第七章 三角函数 压轴题专练（15类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第七章　三角函数 压轴题专练（题型清单） 题型一　三角函数线的作法 【例题】　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1)70°;(2)-110°;(3). 【点睛】三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线; (2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可得到正切线AT,要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线. 巩固训练 作出-的正弦线、余弦线和正切线. 题型二　三角函数线的应用 角度一:利用三角函数线比较大小 【例题】　利用三角函数线比较下列各组数的大小: ①sin 与sin ;②tan 与tan . 角度二:利用三角函数线解不等式 【例题】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥;(2)cos α≤-. 角度三:利用三角函数线求函数的定义域 【例题】　求函数f(x)＝＋ln（sin x-）的定义域. 【点睛】1.利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值; (2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看其长度,还要看其方向. 2.利用三角函数线解三角不等式的方法 正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解关键是寻求恰当的点,只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围 正切型不等式的解法 对于tan x≥c,取点(1,c)连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图象可确定相应的范围 3.利用三角函数线求函数的定义域 解答此类题目的关键在于借助于单位圆,作出等号成立时角α的三角函数线,然后运用运动的观点,找出符合条件的角的范围.在这个解题过程中实现了一个转化,即把代数问题几何化,体现了数形结合的思想. 巩固训练 若0＜α＜2π,且sin α＜,cos α＞.利用三角函数线,得到α的取值范围是　　　　.  解析:利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内,所以α的取值范围是（0,）∪（,2π）. 答案:∪ 题型三　利用同角三角函数关系证明 【例题】　求证:＝. 证明　法一:由tan α-sin α≠0, 于是右边＝ ＝＝＝ ＝＝左边, 所以原等式成立. 法二:因为左边＝ ＝, 右边＝ ＝＝ ＝＝, 所以左边＝右边,原等式成立. 【点睛】证明三角恒等式常用的方法 (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性; (2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等; (3)比较法:即证左边-右边＝0或证＝1; (4)综合法:即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想. 巩固训练 求证:＝. 证明:法一:∵左边＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝右边, ∴原等式成立. 法二:∵右边＝＝, 左边＝＝ ＝ ＝, ∴左边＝右边,原等式成立. 题型四　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 【例题】　已知sin α＋cos α＝,求: (1)sin αcos α;(2)sin α-cos α. 解　(1)由sin α＋cos α＝, 平方得2sin αcos α＝-, ∴sin αcos α＝-. (2)∵(sin α-cos α)2＝1-2sin αcos α＝1＋＝,∴sin α-cos α＝±. 【点睛】　　已知sin α±cos α,sin αcos α三式中一个式子的值可用平方法求另外两式的值,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有: (1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2＝1-2sin αcos α; (3)(sin α＋cos α)2＋(sin α-cos α)2＝2; (4)(sin α-cos α)2＝(sin α＋cos α)2-4sin αcos α. 巩固训练 1.已知sin α-cos α＝-,则sin αcos α＝(　　) A.　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D. 解析:C　由已知得(sin α-cos α)2＝,即sin2α＋cos2α-2sin αcos α＝,又sin2α＋cos2α＝1,∴1-2sin αcos α＝,∴sin αcos α＝-.故选C. 2.若0＜θ＜π,sin θcos θ＝-,求sin θ-cos θ. 解:∵0＜θ＜π,sin θcos θ＝-＜0, ∴sin θ＞0,cos θ＜0.∴sin θ-cos θ＞0. ∴sin θ-cos θ＝＝＝＝＝. 题型五　诱导公式的综合应用 【例题】　在条件①＝;②4sin2A＝4cos A＋1;③sin Acos Atan A＝中任选一个,补充在下面的问题中,并求解. 已知角A为锐角,　　　　.  (1)求角A的大小; (2)求sin(π＋A)cos的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解　若选择条件①, (1)由于＝,可得14sin A-7cos A＝3sin A＋4cos A, 可得sin A＝cos A,即tan A＝1, 因为A为锐角,可得A＝. (2)sin(π＋A)cos ＝(-sin A)cos＝-sin2A＝-. 若选择条件②, (1)由于4sin2A＝4cos A＋1,4(1-cos2A)＝4cos A＋1,可得4cos2A＋4cos A-3＝0,解得cos A＝或-(舍去), 因为A为锐角,可得A＝. (2)sin(π＋A)cos ＝(-sin A)cos＝-sin2A＝-. 若选择条件③, (1)因为sin Acos Atan A＝sin2A＝,可得sin A＝或-, 因为A为锐角,sin A＞0,可得sin A＝,可得A＝. (2)sin(π＋A)cos ＝(-sin A)cos＝-sin2A＝-. 【点睛】诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系; 二看函数名称:一般是弦切互化; 三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 巩固训练 在①角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0);②tan＝;③3sin α＋4cos α＝0,这三个条件中任选一个,求sin2α-sin αcos α-2cos2α的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解:sin2α-sin αcos α-2cos2α ＝ ＝, 若选①:角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0); 可得tan α＝＝-, 原式＝＝-. 