8.1 二分法与求方程近似解（十二大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

8．1 二分法与求方程近似解 课程标准 学习目标 （1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，运用图形判定零点，提升直观想象和逻辑推理素养. （2）运用零点判定定理确定零点范围，提升逻辑推理素养. （3）运用二分法求具体方程的近似解，提升直观想象和数学抽象素养. （1）了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. （2）会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. （3）了解二分法的原理及其适用条件. （4）掌握二分法的实施步骤. 知识点01 函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【即学即练1】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）在在上恰有一个零点．试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过0.001）． 题型一：求函数的零点 例1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 例3．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 变式1．（2023·江苏南京·高一校考期末）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 变式2．（2023·江苏常州·高一