第16练 圆锥曲线的综合问题（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第16练　圆锥曲线的综合问题 一、选择题 1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C. D．(0,1) 答案　D 解析　把方程x2＋ky2＝2化为标准形式得＋＝1，依题意有>2， 解得0<k<1.则实数k的取值范围是(0,1)． 2．已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得＝，整理得a＝59c，即＝.因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 3．若直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　) A．(1，] B．(，＋∞) C．(1，) D．[，＋∞) 答案　A 解析　由题意得双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，故有≤1，即＝＝e2－1≤1，所以e2≤2，所以1<e≤. 4．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q(0,7)，且PF＝PQ，则PF等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由抛物线C：x2＝8y，得F(0,2)， 因为PF＝PQ，所以P在线段FQ的中垂线y＝上， 所以yP＝，由抛物线的定义，得PF＝yP＋2＝. 5．(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列结论正确的有(　　) A．△PF1F2的周长为6 B．△PF1F2的最大面积为 C．存在点P使得·＝0 D．PM＋PF1的最大值为5 答案　ABD 解析　根据题意可得a＝2，b＝，c2＝a2－b2＝1. 对于A，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝6，故A正确； 对于B，△PF1F2的最大面积为·F1F2·b＝bc＝，故B正确； 对于C，若要存在点P使得·＝0，则⊥， 即点P在以F1F2为直径的圆上，且F1F2＝2，所以点P为以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，而椭圆的短半轴长为>r＝＝1，所以不存在点P，故C错误； 对于D，PM＋PF1＝PM＋2a－PF2＝4＋PM－PF2≤4＋MF2＝4＋1＝5，当且仅当点P为直线MF与椭圆在第四象限的交点时取等号，所以PM＋PF1的最大值为5，故D正确． 二、填空题 6．抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为________． 答案　2 解析　由题意知p＝4，准线l的方程为y＝－2， x2＋y2－6x＝0⇒(x－3)2＋y2＝9， 则圆心(3,0)到准线y＝－2的距离为2， 故弦长为2＝2. 7．若双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则b＝________. 答案　 解析　双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx， 即bx±y＝0，由对称性不妨取一条渐近线为bx＋y＝0. 则圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到直线bx＋y＝0的距离等于. 即＝，解得b＝(负值舍去)． 8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. 答案　3 解析　由题意知PF1＋PF2＝2a，⊥，所以PF＋PF＝(F1F2)2＝4c2， 整理得(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2，化简得PF1·PF2＝2b2， 所以＝PF1·PF2＝×2b2＝b2＝9，又b>0，所以b＝3. 9．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆C2：x2＋y2＝a2＋b2与双曲线C1在第一象限的交点为P，且sin∠PF2F1＝，则双曲线C1的离心率为________． 答案　 解析　由题意知，a2＋b2＝c2，所以圆C2是以F1F2为直径的圆， 由圆C2与双曲线C1在第一象限的交点为P， 得∠F1PF2＝， 由双曲线定义得PF1－PF2＝2a， 又因为sin∠PF2F1＝＝， 所以cos∠PF2F1＝＝， 得tan∠PF2F1＝＝3， 得PF1＝3PF2， 所以PF1＝3a，PF2＝a， 在Rt△PF1F2中，PF＋PF＝F1F， 即(3a)2＋a2＝(2c)2， 解得e＝. 三、解答题 10．椭圆E与＋＝1有共同的焦点，且经过点A. (1)求椭圆E的标准方程和离心率； (2)设F为椭圆E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求·的最大值． 解　(1)椭圆E与＋＝1有共同的焦点，可设椭圆E的方程为＋＝1(t>－8)， 由椭圆E经过点A，可得＋＝1，解得t＝－5或t＝－(舍)． ∴椭圆E的标准方程为＋＝1， 离心率e＝＝. (2)由(1)可得F(－1,0)，设M(x0，y0)，则＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)， ·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3－x ＝x＋x0＋3， ∵－2≤x0≤2， ∴x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2∈[2,6]． ∴·的最大值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $