直线与圆锥曲线单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

南京市励志高级中学创新班 直线与圆锥曲线单元测试卷 命题人：蒋恒峰 审核人：蒋恒峰 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦距为（　　） A．4 B．4 C． D．2 3．已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 10．若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为 B．若，则三角形的周长为 C．的最小值是 D．双曲线的焦点到渐近线的距离是2 11．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．长轴长为4且一个焦点为的椭圆的标准方程是 . 13．已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，N是C上一点，过点N作l的垂线，垂足为P，若，则的面积为 ． 14．点是抛物线：与双曲线：的一条渐近线的交点（异于原点），若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题（本题共6小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解． 已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长． 16．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程． 17．已知点，点B为直线上的动点，过点B作直线的垂线l，且线段的中垂线与l交于点P． (1)求点P的轨迹的方程； (2)设与x轴交于点M，直线与交于点G（异于P），求四边形面积的最小值． 18．已知椭圆E：过点，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点． 19．已知圆：，点，是圆上的一个动点，线段的中垂线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若点，过点A的直线与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与平行的直线与C交于P、G两点，求的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A A C D C BD BC 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】先求得，进而求得抛物线的焦点坐标. 【详解】根据抛物线的方程可知，，则， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D 2．A 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】由，得， 所以椭圆焦点在轴上，且， 所以，焦距. 故选：A 3．A 【分析】将点代入抛物线的方程，即可求解，再结合抛物线的公式，即可求解 【详解】点在抛物线上，为抛物线的焦点， ，解得， 故抛物线的方程为，,， 则的面积． 故选：A． 4．A 【分析】由焦点到渐近线的距离为，结合垂直平分线得出，再转换可得离心率  ． 【详解】，渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为， 又由题意，所以， 而渐近线是的垂直平分线，则， 所以，， 故选：A． 5．A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 6．C 【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 【详解】由题意抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可得：， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号． 即的最小值是3． 故选：C. 7．D 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 所以设（）， 因为椭圆的离心率， 即，解得：， 由于点在第一象限， 所以双曲线的离心率， 因为，则，即， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D. 8．C 【分析】根据给定条件，可得圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆，再求出即可. 【详解】依题意，圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆， 由对称性得，则，， 则椭圆的焦距. 故选：C 9．BD 【分析】求出给定的两个椭圆的长短半轴长、半焦距及离心率，再逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 10．BC 【分析】由双曲线方程可直接得到；由的关系和向量垂直得到，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D. 【详解】对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误； 对于，由，即，设，因为， 则，所以，解得，则的周长为，故B正确； 对于，易知，故C正确； 对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即， 所以焦点到渐近线的距离为，故错误. 故选：. 11．BD 【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D. 【详解】解：对于A选项，设，则，即， 所以， 又，所以当时，，故A错误， 对于B选项，由椭圆定义，，故B正确 对于C选项，当为短轴端点时， ，，，故，进而，故C错误， 对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确. 故选：BD 12． 【分析】由已知求得即可得出结果, 【详解】由已知可得椭圆的长轴长为4且一个焦点为， 所以且焦点在轴上，, 椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 13． 【分析】根据抛物线定义易知是等边三角形，且，利用三角形面积公式求面积. 【详解】 记l与x轴的交点为M，则． 因为，所以是等边三角形， ，， 所以的面积为． 故答案为： 14． 【分析】先根据条件求出点的坐标，再结合点到抛物线的准线距离为，得到，再代入离心率计算公式即可得到答案 【详解】解：抛物线：的准线方程为， 取双曲线：的一条渐近线：， 与抛物线联立，解得或，故， 点到抛物线的准线的距离为， ，化为， 双曲线的离心率， 故答案为： 15．． 【分析】若选①：根据焦半径公式即可求出p，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求． 【详解】若选①： 在抛物线上，且， ，则p＝1； 若选②： ∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1； 故抛物线的方程为． 联立，可得， 设，，则，， ． 16．(1)； (2)或. 【分析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a； (2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值. 【详解】（1）∵短轴长为2，∴，∴， 又∵点在C上，∴，∴， ∴椭圆C的标准方程为； （2）由(1)知， ∵当直线l斜率为0时，不符合题意， ∴设直线l的方程为：， 联立，消x得：， ∵， ∴设，，则， ∵，∴，∴， 即，解得， ∴直线l的方程为：或. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程； （2）设出直线，联立方程，得出，用表示出四边形的面积，结合基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意点到直线的距离与到点的距离相等，所以点P的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以方程为. （2）设直线的方程为，，则. 如图，设与轴的交点为，则易知为的中位线，所以. 联立，得，， 不妨设，则， 四边形面积为 , 当且仅当时，取到最小值，所以四边形面积的最小值为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）由椭圆上的点和离心率列方程求得，即可得到椭圆方程； （2）由题意，设直线l的方程为，联立方程组利用韦达定理可得，，进而题意求得点的坐标，再由分别直线AQ和直线BQ的方程可得点和点，从而利用以上条件代入化简的值，进而即可得证点F为线段CD的中点. 【详解】（1）由题意得 解得，． 所以椭圆E的方程是． （2）椭圆E的右焦点F的坐标为， 由题意，设直线l的方程为． ，整理得． 因为， 所以，设直线l交椭圆E于点，， 则，． 由直线l的方程，令，解得， 所以，． 所以直线AQ的方程为，． 令，解得，所以． 直线BQ的方程为，． 令，解得，所以． ． 由于，． 则 ， 所以线段CD的中点为F． 19．(1)(2) 【分析】（1）根据几何图形，结合椭圆的定义，即可求解； （2）首先转化，再利用直线与椭圆方程联立，利用两点间距离公式求弦长，即可求解比值. 【详解】（1）因为，所以 由椭圆的定义可知：Q的轨迹C的方程为：. （2）设过原点且与平行的直线和距离为，则 由题意可知直线AM的斜率一定存在.则设直线AM的方程为，直线OP的方程为，则， 由，得. 则-2，是方程的两个根，，所以，所以， 又， 所以. 由得.设， 则，， 所以. 所以，. 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $