第七章 三角函数 知识归纳与题型突破（26类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第七章　三角函数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、任意角的概念 1.角的概念 (1)定义:一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形; (2)顶点:射线的端点称为角的顶点; (3)始边和终边:射线旋转的　开始　位置和　终止　位置称为角的始边和终边; (4)图示:如图所示,射线OA绕端点O,按箭头所示方向旋转到OB便形成角α.点O是角α的顶点,射线OA和OB分别是角α的始边和终边. 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 按　逆时针　方向旋转所形成的角 负角 按　顺时针　方向旋转所形成的角 零角 没有作　任何　旋转所形成的角 要点诠释：对角的概念的理解:①初中对角的概念的定义是:从一点出发的两条射线所形成的图形.由于没有涉及旋转方向和旋转量,所以只能表示0°到360°范围内的角,而且重点表示0°到180°范围内的锐角、直角、钝角和平角.而任意角的定义是在初中对角的定义的基础上增加了“旋转”的含义,从而角的范围由0°~360°推广到任意的正角、负角;②角是一个图形,因此角是一个几何概念,角的正负取决于旋转的方向,角的大小取决于旋转量. 二、平面直角坐标系中的任意角 1.象限角 以角的顶点为　坐标原点　,角的始边为　x轴正半轴　,建立平面直角坐标系.这样,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角. 2.轴线角 如果角的终边在　坐标轴　上,称这个角为轴线角. 3.终边相同的角 一般地,与角α终边相同的角的集合为　{β｜β＝k·360°＋α,k∈Z}　. 要点诠释：(1)对终边相同的角的理解:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成一个集合,它们彼此相差k·360°(k∈Z),即S＝{β｜β＝α＋k·360°,k∈Z}.①终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合; ②α是任意角且k为整数;③k·360°与α之间用“＋”连接;④终边相同的角的表示形式不唯一,如{x｜x＝k·360°-90°,k∈Z}与{x｜x＝k·360°＋270°,k∈Z}均表示终边在y轴的负半轴上的角的集合. (2)各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α｜k·360°＜α＜k·360°＋90°,k∈Z} 第二象限角 {α｜k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°,k∈Z} 第三象限角 {α｜k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°,k∈Z} 第四象限角 {α｜k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°,k∈Z} 三、弧度制 1.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的,记作1° 弧度 制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.记作1 rad(rad可省略不写) 2.弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 要点诠释：特殊角的角度与弧度的对应值表: 度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度数 0 π 度数 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度数 2π 四、任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义 (1)一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r,则r＝.此时,点P是角α的终边与半径为r的圆的交点(如图所示),规定: ①比值叫作α的正弦,记作sin α,即sin α＝; ②比值叫作α的余弦,记作cos α,即cos α＝; ③比值　(x≠0)　叫作α的正切,记作tan α,即tan α＝. (2)　sin α　,　cos α　,　tan α　分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.这三种函数都称为α的三角函数.  2.三角函数值的符号 如图所示: 正弦:　一、二　象限正,　三、四　象限负; 余弦:　一、四　象限正,　二、三　象限负; 正切:　一、三　象限正,　二、四　象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 要点诠释：对三角函数定义的再理解:①三角函数是一个以角为自变量,以比值为函数值的函数,当角用弧度数表示时符合函数的定义;②任意角的三角函数定义是锐角三角函数定义的推广,采用的方法是坐标法,即先在角α的终边长任取一点P,再确定OP的长r及P点的坐标(x,y),就可以r,x,y之间的比值定义三角函数,其中sin α∈Z＝,f:R→[-1,1],定义域是R,值域是[-1,1],对应关系是角α终边上点P的纵坐标与OP长度之比;cos α＝,f:R→[-1,1],定义域是R,值域是[-1,1],对应关系f是角α终边上点P的横坐标与OP长度之比;tan α＝,f:{α｜α≠＋kπ,k∈Z}→R,定义域是{α｜α≠＋kπ,k∈Z},值域是R,对应关系f是角α终边上点P的纵坐标与横坐标之比. 五、有向线段 1.有向线段的概念 规定了　方向　(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. 2.有向线段的数量 把规定了　正方向　的直线称为有向直线.若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上　正　号或　负　号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB. 六、三角函数线 有向线段　MP　,　OM　,　AT　分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线,都称为三角函数线. 要点诠释：(1)三条有向线段与x轴或y轴正方向同向的为正向线段,为正值;与x轴或y轴负方向同向的为负向线段,为负值;(2)单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具,借助它,不但可以解决比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题,而且可以直观地研究同角三角函数间的基本关系. 七、同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于　1　 商数 关系 　tan α　＝ 角α的　正切　等于同一个角α的正弦、余弦的商 要点诠释：同角三角函数的基本关系解读:①注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α＋cos23α＝1成立,但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立;②注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立,而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立. 八、诱导公式一~四 1.公式一 sin(α＋2kπ)＝　sin α　(k∈Z);  cos(α＋2kπ)＝　cos α　(k∈Z);  tan(α＋2kπ)＝　tan α　(k∈Z).  2.公式二 sin(-α)＝　-sin α　;  cos(-α)＝　cos α　;  tan(-α)＝　-tan α　.  3.公式三 sin(π-α)＝　sin α　;  cos(π-α)＝　-cos α　;  tan(π-α)＝　-tan α　.  4.公式四 sin(π＋α)＝　-sin α　;  cos(π＋α)＝　-cos α　;  tan(π＋α)＝　tan α　.  要点诠释：(1)诱导公式的记忆方法与口诀:①记忆方法:2kπ＋α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值,如sin(π＋α),若α看成锐角,则π＋α在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin(π＋α)＝-sin α. (2)诱导公式的作用:通过诱导公式可以把求任意角三角函数值问题化成求锐角三角函数值问题,具体做法是:①负角正角;②绝对值大于2π的角(0,2π)范围的角;③（,π）范围的角（0,）范围的角;④（π,）范围的角（0,）范围的角;⑤（,2π）范围的角（0,）范围的角. 九、诱导公式五、六 1.公式五 sin＝　cos α　;cos＝　sin α　.  2.公式六 sin＝　cos α　;cos＝　-sin α　.  要点诠释：公式五、六的记忆方法与口诀:①记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”. 十、函数的周期性 1.周期函数 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为A.如果存在一个　非零的常数T　,使得对于任意的x∈A,都有x＋T∈A,并且　f(x＋T)＝f(x)　,那么函数f(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的　正数　,那么,这个最小的　正数　就叫作f(x)的　最小正周期　. 3.三角函数的周期性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω＞0)的周期为; (2)函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω＞0)的周期为. 要点诠释：对周期函数定义的再理解:①并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一;②如果T是定义在A上的函数f(x)的一个周期,并且对任意x∈A,都有x＋nT∈A(n∈Z且n≠0),那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期;③函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数,则只需研究它在一个周期范围内的性质,就可以知道它的整体性质. 十一、正弦曲线、余弦曲线 1.正弦曲线 正弦函数y＝sin x,x∈R的图象叫作正弦曲线. 2.正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①利用正弦线画出y＝sin x,x∈[0,2π]的图象; ②将图象向左、向右平行移动(每次　2π　个单位长度). (2)五点法: ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点　(0,0)　,,　(π,0)　,,　(2π,0)　,用光滑的曲线连接; ②将所得图象向左、向右平行移动(每次　2π　个单位长度). 3.余弦曲线 余弦函数y＝cos x,x∈R的图象叫作余弦曲线. 4.余弦函数图象的画法 由cos x＝sin,知y＝cos x的图象可由y＝sin x图象向左平移个单位得到. 要点诠释：(1)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象;若x∈R,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x,x∈R和y＝cos x,x∈R的图象;(2)将y＝sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x,x∈R的图象,因此y＝sin x,x∈R与y＝cos x,x∈R的图象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同. 