若选②:tan＝,可得tan α＝, 原式＝＝-. 若选③:3sin α＋4cos α＝0,tan α＝-, 原式＝＝. 题型六　三角函数值的大小比较 【例题】　不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)sin 250°与sin 260°;(2)cos与cos. 解　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减,且90°＜250°＜260°＜270°, ∴sin 250°＞sin 260°. (2)cos＝cos＝cos, cos＝cos＝cos. ∵函数y＝cos x在[0,π]上单调递减, 且0＜＜＜π, ∴cos＞cos,∴cos＞cos. 【点睛】比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较; (2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上. 巩固训练 不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)sin与sin; (2)sin 194°与cos 160°. 解:(1)sin ＝sin＝sin, sin＝sin＝sin , ∵y＝sin x在上单调递增, ∴sin＜sin , 即sin＜sin π. (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝-sin 14°, cos 160°＝cos(180°-20°)＝-cos 20°＝-sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°,∴sin 14°＜sin 70°, ∴-sin 14°＞-sin 70°,即sin 194°＞cos 160°. 题型七　正、余弦函数图象的简单应用 【例题】　利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合. (1)sin x≥;(2)cos x≤. 解　(1)作出正弦函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z. (2)作出余弦函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z. 【点睛】　　利用三角函数图象解sin x＞a(或cos x＞a)的三个步骤 (1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象; (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值; (3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集. 注意　解三角不等式sin x＞a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集. 巩固训练 求下列函数的定义域: (1)y＝log3;(2)y＝. 解:(1)要使函数有意义,则sin x＞,作出y＝sin x在[0,2π]内的图象如图所示. 由图象知,在[0,2π]内使sin x＞的x的取值范围是. 故原函数的定义域为(k∈Z). (2)要使函数有意义,则2cos x-≥0, ∴cos x≥,画出y＝cos x的图象及直线y＝,如图所示, 由图象可知函数的定义域为［2kπ-,2kπ＋］(k∈Z). 题型八　正、余弦函数的最值(值域) 【例题】　(1)求函数y＝2cos,x∈的值域; (2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合. 解　(1)∵-＜x＜,∴0＜2x＋＜, ∴-＜cos＜1, ∴函数y＝2cos,x∈的值域为(-1,2). (2)y＝cos2x＋4sin x ＝1-sin2x＋4sin x ＝-sin2x＋4sin x＋1 ＝-(sin x-2)2＋5. ∴当sin x＝1,即x＝2kπ＋,k∈Z时,ymax＝4; 当sin x＝-1,即x＝2kπ-,k∈Z时,ymin＝-4. ∴ymax＝4,此时x的取值集合是 ; ymin＝-4,此时x的取值集合是 . 【点睛】三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型,可利用正弦函数,余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论; (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围,最后求得最值; (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t＝sin x,转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值,t的范围需要根据定义域来确定. 巩固训练 求函数y＝cos2x-sin x,x∈的最值. 解:y＝cos2x-sin x＝1-sin2x-sin x＝-＋. 因为-≤x≤,-≤sin x≤, 所以当x＝-,即sin x＝-时,函数取得最大值,ymax＝; 当x＝,即sin x＝时,函数取得最小值,ymin＝-. 题型九　三角函数图象的平移变换 【例题】　(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　) A.y＝2sin　　　　B.y＝2sin C.y＝2sin　　D.y＝2sin (2)要得到y＝cos的图象,只要将y＝sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析　(1)由y＝2sin可知,周期T＝π, 所以＝π, y＝2siny＝2sin ＝2sin. (2)y＝sin 2x＝cos＝cos ＝cos＝cos. 若设f(x)＝sin 2x＝cos, 则f＝cos, 所以向左平移个单位长度. 答案　(1)D　(2)A 【点睛】三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行; (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离. 巩固训练 将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度,则所得图象的解析式为　　　　.  解析:将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为y＝cos＝cos(2x＋π)＝-cos 2x. 答案:y＝-cos 2x 题型十　三角函数图象的伸缩变换 【例题】　指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin的图象的两种方法. 解　法一:y＝sin x y＝sin 2x y＝sin＝sin. 法二:y＝sin x y＝sin y＝sin. 