详解】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为； 对于A，，， 既关于轴对称，又关于轴对称，A正确； 对于B，，， 不关于轴对称，关于轴对称，B错误； 对于C，，， 既关于轴对称，又关于轴对称，C正确； 对于D，，， 关于轴对称，不关于轴对称，D错误. 故选：AC. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 11．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（   ） A．曲线的方程为： B．的最小值为1 C．为坐标原点，的最小值为 D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据曲线方程的求法求解判断A，由椭圆的定义及“1”的变形技巧运用均值不等式求最值判断B，根据题意知，转化后求椭圆上点到直线与原点距离和的最值判断C，利用斜率公式及椭圆方程化简计算斜率之积判断D. 【详解】对A，设，则，即， 化简得，故A正确； 对B，设椭圆另一个焦点为，如图， 由O为和中点可知四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足， 所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值， 显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确； 对D，设，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，与轴垂直，也在抛物线上，且，则 . 【答案】1 【知识点】数量积的坐标表示、根据抛物线上的点求标准方程、利用向量垂直求参数 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【详解】抛物线的焦点，由与轴垂直，得或， 显然点，当时，， 由，得，整理得，则， 当时，，， 整理得，则，此时，不符合题意， 所以. 故答案为：1 13．已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求解即得. 【详解】设椭圆的左焦点为，则，而，则， 则的周长为， 而，则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以周长的最大值为． 故答案为：    14．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为 .    【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，已知夹角的情况下，可以利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再有点的变化范围得到相应不等式，从得出取值范围。 【详解】设，， ， ∵， ∴， ， ， ， 或(舍去）， 令，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) （1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得，即得答案； （2）设，可得，；由得，结合椭圆方程求出，即得答案. 【详解】（1）椭圆C1：的焦点坐标为， 所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆C过点M，∴， ∴，∴椭圆的标准方程为. （2）由椭圆方程得，，，    设，则，； 由得：（1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，，即； 故点到轴的距离是． 16．(本小题满分15分) 已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程. (2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. (3)若为椭圆的上顶点，求的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)6 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可. （2）设，直线的方程为，与椭圆联立得到，再利用根系关系求证为定值即可. （3）根据弦长公式得到或，利用点到直线的距离公式得到，即可得到答案. 【详解】（1）由题意得解得. 故椭圆的方程为. （2）设，直线的方程为. 由得， 由,得, 则. 因为直线PM,PN均不与轴垂直.,所以，则且, 所以 为定值. （3）由（2）易得， 解得或. 当时,直线经过点，不符合题意，舍去. 则时，此时直线的方程为. 点到直线的距离, 故的面积. 17．(本小题满分15分) 已知椭圆C：的焦距为2，且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l：与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当时，求m的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用椭圆方程的关系求解即可； （2）由可得，设，，将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可 【详解】（1）由题意知，，， 又椭圆经过点，所以，解得， 所以，所以C的方程为. （2）因为在中， 因为P、Q不同于A，当时，， 此时，且， 设， 联立得，， 令解得， 所以，，① ，② 把①代入②并整理得：，解得（舍去）或. 故m的值为. 18．(本小题满分17分) 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据弦长求参数 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值. 【详解】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 19．(本小题满分17分) 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【知识点】求过一点的切线方程、求点到直线的距离、抛物线中存在定点满足某条件问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得； （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）法一：求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 法二：过分别作准线的垂线，连接，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明. 【详解】（1）由定义可知，与相切， 则圆的圆心到直线的距离等于1， 则，. （2）点不在直线族的任意一条直线上， 所以无论取何值时，无解. 将整理成关于的一元二次方程， 即. 若该方程无解，则，即. 证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在点处的切线方程为：， 即. 今直线族中， 则直线为， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对任意都是抛物线在点处的切线. 所以直线族的包络曲线为. （3）法一：已知，设， 则，； 由（2）知在点处的切线方程为； 同理在点处的切线方程为； 联立可得，所以. 因此， 同理. 所以，， 即，可得， 所以成立. 法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示： 则，因为，显然. 又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即. 同理可知， 所以，即. 则. 所以成立. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解包络曲线的定义，利用直线和曲线相切求出包络曲线的方程为并进行证明，再利用抛物线定义和性质即可得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程 单元重点综合测试 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（    ） A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 4．若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 7．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，点M是Γ上不与顶点重合的一点，满足，则Γ的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 8．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 11．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（   ） A．曲线的方程为： B．的最小值为1 C．为坐标原点，的最小值为 D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，与轴垂直，也在抛物线上，且，则 . 13．已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 14．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为 .    四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) （1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 16．(本小题满分15分) 已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程. (2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. (3)若为椭圆的上顶点，求的面积. 17．(本小题满分15分) 已知椭圆C：的焦距为2，且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l：与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当时，求m的值. 18．(本小题满分17分) 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 19．(本小题满分17分) 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$