十二、正弦函数、余弦函数的性质 　　函数 图象与性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 　R　 　R　 值域 　[-1,1]　 　[-1,1]　 周期性 最小正周期为　2π　 最小正周期为　2π　 奇偶性 　奇　函数 　偶　函数 　　函数 图象与性质 　 y＝sin x y＝cos x 单调性 在 (k∈Z)上　单调递增　; 在 (k∈Z)上　单调递减　 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上　单调递增　; 在[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上　单调递减　 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) 最值 x＝　2kπ＋,k∈Z　时,ymax＝1;x＝　2kπ-,k∈Z　时,ymin＝-1 x＝　2kπ,k∈Z　时,ymax＝1;x＝　2kπ＋π,k∈Z　时,ymin＝-1 要点诠释：(1)正、余弦函数的单调性:正弦函数、余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调. (2)三角函数的最值与单调性之间的联系:如图,由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象可知:图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期,两个最大值之间有一个最小值,从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋之间构成的区间为减区间,最小值点x0＋与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间,从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调递减区间为［kT＋x0,kT＋（x0＋）］(k∈Z),单调递增区间为［kT＋（x0＋）,kT＋(x0＋T)］(k∈Z). (3)三角函数的最值与周期性之间的联系:由三角函数图象可知,相邻两个最大值之间的区间长度为周期T,相邻最大值与最小值之间的区间长度为,相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为. 十三、正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期性 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 在区间上单调递增 对称性 对称中心 要点诠释：(1)画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指,(0,0),,“两线”是指x＝-和x＝,大致画出正切函数在上的 简图后向左、向右扩展即得正切曲线;(2)正切曲线由无数条曲线组成,每相邻的两条曲线之间有一条垂直于x轴的渐近线x＝kπ＋(k∈Z),画正切曲线时应先作出其渐近线,但渐近线并不是正切曲线的一部分,它只对正切曲线的走向和无限变化趋势起参照作用;(3)正切函数在每一个区间（-＋kπ,＋kπ）(k∈Z)内单调递增.不能说正切函数在其定义域内是增函数,正切函数没有单调递减区间,没有对称轴;(4)函数y＝tan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为T＝. 十四、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 1.y＝sin x→y＝sin(x＋φ) 一般地,函数y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点向　左　(当φ＞0时)或向　右　(当φ＜0时)平移　｜φ｜　个单位长度而得到的. 2.y＝sin x→y＝Asin x(A＞0,A≠1) 一般地,函数y＝Asin x(A＞0且A≠1)的图象,可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的　A倍　(横坐标　不变　)而得到的. 3.y＝sin x→y＝sin ωx(ω＞0) 一般地,函数y＝sin ωx(ω＞0且ω≠1)的图象,可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的　倍　(纵坐标　不变　)而得到的. 4.y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,φ≠0) 一般地,函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,φ≠0)的图象,可以看作是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移个单位长度而得到的. 要点诠释：关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法:一般采用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简图,再左、右平移,列表时把ωx＋φ看作一个整体,使其分别等于正弦曲线上五个关键点的横坐标,通过解方程求出y＝Asin(ωx＋φ)图象上五个关键点的横坐标及相应的纵坐标,得到五个关键点的坐标:（-,0）,（,A）,（,0）,（,-A）,（,0）.同样用“五点法”也可以画函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象. 十五、函数y＝Asin(ωx＋φ),A＞0,ω＞0中参数的物理意义 十六、利用三角函数模型解决实际问题的思路 要点诠释：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)中对于参数的物理意义的理解:①A:它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离,称为振幅;②T:T＝,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间,称为周期;③f:f＝＝,它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数,称为频率;④ωx＋φ:称为相位;φ:当x＝0时的相位,称为初相. 03 题型归纳 题型一　幂函数的概念 【例题】　已知幂函数y＝(m2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出定义域. 【点睛】　　判断一个函数是否为幂函数的方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 巩固训练 题型二　任意角的概念 【例题】　下列结论: ①三角形的内角必是第一、二象限角; ②始边相同而终边不同的角一定不相等; ③钝角比第三象限角小; ④小于180°的角是钝角、直角或锐角. 【点睛】理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需要举一个反例即可. 巩固训练 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC＝(　　) A.150°　　　　　　　　　　B.-150° C.390°　　D.-390° 2.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(　　) A.120°　　B.-120° C.-60°　　D.60° 题型三　终边相同的角的表示 【例题】　已知α＝-315°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-1 080°＜θ＜-360°. 【点睛】1.求终边落在同一直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°~360°范围内相应的角; (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合; (3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁. 2.终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍; (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍; (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 巩固训练 1.若角2α与240°角的终边相同,则α＝(　　) A.120°＋k·360°,k∈Z　　B.120°＋k·180°,k∈Z C.240°＋k·360°,k∈Z　　D.240°＋k·180°,k∈Z 2.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(　　) A.{α｜-45°≤α≤120°} B.{α｜120°≤α≤315°} C.{α｜k·360°-45°≤α≤k·360°＋120°,k∈Z} D.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°,k∈Z} 3.在直角坐标系中写出下列角的集合: (1)终边在x轴的正半轴上; (2)终边在y＝x(x≥0)上. 题型四　象限角的判定 【例题】　(1)已知α是第二象限角,则180°-α是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角 C.第三象限角　　D.第四象限角 (2)已知α是第二象限角,求角所在的象限. 【点睛】1.给定一个角判断它是第几象限角的思路 判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可. 2.分角、倍角所在象限的判定思路 (1)求解的思维模式:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略; (2)由α的象限确定2α的象限时,应注意2α可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α＝135°,而2α＝270°就不再是象限角. 1.-1 060°的终边落在(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 2.已知α是锐角,那么2α是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角 C.小于180°的正角　　D.第一或第二象限角 题型五　角度与弧度的换算 【例题】　将下列角度与弧度进行互化: (1)π;(2)-;(3)10°;(4)-855°. 【点睛】角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则:牢记180°＝π rad,充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算; (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad＝°;n°＝n· rad. 注意　(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写; (2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数. 巩固训练 1.把下列弧度化为角度: (1)＝　　　　;(2)-＝　　　　.  2.把下列角度化为弧度: (1)-1 500°＝　　　　;  (2)67°30'＝　　　　.  题型六　用弧度制表示终边相同的角 【例题】　已知α＝-800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈. 【点睛】用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍; (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. 巩固训练 1.已知集合A＝{α｜2kπ≤α≤(2k＋1)π,k∈Z},B＝{α｜-4≤α≤4},则A∩B＝(　　) A.⌀ B.{α｜-4≤α≤π} C.{α｜0≤α≤π} D.{α｜-4≤α≤-π或0≤α≤π} 2.若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称,且α∈(-2π,2π),求角α的值. 题型七　扇形的弧长公式及面积公式 【例题】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为.求: (1)这个圆心角所对的弧长; (2)这个扇形的面积. 【点睛】关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式:｜α｜＝,S＝lr＝｜α｜r2,要恰当选择公式,建立未知量、已知量间的关系,通过解方程(组)求值; (2)弧长、面积的最值:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积),利用函数知识求最值,一般利用二次函数的最值求解. 巩固训练 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α＝60°,R＝10,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积; (2)若扇形的周长是定值C(C＞0),当｜α｜为多少弧度时,该扇形的面积最大? 