【点睛】　　由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 巩固训练 已知曲线C1:y＝cos x,C2:y＝sin,则下面结论正确的是(　　) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 解析:D　C1:y＝cos x＝sin,即y＝siny＝sin＝sin 2y＝sin 2（x＋＋）＝sin 2＝sin. 题型十一　三角函数图象的对称性 【例题】　在函数y＝2sin的图象的对称中心中,离原点最近的一个中心的坐标是　　　　.  解析　由4x＋＝kπ(k∈Z), 得x＝-(k∈Z), ∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z). 取k＝1,得满足条件. 答案　 【点睛】三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 巩固训练 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,-π＜φ＜0),其图象最低点的纵坐标是-,相邻的两个对称中心是和,则f(x)图象的对称轴方程为　　　　　　　　.  解析:由题意,得A＝,T＝2＝π,∴＝π,∴ω＝2,∴f(x)＝sin(2x＋φ).又∵点在f(x)的图象上,∴f＝0,∴sin＝0,∴sin＝0.又∵-π＜φ＜0,∴φ＝-,∴f(x)＝sin.令2x-＝＋kπ(k∈Z),解得x＝＋(k∈Z).∴f(x)图象的对称轴方程是x＝＋(k∈Z). 答案:x＝＋(k∈Z) 题型十二　三角函数性质的综合应用 【例题】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象如图所示,则(　　) A.f(x)的一个对称中心为 B.f(x)的图象关于直线x＝-π对称 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)的周期为 解析　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象,可得A＝3,＝＝-,所以ω＝2,再根据点是五点作图法中第三个点可得2×＋φ＝π,所以φ＝, 所以f(x)＝3sin,显然,它的周期为＝π,故排除D; 当x＝时,函数f(x)＝3sin＝0,故函数的图象关于点对称,故A正确; 当x＝-π时,f(x)＝,不是最值,故f(x)的图象不关于直线x＝-π对称,故排除B; 在上,2x＋∈, f(x)＝3sin不单调递增,故排除C. 答案　A 【点睛】正、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数;对于函数y＝Acos(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数. 巩固训练 1.(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　　) A.函数y＝f(x)的图象关于点对称 B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝-对称 C.函数y＝f(x)在上单调递减 D.该图象向右平移个单位可得y＝2sin 2x的图象 解析:BD　由函数的图象可得A＝2,周期T＝4＝π,所以ω＝＝＝2,当x＝时,函数取得最大值, 即f＝2sin＝2, 所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z),则φ＝2kπ＋,又｜φ｜＜,得φ＝, 故函数f(x)＝2sin. 对于A,f＝2sin≠0,故A不正确; 对于B,当x＝-时,f＝2sin（-×2＋）＝2sin＝-2, 即直线x＝-是函数f(x)的一条对称轴,故B正确;对于C,当-≤x≤-时,-π≤2x＋≤0,所以函数f(x)在区间上不单调,故C错误; 对于D,将f(x)的图象向右平移个单位后,得到y＝2sin＝2sin 2x的图象,即D正确.故选B、D. 2.已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π,则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　) A.2和-2　　　　　　　　　B.2和0 C.2和-1　　D.和- 解析:C　由题知＝π,得ω＝2, 所以函数y＝f(x)＝2sin. 又因为x∈, 所以2x-∈, 所以sin∈, 所以2sin∈[-1,2], 故函数f(x)的最大值为2,最小值为-1,故选C. 题型十三　三角函数在物理中的应用 【例题】　电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ). (1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示,试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式; (2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值,那么正整数ω的最小值是多少? 解　(1)由题图,可知A＝300. ∵T＝-＝,∴ω＝＝100π, ∴I＝300sin(100πt＋φ). 将代入解析式,得-＋φ＝2kπ,k∈Z, ∴φ＝＋2kπ,k∈Z. ∵｜φ｜＜,∴φ＝, ∴I＝300sin. (2)由题意,知≤,∴ω≥200π, ∴正整数ω的最小值为629. 【点睛】处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性; (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 巩固训练 1.已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A.T＝6,φ＝　　　　　　　　B.T＝6,φ＝ C.T＝6π,φ＝　　D.T＝6π,φ＝ 解析:A　T＝＝＝6, ∵图象过(0,1)点,∴sin φ＝. ∵-＜φ＜,∴φ＝. 2.已知弹簧挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin. (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标. 解:(1)令t＝0,得h＝3sin＝,所以开始振动的位置为. (2)由题意知,当h＝3时,t的最小值为,即所求最高点为;当h＝-3时,t的最小值为,即所求最低点为. 题型十四　三角函数在实际生活中的应用 【例题】　某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0,0＜｜φ｜＜π)近似描述,求该函数解析式; (2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐? 解　(1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0,0＜｜φ｜＜π), 由①,得周期T＝＝12,所以ω＝. 由②,得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)＝400,故A＝200. 由③,得f(x)在[2,8]上递增,且f(2)＝100,所以f(8)＝500, 所以解得 因为f(2)最小,f(8)最大, 所以 由于0＜｜φ｜＜π, 因此φ＝-, 所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为 y＝f(x)＝200sin＋300(x∈N*,且1≤x≤12). (2)由条件可知200sin＋300≥400, 化简得sin≥, 所以2kπ＋≤x-≤2kπ＋(k∈Z). 