题型八　三角函数的定义及应用 【例题】　(1)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值; (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上,求sin α,cos α,tan α的值. 【点睛】　　利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况: (1)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出),则sin α＝y,cos α＝x,tan α＝(x≠0); (2)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上的点,则首先求r＝,则sin α＝,cos α＝,tan α＝(x≠0); (3)终边在已知直线(射线)上,可以在直线(射线)上取两个(一个)点,再利用定义求解; (4)参数问题:若点的坐标、角的三角函数值中含有字母,则需要注意字母是否需要分类讨论. 巩固训练 1.已知角α的终边上一点P(m,),且cos α＝,则m＝　　　　.  2.已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值. 题型九　三角函数值符号的判定 【例题】　(1)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0,则角θ的终边一定位于(　　) A.第一象限　　　　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 (2)填空sin 285°·cos(-105°)　　　　0(填“＜”或“＞”).  【点睛】正弦、余弦函数值的正负规律 巩固训练 1.若-＜α＜0,则点(tan α,cos α)位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 2.若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则(　　) A.sin α＞0　　B.sin α＜0 C.cos α＞0　　D.cos α＜0 3.判断下面各式的符号: (1)sin·cos;(2)cos 6·sin 6. 题型十　三角函数的定义域 【例题】　求函数f(x)＝的定义域. 【点睛】求三角函数定义域的方法 (1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得.对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制; (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 巩固训练 求下列函数的定义域: (1)y＝; (2)y＝＋. 题型十一　利用同角基本关系式求值 【例题】　(1)若sin α＝-,且α为第四象限角,则tan α＝(　　) A.　　　　　　　　　　B.- C.　　D.- (2)已知tan α＝2,则＝　　　　.  【点睛】1.求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论. 2.已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α,cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos α的n次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值; (2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α＋cos2α来代换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值. 巩固训练 1.已知tan α＝-,＜α＜π,则sin α＝(　　) A.　　B.- C.-　　D. 2.已知tan α＝2,则sin αcos α的值是(　　) A.-　 　B.　　C.-　 　D. 3.已知＝,求下列各式的值: (1); (2)1-4sin θcos θ＋2cos2θ. 题型十二　利用同角三角函数关系化简 【例题】　化简下列各式: (1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α); (2)··. 【点睛】三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的; (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的; (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α＋cos2α＝1,以降低函数次数,达到化简的目的. 巩固训练 1.化简-. 2.若＜α＜π,化简＋. 题型十三　给角求值问题 【例题】　求下列三角函数值: (1)cos;(2)tan(-855°);(3)tan＋sin. 【点睛】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 巩固训练 计算:(1)sin; (2)sin(-60°)＋cos 225°＋tan 135°; (3)sin·cos·tan. 题型十四　化简求值问题 【例题】　化简: (1); (2). 【点睛】利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的; (2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变; (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切. 巩固训练 化简:(1); (2)(n∈Z). 题型十五　给值(式)求值问题 【例题】　　已知cos＝,求cos的值. 【点睛】解决条件求值问题的两技巧 巩固训练 已知tan＝,求tan的值.　 题型十六　利用诱导公式求值 【例题】　(1)已知tan α＝3,求的值; (2)已知sin＝,求cos·sin的值. 【点睛】用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少; (2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系:如-α与＋α,＋α与-α,-α与＋α等互余,＋θ与-θ,＋θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题. 巩固训练 1.已知sin(π＋α)＝,则cos的值为(　　) A.　　　　　　　　　　B.- C.　　D.- 2.已知sin＝,则cos的值为(　　) A.　　B.- C.　　D.- 题型十七　利用诱导公式化简 【例题】　化简: -. 【点睛】用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少; (2)函数的种类尽可能的少; (3)分母不含三角函数的符号; (4)能求值的一定要求值; (5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等. 巩固训练 化简:(1)·sincos; (2)sin(-α-5π)cos-sincos(α-2π). 题型十八　三角函数的周期 【例题】　求下列函数的最小正周期: (1)ƒ(x)＝cos; (2)ƒ(x)＝｜sin x｜. 【点睛】求三角函数的周期的方法 (1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数和不满足适用周期公式类型的函数; (2)公式法:对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0,ω＞0)的函数,可利用T＝来求;形如y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0,ω＞0)的函数,可利用T＝来求; (3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法. 巩固训练 1.函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　) A.　　　　　　　　　　B.π C.2π　　D.4π 2.已知f(x)＝2cosx,则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝　　　　.  3.函数y＝tan(k＞0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为　　　　.  题型十九　“五点法”作正、余弦函数的图象 【例题】　用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y＝sin x-1,x∈[0,2π]; (2)y＝2＋cos x,x∈[0,2π]. 【点睛】　　作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤 巩固训练 用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0,2π]上的图象. 巩固训练 判断下列函数的奇偶性: (1)ƒ(x)＝x2cos; (2)ƒ(x)＝sin(cos x). 题型二十一　正、余弦函数的单调性 【例题】　求下列函数的单调区间: (1)y＝cos; (2)y＝3sin. 【点睛】求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 (1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; (2)整体代换:确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的单调区间的方法,采用“换元法”整体代换,将ωx＋φ看作一个整体,可令“z＝ωx＋φ”,即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω＜0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数. 巩固训练 1.函数y＝｜cos x｜的一个单调减区间是(　　) A.　　　　　　　B. C.　　D. 2.求函数y＝2sin的单调区间. 题型二十二　正切函数的定义域及值域 【例题】　(1)函数y＝ln(tan x)的定义域　　　　;  (2)函数y＝tan2x-2tan x＋3的最小值为　　　　.  【点睛】1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y＝tan x有意义,即x≠＋kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解; (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0,ω＞0)的定义域时,要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋,k∈Z,解得x. 2.求正切函数值域的方法 (1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域,可以把ωx＋φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域; (2)对于与y＝tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域. 巩固训练 1.函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 2.函数y＝-tan2x＋4tan x＋1,x∈的值域为　　　　.  题型二十三　正切函数的单调性 角度一:求正切函数的单调区间 【例题】　求函数y＝tan的单调区间. 【点睛】　　求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0,由于y＝tan x在每一个单调区间上都单调递增,故可用“整体代换”的思想,令kπ-＜ωx＋φ＜kπ＋(k∈Z),求得x的范围即可; (2)若ω＜0,可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[-(-ωx-φ)]＝-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可. 角度二:比较大小 【例题】　不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1) tan与tan; (2)tan与tan. 【点睛】运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小关系. 巩固训练 1.若函数y＝tan ωx在内单调递减,则ω的取值范围为　　　　.  2.不通过求值,比较大小:tan和tan. 题型二十四　正切函数的周期性、奇偶性 【例题】　已知函数y＝tan(ω＜0)的周期为,求该函数的定义域、值域,并判断函数的奇偶性. 【点睛】正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地,函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝,常常利用此公式来求周期; (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.特别地,函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)是奇函数的充要条件是φ＝(k∈Z). 巩固训练 1.函数f(x)＝｜tan 2x｜是(　　) A.周期为π的奇函数　　　B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数　　D.周期为的偶函数 2.关于函数y＝tan,下列说法正确的是(　　) A.是奇函数 B.在区间上单调递减 C.为图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 题型二十五　“五点法”作图 【例题】　作函数f(x)＝2sin在[0,π]上的图象. 【点睛】1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象,实质是利用函数的三个与x轴的交点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.“五点法” 作定区间上图象的关键是列表,列表的方法是: (1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围; (2)取出ωx＋φ范围内的“五点”,并计算出相应的x值; (3)利用ωx＋φ的值计算y值; (4)描点(x,y),连线得到函数图象. 巩固训练 已知f(x)＝y＝2sin,用“五点法”画出f(x)的图象. 题型二十六　由图象确定函数的解析式 【例题】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分,求此函数的解析式. 【点睛】　　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A＝,B＝; (2)求ω,确定函数的周期T,则ω＝; (3)求φ,常用方法有以下2种 代入法 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 五点法 确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 巩固训练 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,0＜φ＜）的最小值是-5,图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差,且图象经过点,则函数的解析式为　　　　.  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章　三角函数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、任意角的概念 1.角的概念 (1)定义:一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形; (2)顶点:射线的端点称为角的顶点; (3)始边和终边:射线旋转的　开始　位置和　终止　位置称为角的始边和终边; (4)图示:如图所示,射线OA绕端点O,按箭头所示方向旋转到OB便形成角α.点O是角α的顶点,射线OA和OB分别是角α的始边和终边. 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 按　逆时针　方向旋转所形成的角 负角 按　顺时针　方向旋转所形成的角 零角 没有作　任何　旋转所形成的角 要点诠释：对角的概念的理解:①初中对角的概念的定义是:从一点出发的两条射线所形成的图形.由于没有涉及旋转方向和旋转量,所以只能表示0°到360°范围内的角,而且重点表示0°到180°范围内的锐角、直角、钝角和平角.而任意角的定义是在初中对角的定义的基础上增加了“旋转”的含义,从而角的范围由0°~360°推广到任意的正角、负角;②角是一个图形,因此角是一个几何概念,角的正负取决于旋转的方向,角的大小取决于旋转量. 二、平面直角坐标系中的任意角 1.象限角 以角的顶点为　坐标原点　,角的始边为　x轴正半轴　,建立平面直角坐标系.这样,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角. 2.轴线角 如果角的终边在　坐标轴　上,称这个角为轴线角. 3.终边相同的角 一般地,与角α终边相同的角的集合为　{β｜β＝k·360°＋α,k∈Z}　. 要点诠释：(1)对终边相同的角的理解:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成一个集合,它们彼此相差k·360°(k∈Z),即S＝{β｜β＝α＋k·360°,k∈Z}.①终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合; ②α是任意角且k为整数;③k·360°与α之间用“＋”连接;④终边相同的角的表示形式不唯一,如{x｜x＝k·360°-90°,k∈Z}与{x｜x＝k·360°＋270°,k∈Z}均表示终边在y轴的负半轴上的角的集合. (2)各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α｜k·360°＜α＜k·360°＋90°,k∈Z} 第二象限角 {α｜k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°,k∈Z} 第三象限角 {α｜k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°,k∈Z} 第四象限角 {α｜k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°,k∈Z} 三、弧度制 1.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的,记作1° 弧度 制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.记作1 rad(rad可省略不写) 2.弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 要点诠释：特殊角的角度与弧度的对应值表: 度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度数 0 π 度数 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度数 2π 四、任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义 (1)一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r,则r＝.此时,点P是角α的终边与半径为r的圆的交点(如图所示),规定: ①比值叫作α的正弦,记作sin α,即sin α＝; ②比值叫作α的余弦,记作cos α,即cos α＝; ③比值　(x≠0)　叫作α的正切,记作tan α,即tan α＝. (2)　sin α　,　cos α　,　tan α　分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.这三种函数都称为α的三角函数.  2.三角函数值的符号 如图所示: 正弦:　一、二　象限正,　三、四　象限负; 余弦:　一、四　象限正,　二、三　象限负; 正切:　一、三　象限正,　二、四　象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 要点诠释：对三角函数定义的再理解:①三角函数是一个以角为自变量,以比值为函数值的函数,当角用弧度数表示时符合函数的定义;②任意角的三角函数定义是锐角三角函数定义的推广,采用的方法是坐标法,即先在角α的终边长任取一点P,再确定OP的长r及P点的坐标(x,y),就可以r,x,y之间的比值定义三角函数,其中sin α∈Z＝,f:R→[-1,1],定义域是R,值域是[-1,1],对应关系是角α终边上点P的纵坐标与OP长度之比;cos α＝,f:R→[-1,1],定义域是R,值域是[-1,1],对应关系f是角α终边上点P的横坐标与OP长度之比;tan α＝,f:{α｜α≠＋kπ,k∈Z}→R,定义域是{α｜α≠＋kπ,k∈Z},值域是R,对应关系f是角α终边上点P的纵坐标与横坐标之比. 五、有向线段 1.有向线段的概念 规定了　方向　(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. 2.有向线段的数量 把规定了　正方向　的直线称为有向直线.若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上　正　号或　负　号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB. 六、三角函数线 有向线段　MP　,　OM　,　AT　分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线,都称为三角函数线. 要点诠释：(1)三条有向线段与x轴或y轴正方向同向的为正向线段,为正值;与x轴或y轴负方向同向的为负向线段,为负值;(2)单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具,借助它,不但可以解决比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题,而且可以直观地研究同角三角函数间的基本关系. 七、同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于　1　 商数 关系 　tan α　＝ 角α的　正切　等于同一个角α的正弦、余弦的商 要点诠释：同角三角函数的基本关系解读:①注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α＋cos23α＝1成立,但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立;②注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立,而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立. 八、诱导公式一~四 1.公式一 sin(α＋2kπ)＝　sin α　(k∈Z);  cos(α＋2kπ)＝　cos α　(k∈Z);  tan(α＋2kπ)＝　tan α　(k∈Z).  2.公式二 sin(-α)＝　-sin α　;  cos(-α)＝　cos α　;  tan(-α)＝　-tan α　.  3.公式三 sin(π-α)＝　sin α　;  cos(π-α)＝　-cos α　;  tan(π-α)＝　-tan α　.  4.公式四 sin(π＋α)＝　-sin α　;  cos(π＋α)＝　-cos α　;  tan(π＋α)＝　tan α　.  要点诠释：(1)诱导公式的记忆方法与口诀:①记忆方法:2kπ＋α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值,如sin(π＋α),若α看成锐角,则π＋α在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin(π＋α)＝-sin α. (2)诱导公式的作用:通过诱导公式可以把求任意角三角函数值问题化成求锐角三角函数值问题,具体做法是:①负角正角;②绝对值大于2π的角(0,2π)范围的角;③（,π）范围的角（0,）范围的角;④（π,）范围的角（0,）范围的角;⑤（,2π）范围的角（0,）范围的角. 九、诱导公式五、六 1.公式五 sin＝　cos α　;cos＝　sin α　.  2.公式六 sin＝　cos α　;cos＝　-sin α　.  要点诠释：公式五、六的记忆方法与口诀:①记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”. 十、函数的周期性 1.周期函数 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为A.如果存在一个　非零的常数T　,使得对于任意的x∈A,都有x＋T∈A,并且　f(x＋T)＝f(x)　,那么函数f(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的　正数　,那么,这个最小的　正数　就叫作f(x)的　最小正周期　. 3.三角函数的周期性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω＞0)的周期为; (2)函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω＞0)的周期为. 要点诠释：对周期函数定义的再理解:①并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一;②如果T是定义在A上的函数f(x)的一个周期,并且对任意x∈A,都有x＋nT∈A(n∈Z且n≠0),那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期;③函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数,则只需研究它在一个周期范围内的性质,就可以知道它的整体性质. 十一、正弦曲线、余弦曲线 1.正弦曲线 正弦函数y＝sin x,x∈R的图象叫作正弦曲线. 2.正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①利用正弦线画出y＝sin x,x∈[0,2π]的图象; ②将图象向左、向右平行移动(每次　2π　个单位长度). (2)五点法: ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点　(0,0)　,,　(π,0)　,,　(2π,0)　,用光滑的曲线连接; ②将所得图象向左、向右平行移动(每次　2π　个单位长度). 3.余弦曲线 余弦函数y＝cos x,x∈R的图象叫作余弦曲线. 4.余弦函数图象的画法 由cos x＝sin,知y＝cos x的图象可由y＝sin x图象向左平移个单位得到. 要点诠释：(1)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象;若x∈R,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x,x∈R和y＝cos x,x∈R的图象;(2)将y＝sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x,x∈R的图象,因此y＝sin x,x∈R与y＝cos x,x∈R的图象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同. 十二、正弦函数、余弦函数的性质 　　函数 图象与性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 　R　 　R　 值域 　[-1,1]　 　[-1,1]　 周期性 最小正周期为　2π　 最小正周期为　2π　 奇偶性 　奇　函数 　偶　函数 　　函数 图象与性质 　 y＝sin x y＝cos x 单调性 在 (k∈Z)上　单调递增　; 在 (k∈Z)上　单调递减　 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上　单调递增　; 在[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上　单调递减　 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) 最值 x＝　2kπ＋,k∈Z　时,ymax＝1;x＝　2kπ-,k∈Z　时,ymin＝-1 x＝　2kπ,k∈Z　时,ymax＝1;x＝　2kπ＋π,k∈Z　时,ymin＝-1 要点诠释：(1)正、余弦函数的单调性:正弦函数、余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调. (2)三角函数的最值与单调性之间的联系:如图,由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象可知:图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期,两个最大值之间有一个最小值,从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋之间构成的区间为减区间,最小值点x0＋与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间,从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调递减区间为［kT＋x0,kT＋（x0＋）］(k∈Z),单调递增区间为［kT＋（x0＋）,kT＋(x0＋T)］(k∈Z). (3)三角函数的最值与周期性之间的联系:由三角函数图象可知,相邻两个最大值之间的区间长度为周期T,相邻最大值与最小值之间的区间长度为,相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为. 十三、正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期性 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 在区间上单调递增 对称性 对称中心 要点诠释：(1)画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指,(0,0),,“两线”是指x＝-和x＝,大致画出正切函数在上的 简图后向左、向右扩展即得正切曲线;(2)正切曲线由无数条曲线组成,每相邻的两条曲线之间有一条垂直于x轴的渐近线x＝kπ＋(k∈Z),画正切曲线时应先作出其渐近线,但渐近线并不是正切曲线的一部分,它只对正切曲线的走向和无限变化趋势起参照作用;(3)正切函数在每一个区间（-＋kπ,＋kπ）(k∈Z)内单调递增.不能说正切函数在其定义域内是增函数,正切函数没有单调递减区间,没有对称轴;(4)函数y＝tan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为T＝. 十四、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 1.y＝sin x→y＝sin(x＋φ) 一般地,函数y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点向　左　(当φ＞0时)或向　右　(当φ＜0时)平移　｜φ｜　个单位长度而得到的. 2.y＝sin x→y＝Asin x(A＞0,A≠1) 一般地,函数y＝Asin x(A＞0且A≠1)的图象,可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的　A倍　(横坐标　不变　)而得到的. 3.y＝sin x→y＝sin ωx(ω＞0) 一般地,函数y＝sin ωx(ω＞0且ω≠1)的图象,可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的　倍　(纵坐标　不变　)而得到的. 4.y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,φ≠0) 一般地,函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,φ≠0)的图象,可以看作是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移个单位长度而得到的. 要点诠释：关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法:一般采用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简图,再左、右平移,列表时把ωx＋φ看作一个整体,使其分别等于正弦曲线上五个关键点的横坐标,通过解方程求出y＝Asin(ωx＋φ)图象上五个关键点的横坐标及相应的纵坐标,得到五个关键点的坐标:（-,0）,（,A）,（,0）,（,-A）,（,0）.同样用“五点法”也可以画函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象. 十五、函数y＝Asin(ωx＋φ),A＞0,ω＞0中参数的物理意义 十六、利用三角函数模型解决实际问题的思路 要点诠释：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)中对于参数的物理意义的理解:①A:它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离,称为振幅;②T:T＝,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间,称为周期;③f:f＝＝,它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数,称为频率;④ωx＋φ:称为相位;φ:当x＝0时的相位,称为初相. 03 题型归纳 题型一　幂函数的概念 【例题】　已知幂函数y＝(m2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出定义域. 解　∵y＝(m2-m-1)为幂函数, ∴m2-m-1＝1,解得m＝2或m＝-1. 当m＝2时,m2-2m-3＝-3,则y＝x-3,且有x≠0; 当m＝-1时,m2-2m-3＝0,则y＝x0,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x-3,定义域为{x｜x≠0}或y＝x0,定义域为{x｜x≠0}. 【点睛】　　判断一个函数是否为幂函数的方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 巩固训练 题型二　任意角的概念 【例题】　下列结论: ①三角形的内角必是第一、二象限角; ②始边相同而终边不同的角一定不相等; ③钝角比第三象限角小; ④小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为　　　　(填序号).  解析　①90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确; ②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确; ③钝角大于-100°,而-100°的角是第三象限角,故③不正确; ④0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确. 答案　② 【点睛】理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需要举一个反例即可. 巩固训练 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC＝(　　) A.150°　　　　　　　　　　B.-150° C.390°　　D.-390° 解析:B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋(-270°)＝-150°,故选B. 2.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(　　) A.120°　　B.-120° C.-60°　　D.60° 解析:B　由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即为-×360°＝-120°. 题型三　终边相同的角的表示 【例题】　已知α＝-315°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-1 080°＜θ＜-360°. 解　(1)因为-315°＝-360°＋45°.又0°＜45°＜360°,所以把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝-360°＋45°(β＝45°). (2)与-315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z),所以当k＝-3,-2时,θ＝-1 035°,-675°,满足-1 080°＜θ＜-360°.即得所求角θ为-1 035°和-675°. 【点睛】1.求终边落在同一直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°~360°范围内相应的角; (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合; (3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁. 2.终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍; (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍; (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 巩固训练 1.若角2α与240°角的终边相同,则α＝(　　) A.120°＋k·360°,k∈Z　　B.120°＋k·180°,k∈Z C.240°＋k·360°,k∈Z　　D.240°＋k·180°,k∈Z 解析:B　角2α与240°角的终边相同,则2α＝240°＋k·360°,k∈Z,则α＝120°＋k·180°,k∈Z.故选B. 2.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(　　) A.{α｜-45°≤α≤120°} B.{α｜120°≤α≤315°} C.{α｜k·360°-45°≤α≤k·360°＋120°,k∈Z} D.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°,k∈Z} 解析:C　阴影部分的角从-45°到90°＋30°＝120°,再加上360°的整数倍,即{α｜k·360°-45°≤α≤k·360°＋120°,k∈Z}. 3.在直角坐标系中写出下列角的集合: (1)终边在x轴的正半轴上; (2)终边在y＝x(x≥0)上. 解:(1)在0°~360°范围内,终边在x轴的正半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°,k∈Z}. (2)在0°~360°范围内,终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋45°,k∈Z}. 题型四　象限角的判定 【例题】　(1)已知α是第二象限角,则180°-α是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角 C.第三象限角　　D.第四象限角 (2)已知α是第二象限角,求角所在的象限. (1)解析　由α是第二象限角可得,90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z). ∴180°-(90°＋k·360°)＞180°-α＞180°-(180°＋k·360°)(k∈Z), 即90°-k·360°＞180°-α＞-k·360°(k∈Z), ∴180°-α为第一象限角. 答案　A (2)解　∵α是第二象限角, ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z). ∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°(k∈Z). 当k为偶数时,令k＝2n(n∈Z),得 n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°, 这表明是第一象限角; 当k为奇数时,令k＝2n＋1(n∈Z),得 n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°, 这表明是第三象限角. ∴为第一或第三象限角. 【点睛】1.给定一个角判断它是第几象限角的思路 判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可. 2.分角、倍角所在象限的判定思路 (1)求解的思维模式:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略; (2)由α的象限确定2α的象限时,应注意2α可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α＝135°,而2α＝270°就不再是象限角. 1.-1 060°的终边落在(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 解析:A　因为-1 060°＝-3×360°＋20°,所以-1 060°的终边落在第一象限. 2.已知α是锐角,那么2α是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角 C.小于180°的正角　　D.第一或第二象限角 解析:C　∵0°＜α＜90°,∴0°＜2α＜180°,∴2α是小于180°的正角. 题型五　角度与弧度的换算 【例题】　将下列角度与弧度进行互化: (1)π;(2)-;(3)10°;(4)-855°. 解　(1)π＝×180°＝15 330°. (2)-＝-×180°＝-105°. (3)10°＝10×＝. (4)-855°＝-855×＝-. 【点睛】角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则:牢记180°＝π rad,充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算; (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad＝°;n°＝n· rad. 注意　(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写; (2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数. 巩固训练 1.把下列弧度化为角度: (1)＝　　　　;(2)-＝　　　　.  解析:(1)＝°＝690°. (2)-＝-°＝-390°. 答案:(1)690°　(2)-390° 2.把下列角度化为弧度: (1)-1 500°＝　　　　;  (2)67°30'＝　　　　.  解析:(1)-1 500°＝-1 500×＝-π. (2)67°30'＝67.5°＝67.5×＝. 答案:(1)-　(2) 题型六　用弧度制表示终边相同的角 【例题】　已知α＝-800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈. 解　(1)∵-800°＝-3×360°＋280°,280°＝π, ∴α＝-800°＝＋(-3)×2π. ∵α与角终边相同,∴α是第四象限角. (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋,k∈Z的形式,而γ与α的终边相同,∴γ＝2kπ＋,k∈Z. 又γ∈,∴-＜2kπ＋＜,k∈Z, 解得k＝-1,∴γ＝-2π＋＝-. 【点睛】用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍; (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. 巩固训练 1.已知集合A＝{α｜2kπ≤α≤(2k＋1)π,k∈Z},B＝{α｜-4≤α≤4},则A∩B＝(　　) A.⌀ B.{α｜-4≤α≤π} C.{α｜0≤α≤π} D.{α｜-4≤α≤-π或0≤α≤π} 解析:D　集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.而A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝-1的一部分,即只有D选项满足.故选D. 2.若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称,且α∈(-2π,2π),求角α的值. 解:如图,设角的终边为射线OA, 射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB, 则以射线OB为终边的一个角为-＝, ∴以OB为终边的角的集合为{αα＝2kπ＋,k∈Z}. 又∵α∈(-2π,2π),∴-2π＜2kπ＋＜2π,且k∈Z, ∴k＝-1或k＝0. 当k＝-1时,α＝-;当k＝0时,α＝. ∴角α的值为-或. 题型七　扇形的弧长公式及面积公式 【例题】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为.求: (1)这个圆心角所对的弧长; (2)这个扇形的面积. 解　(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为,所以半径r＝＝, 所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝. (2)由(1)得扇形的面积S＝××＝. 【点睛】关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式:｜α｜＝,S＝lr＝｜α｜r2,要恰当选择公式,建立未知量、已知量间的关系,通过解方程(组)求值; (2)弧长、面积的最值:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积),利用函数知识求最值,一般利用二次函数的最值求解. 巩固训练 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α＝60°,R＝10,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积; (2)若扇形的周长是定值C(C＞0),当｜α｜为多少弧度时,该扇形的面积最大? 解:(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,∵α＝60°＝,R＝10,∴l＝,S弓＝××10-×102＝50. (2)扇形周长C＝2R＋l,∴l＝C-2R,∴S扇＝Rl＝R(C-2R)＝-R2＋RC＝＋,∴当R＝时,S扇有最大值且为,此时l＝C-2R＝,∴｜α｜＝＝·＝2.故｜α｜＝2时,该扇形的面积最大. 题型八　三角函数的定义及应用 【例题】　(1)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值; (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上,求sin α,cos α,tan α的值. 解　(1)r＝＝5｜a｜. 若a＞0,则r＝5a,故sin α＝＝＝,cos α＝＝＝-,tan α＝＝＝-. 若a＜0,则r＝-5a.同理可得sin α＝-,cos α＝,tan α＝-. (2)直线x＋y＝0,即y＝-x,则直线通过第二和第四象限. ①在第二象限内取直线上的点(-1,), 则r＝＝2, 所以sin α＝,cos α＝-,tan α＝-. ②在第四象限内取直线上的点(1,-),则r＝＝2, 所以sin α＝-,cos α＝,tan α＝-. 【点睛】　　利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况: (1)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出),则sin α＝y,cos α＝x,tan α＝(x≠0); (2)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上的点,则首先求r＝,则sin α＝,cos α＝,tan α＝(x≠0); (3)终边在已知直线(射线)上,可以在直线(射线)上取两个(一个)点,再利用定义求解; (4)参数问题:若点的坐标、角的三角函数值中含有字母,则需要注意字母是否需要分类讨论. 巩固训练 1.已知角α的终边上一点P(m,),且cos α＝,则m＝　　　　.  解析:由题意得x＝m,y＝,∴r＝｜OP｜＝, ∴cos α＝＝＝,很明显m＞0, 解得m＝. 答案: 2.已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值. 解:设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x,y), 则解得即P, 所以sin α＝y＝,cos α＝x＝. 题型九　三角函数值符号的判定 【例题】　(1)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0,则角θ的终边一定位于(　　) A.第一象限　　　　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 (2)填空sin 285°·cos(-105°)　　　　0(填“＜”或“＞”).  解析　(1)由sin θ＜0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ＜0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限. (2)因为285°是第四象限角,所以sin 285°＜0.因为-105°是第三象限角,所以cos(-105°)＜0.所以sin 285°·cos(-105°)＞0. 答案　(1)D　(2)＞ 【点睛】正弦、余弦函数值的正负规律 巩固训练 1.若-＜α＜0,则点(tan α,cos α)位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 解析:B　由-＜α＜0知α为第四象限角,则tan α＜0,cos α＞0,点在第二象限. 2.若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则(　　) A.sin α＞0　　B.sin α＜0 C.cos α＞0　　D.cos α＜0 解析:C　由三角函数的定义可知,sin α＝符号不确定,cos α＝＞0,故选C. 3.判断下面各式的符号: (1)sin·cos;(2)cos 6·sin 6. 解:(1)∵＜＜π, ∴是第二象限角, ∴sin＞0,cos＜0, ∴sin·cos＜0. (2)∵＜6＜2π,∴6弧度的角为第四象限角, ∴cos 6＞0,sin 6＜0,∴cos 6·sin 6＜0. 题型十　三角函数的定义域 【例题】　求函数f(x)＝的定义域. 解　要使f(x)有意义, 则 所以 解得2kπ＜x＜2kπ＋,k∈Z. 所以原函数的定义域为{x2kπ＜x＜2kπ＋,k∈Z}. 【点睛】求三角函数定义域的方法 (1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得.对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制; (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 巩固训练 求下列函数的定义域: (1)y＝; (2)y＝＋. 解:(1)要使函数式有意义,需tan x≠0,解得x≠kπ(k∈Z). 要使tan x有意义,需x≠kπ＋(k∈Z),解得x≠(k∈Z). 所以函数的定义域为. (2)由题意得 由cos x≥0得x的终边在y轴上,或第一象限,或第四象限,或在x轴正半轴上. 由-tan x≥0,得tan x≤0,则角x的终边在第二象限,或第四象限,或在x轴上. 综上,角x的终边在第四象限或x轴正半轴上. 所以函数的定义域为{x-＋2kπ＜x≤2kπ,k∈Z}. 题型十一　利用同角基本关系式求值 【例题】　(1)若sin α＝-,且α为第四象限角,则tan α＝(　　) A.　　　　　　　　　　B.- C.　　D.- (2)已知tan α＝2,则＝　　　　.  解析　(1)因为α为第四象限的角,故cos α＝＝＝,所以tan α＝＝＝-. (2)因为tan α＝2,所以＝＝＝3. 答案　(1)D　(2)3 【点睛】1.求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论. 2.已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α,cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos α的n次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值; (2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α＋cos2α来代换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值. 巩固训练 1.已知tan α＝-,＜α＜π,则sin α＝(　　) A.　　B.- C.-　　D. 解析:D　由tan α＝＝-,得cos α＝-2sin α.又因为sin2α＋cos2α＝1,所以sin2α＋4sin2α＝1,即sin2α＝.因为＜α＜π,所以sin α＝.故选D. 2.已知tan α＝2,则sin αcos α的值是(　　) A.-　 　B.　　C.-　 　D. 解析:B　sin αcos α＝＝ ＝＝＝. 3.已知＝,求下列各式的值: (1); (2)1-4sin θcos θ＋2cos2θ. 解:∵＝, ∴＝,解得tan θ＝2. (1)原式＝＝＝1. (2)原式＝sin2θ-4sin θcos θ＋3cos2θ ＝ ＝＝-. 题型十二　利用同角三角函数关系化简 【例题】　化简下列各式: (1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α); (2)··. 解　(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝1. (2)原式＝·· ＝··＝＝tan α. 【点睛】三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的; (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的; (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α＋cos2α＝1,以降低函数次数,达到化简的目的. 巩固训练 1.化简-. 解:- ＝ ＝＝＝-2tan2α. 2.若＜α＜π,化简＋. 解:因为＜α＜π,所以cos α＝-,sin α＝,所以 原式＝＋ ＝- ＝-＝0. 题型十三　给角求值问题 【例题】　求下列三角函数值: (1)cos;(2)tan(-855°);(3)tan＋sin. 解　(1)cos＝cos＝cos＝cos＝-cos＝-. (2)tan(-855°)＝-tan 855°＝-tan(2×360°＋135°) ＝-tan 135°＝-tan(180°-45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan＋sin ＝-tan-sin＝-1-＝-. 【点睛】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 巩固训练 计算:(1)sin; (2)sin(-60°)＋cos 225°＋tan 135°; (3)sin·cos·tan. 解:(1)原式＝-sin＝-sin＝-sin＝-. (2)原式＝-sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°-45°) ＝--cos 45°-tan 45° ＝---1＝-. (3)原式＝sincostan ＝-sincostan ＝-××1＝-. 题型十四　化简求值问题 【例题】　化简: (1); (2). 解　(1)原式＝＝＝＝1. (2)原式＝＝＝＝-1. 【点睛】利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的; (2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变; (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切. 巩固训练 化简:(1); (2)(n∈Z). 解:(1)原式＝＝＝1. (2)原式＝ ＝＝＝-. 题型十五　给值(式)求值问题 【例题】　　已知cos＝,求cos的值. 解　cos＝cos＝-cos＝-. 【点睛】解决条件求值问题的两技巧 巩固训练 已知tan＝,求tan的值.　 解:tan＝-tan ＝-tan＝-. 题型十六　利用诱导公式求值 【例题】　(1)已知tan α＝3,求的值; (2)已知sin＝,求cos·sin的值. 解　(1) ＝＝＝＝2. (2)cos·sin ＝cos·sin ＝sin·sin ＝×＝. 【点睛】用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少; (2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系:如-α与＋α,＋α与-α,-α与＋α等互余,＋θ与-θ,＋θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题. 巩固训练 1.已知sin(π＋α)＝,则cos的值为(　　) A.　　　　　　　　　　B.- C.　　D.- 解析:A　由sin(π＋α)＝得sin α＝-,所以cos＝cos＝-sin α＝,故选A. 2.已知sin＝,则cos的值为(　　) A.　　B.- C.　　D.- 解析:D　∵＋α-＝,∴cos＝sin＝sin＝-sin＝-. 题型十七　利用诱导公式化简 【例题】　化简: -. 解　∵sin(4π-α)＝sin(-α)＝-sin α, cos＝cos＝cos＝-sin α, sin＝sin＝-sin ＝-cos α, tan(5π-α)＝tan(π-α)＝-tan α, sin(3π-α)＝sin(π-α)＝sin α, ∴原式＝- ＝-＋ ＝＝＝1. 【点睛】用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少; (2)函数的种类尽可能的少; (3)分母不含三角函数的符号; (4)能求值的一定要求值; (5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等. 巩固训练 化简:(1)·sincos; (2)sin(-α-5π)cos-sincos(α-2π). 解:(1)原式＝·sin(-sin α) ＝·(-sin α) ＝·(-cos α)(-sin α) ＝-cos2α. (2)原式＝sin(-α-π)cos-sin［π＋（＋α）］·cos[-(2π-α)] ＝sin[-(α＋π)]cos＋sincos(2π-α) ＝-sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sin2α＋cos2α ＝1. 题型十八　三角函数的周期 【例题】　求下列函数的最小正周期: (1)ƒ(x)＝cos; (2)ƒ(x)＝｜sin x｜. 解　(1)法一(定义法):∵ƒ(x)＝cos ＝cos＝cos ＝ƒ(x＋π), 即ƒ(x＋π)＝ƒ(x), ∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π. 法二(公式法):∵y＝cos,∴ω＝2. 又T＝＝＝π. ∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π. (2)法一(定义法):∵ƒ(x)＝｜sin x｜, ∴ƒ(x＋π)＝｜sin(x＋π)｜＝｜sin x｜＝ƒ(x), ∴ƒ(x)的最小正周期为π. 法二(图象法):∵函数y＝｜sin x｜的图象如图所示. 由图象可知f(x)的最小正周期T＝π. 【点睛】求三角函数的周期的方法 (1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数和不满足适用周期公式类型的函数; (2)公式法:对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0,ω＞0)的函数,可利用T＝来求;形如y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0,ω＞0)的函数,可利用T＝来求; (3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法. 巩固训练 1.函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　) A.　　　　　　　　　　B.π C.2π　　D.4π 解析:D　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝4π. 2.已知f(x)＝2cosx,则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝　　　　.  解析:易知f(x)的最小正周期T＝6,则有 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 答案:3 3.函数y＝tan(k＞0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为　　　　.  解析:∵k＞0,∴T＝≤2,即k≥2π,∴正整数k的最小值是7. 答案:7 题型十九　“五点法”作正、余弦函数的图象 【例题】　用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y＝sin x-1,x∈[0,2π]; (2)y＝2＋cos x,x∈[0,2π]. 解　(1)按五个关键点列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 sin x-1 -1 0 -1 -2 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. (2)按五个关键点列表: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. 【点睛】　　作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤 巩固训练 用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0,2π]上的图象. 解:按五个关键点列表如下: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 2sin x 0 2 0 -2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. 题型二十　三角函数的奇偶性 【例题】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)＝｜sin x｜＋cos x; (2)f(x)＝cos(2π-x)-x3·sin x. 解　(1)函数的定义域为R, 又f(-x)＝｜sin(-x)｜＋cos(-x)＝｜sin x｜＋cos x＝f(x),所以f(x)是偶函数. (2)函数的定义域为R,关于原点对称, 因为f(x)＝cos x-x3·sin x, 所以f(-x)＝cos(-x)-(-x)3·sin(-x) ＝cos x-x3·sin x＝f(x), 所以f(x)为偶函数. 【点睛】判断函数奇偶性的方法 巩固训练 判断下列函数的奇偶性: (1)ƒ(x)＝x2cos; (2)ƒ(x)＝sin(cos x). 解:(1)函数ƒ(x)的定义域为R, ∵f(x)＝x2cos＝-x2sin x, ∴f(-x)＝-(-x)2sin(-x)＝x2sin x＝-f(x), ∴ƒ(x)为奇函数. (2)函数ƒ(x)的定义域为R, ∴ƒ(-x)＝sin＝sin(cos x)＝ƒ(x), ∴ƒ(x)为偶函数. 题型二十一　正、余弦函数的单调性 【例题】　求下列函数的单调区间: (1)y＝cos; (2)y＝3sin. 解　(1)当2kπ-π≤＋≤2kπ,k∈Z时,函数单调递增, 故函数的单调递增区间是(k∈Z).　 当2kπ≤＋≤2kπ＋π,k∈Z时,函数单调递减, 故函数的单调递减区间是［4kπ-π,4kπ＋π］(k∈Z). (2)y＝3sin＝-3sin, 要求y＝-3sin的增区间即求y＝sin的减区间, 即2kπ＋≤2x-≤2kπ＋,k∈Z, 所以kπ＋≤x≤kπ＋,k∈Z. 所以函数y＝3sin的递增区间为(k∈Z). 要求y＝-3sin的减区间即求y＝sin的增区间, 即2kπ-≤2x-≤2kπ＋,k∈Z, 所以kπ-≤x≤kπ＋,k∈Z. 所以函数y＝3sin的递减区间为 (k∈Z). 【点睛】求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 (1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; (2)整体代换:确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的单调区间的方法,采用“换元法”整体代换,将ωx＋φ看作一个整体,可令“z＝ωx＋φ”,即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω＜0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数. 巩固训练 1.函数y＝｜cos x｜的一个单调减区间是(　　) A.　　　　　　　B. C.　　D. 解析:C　函数y＝｜cos x｜＝图象如图所示: 单调减区间有,,…,故选C. 2.求函数y＝2sin的单调区间. 解:∵y＝2sin＝-2sin, ∴函数y＝-2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定. 2kπ＋≤x-≤2kπ＋(k∈Z),　① 2kπ-≤x-≤2kπ＋(k∈Z).　② 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z), 解②得2kπ-≤x≤2kπ＋(k∈Z). 故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为［2kπ＋,2kπ＋］(k∈Z),［2kπ-,2kπ＋］(k∈Z). 题型二十二　正切函数的定义域及值域 【例题】　(1)函数y＝ln(tan x)的定义域　　　　;  (2)函数y＝tan2x-2tan x＋3的最小值为　　　　.  解析　(1)由题意得 即 故定义域为(k∈Z). (2)y＝(tan x-1)2＋2,由于tan x∈R,所以当tan x＝1时,函数取最小值2. 答案　(1)(k∈Z)　(2)2 【点睛】1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y＝tan x有意义,即x≠＋kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解; (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0,ω＞0)的定义域时,要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋,k∈Z,解得x. 2.求正切函数值域的方法 (1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域,可以把ωx＋φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域; (2)对于与y＝tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域. 巩固训练 1.函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 解析:D　由-x≠k1π＋(k1∈Z)得x≠-k1π-(k1∈Z).从而x≠k2π-(k2∈Z). 由k2∈Z得x≠kπ＋π(k∈Z),∴y＝tan的定义域为{x｜x∈R,且x≠kπ＋,k∈Z}.故选D. 2.函数y＝-tan2x＋4tan x＋1,x∈的值域为　　　　.  解析:∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1. 令tan x＝t,则t∈[-1,1]. ∴y＝-t2＋4t＋1＝-(t-2)2＋5. ∴当t＝-1,即x＝-时,ymin＝-4; 当t＝1,即x＝时,ymax＝4. 故所求函数的值域为[-4,4]. 答案:[-4,4] 题型二十三　正切函数的单调性 角度一:求正切函数的单调区间 【例题】　求函数y＝tan的单调区间. 解　y＝tan＝-tan, 由kπ-＜x-＜kπ＋(k∈Z), 得2kπ-＜x＜2kπ＋(k∈Z), ∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z),无单调递增区间. 【点睛】　　求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0,由于y＝tan x在每一个单调区间上都单调递增,故可用“整体代换”的思想,令kπ-＜ωx＋φ＜kπ＋(k∈Z),求得x的范围即可; (2)若ω＜0,可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[-(-ωx-φ)]＝-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可. 角度二:比较大小 【例题】　不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1) tan与tan; (2)tan与tan. 解　(1)因为tan＝tan,tan＝tan, 又0＜＜＜,y＝tan x在上单调递增, 所以tan＜tan,即tan＜tan. (2)因为tan＝-tan,tan＝-tan, 又0＜＜＜,y＝tan x在上单调递增, 所以tan＞tan,所以-tan＜-tan, 即tan＜tan. 【点睛】运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小关系. 巩固训练 1.若函数y＝tan ωx在内单调递减,则ω的取值范围为　　　　.  解析:由题意知其周期T≥π,即≥π.∴｜ω｜≤1,又函数单调递减,∴ω＜0.故-1≤ω＜0. 答案:[-1,0) 2.不通过求值,比较大小:tan和tan. 解:∵tan（-）＝-tan（2π-）＝tan,tan（-）＝-tan（2π-）＝tan. 又0＜＜＜,y＝tan x在内单调递增, ∴tan＜tan,即tan＞tan. 题型二十四　正切函数的周期性、奇偶性 【例题】　已知函数y＝tan(ω＜0)的周期为,求该函数的定义域、值域,并判断函数的奇偶性. 解　y＝tan(ω＜0)的周期为＝,解得ω＝2或ω＝-2.因为ω＜0,所以ω＝-2, 故y＝tan＝-tan. 由2x-≠kπ＋(k∈Z),解得x≠＋(k∈Z), 所以该函数的定义域为,值域为R. 由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 【点睛】正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地,函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝,常常利用此公式来求周期; (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.特别地,函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)是奇函数的充要条件是φ＝(k∈Z). 巩固训练 1.函数f(x)＝｜tan 2x｜是(　　) A.周期为π的奇函数　　　B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数　　D.周期为的偶函数 解析:D　f(-x)＝｜tan(-2x)｜＝｜tan 2x｜＝f(x)为偶函数,T＝. 2.关于函数y＝tan,下列说法正确的是(　　) A.是奇函数 B.在区间上单调递减 C.为图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 解析:C　令f(x)＝tan.由2x-≠kπ＋(k∈Z),解得x≠＋(k∈Z),即定义域为,由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;由正切函数的图象知y＝tan（2x-）没有单调递减区间,故B错误;因为f＝tan 0＝0,故为图象的一个对称中心,故C正确;y＝tan的最小正周期T＝,故D错误. 题型二十五　“五点法”作图 【例题】　作函数f(x)＝2sin在[0,π]上的图象. 解　列表: 2x- - 0 π x 0 π f(x) -1 0 2 0 -2 -1 描点连线得: 【点睛】1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象,实质是利用函数的三个与x轴的交点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.“五点法” 作定区间上图象的关键是列表,列表的方法是: (1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围; (2)取出ωx＋φ范围内的“五点”,并计算出相应的x值; (3)利用ωx＋φ的值计算y值; (4)描点(x,y),连线得到函数图象. 巩固训练 已知f(x)＝y＝2sin,用“五点法”画出f(x)的图象. 解:列表: x＋ 0 π 2π x - π π π π y＝2sin 0 2 0 -2 0 描点连线,如图所示. 将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边平移即得y＝2sin的图象. 题型二十六　由图象确定函数的解析式 【例题】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分,求此函数的解析式. 解　法一:由图象知A＝3, T＝-＝π, ∴ω＝＝2, ∴y＝3sin(2x＋φ). ∵点在函数图象上, ∴0＝3sin. ∴-×2＋φ＝kπ,k∈Z,得φ＝＋kπ(k∈Z). ∵｜φ｜＜,∴φ＝. ∴y＝3sin. 法二:由法一得A＝3,ω＝2. 将最高点M的坐标代入y＝3sin(2x＋φ),得3sin＝3. ∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z),∴φ＝2kπ＋(k∈Z). ∵｜φ｜＜,∴取φ＝.∴y＝3sin. 法三:由图象知A＝3.∵图象过点和, ∴解得 ∴y＝3sin. 【点睛】　　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A＝,B＝; (2)求ω,确定函数的周期T,则ω＝; (3)求φ,常用方法有以下2种 代入法 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 五点法 确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 巩固训练 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,0＜φ＜）的最小值是-5,图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差,且图象经过点,则函数的解析式为　　　　.  解析:由题意知A＝5,＝, 所以T＝＝,所以ω＝4, 所以y＝5sin(4x＋φ). 又因为图象经过点, 所以＝5sin φ, 即sin φ＝,所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z),又因为0＜φ＜,所以φ＝, 所以这个函数的解析式为y＝5sin. 答案:y＝5sin 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$