解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z). 因为x∈N*,且1≤x≤12, 所以x＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐. 【点睛】解三角函数应用问题的基本步骤 巩固训练 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长98米,匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时,求当此人第四次距离地面米时用了多少分钟? 解:如图,建立平面直角坐标系. 设某人登上摩天轮t分钟时距地面y米,此时该人随摩天轮转过的角为α,则α＝t＝t. y＝-cost＝-49cost＋59(t≥0). 令-49cost＋59＝,得cost＝, ∴t＝2kπ±(k∈Z), 故t＝18k±3,k∈Z,由t≥0得t＝3,15,21,33,…. 故当此人第四次距离地面米时用了33分钟. 题型十五　三角函数模型的拟合 【例题】　下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x＝月份-1),以平均气温为y轴. (1)用正弦曲线去拟合这些数据; (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; (3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据? ①＝cos;②＝cos;③＝cos. 解　(1)如图: (2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0, 故＝7-1＝6,所以T＝12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差, 即2A＝73.0-21.4＝51.6,所以A＝25.8. (3)因为模型①的周期为12π,所以由(2)知①错误;由模型②知当x＝0时,y取最大值,而x＝月份-1,即1月份的气温最高,这与(2)中的结论矛盾,所以应选③. 【点睛】　　根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题. 巩固训练 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.  t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 解析:设y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0,ω＞0),则从表中数据可以得到A＝4,ω＝＝＝,又由4sin φ＝-4.0,得sin φ＝-1,取φ＝-,故y＝4sin（t-）,即y＝-4cos t. 答案:y＝-4cos t 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章　三角函数 压轴题专练（题型清单） 题型一　三角函数线的作法 【例题】　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1)70°;(2)-110°;(3). 解　(1)如图①,有向线段MP为70°角的正弦线,有向线段OM为70°角的余弦线,有向线段AT为70°角的正切线. (2)如图②,有向线段MP为-110°角的正弦线,有向线段OM为-110°角的余弦线,有向线段AT为-110°角的正切线. (3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆,如图③所示,以x轴的正半轴为始边作的终边,与单位圆交于点P,作PM⊥x轴于点M,过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线,与OP的反向延长线交于点T,则有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线. 【点睛】三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线; (2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可得到正切线AT,要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线. 巩固训练 作出-的正弦线、余弦线和正切线. 解:如图所示, -的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT. 题型二　三角函数线的应用 角度一:利用三角函数线比较大小 【例题】　利用三角函数线比较下列各组数的大小: ①sin 与sin ;②tan 与tan . 解　如图所示,角的终边与单位圆的交点为P,其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T,作PM⊥x轴,垂足为M,则sin ＝MP,tan ＝AT;角的终边与单位圆的交点为P',其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T',作P'M'⊥x轴,垂足为M',则sin ＝M'P',tan ＝AT', 由图可知,｜MP｜＞｜M'P'｜,且MP与M'P'都与y轴正方向相同,所以①sin＞sin;｜AT｜＞｜AT'｜,且AT与AT'都与y轴正方向相反,所以②tan＜tan. 角度二:利用三角函数线解不等式 【例题】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥;(2)cos α≤-. 解　(1)作直线y＝交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α｜2kπ＋≤α≤2kπ＋,k∈Z}. (2)作直线x＝-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α｜2kπ＋≤α≤2kπ＋,k∈Z}. 角度三:利用三角函数线求函数的定义域 【例题】　求函数f(x)＝＋ln（sin x-）的定义域. 解　由题意,得自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示, 即定义域为{x｜2kπ＋≤x＜2kπ＋,k∈Z}. 【点睛】1.利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值; (2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看其长度,还要看其方向. 2.利用三角函数线解三角不等式的方法 正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解关键是寻求恰当的点,只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围 正切型不等式的解法 对于tan x≥c,取点(1,c)连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图象可确定相应的范围 3.利用三角函数线求函数的定义域 解答此类题目的关键在于借助于单位圆,作出等号成立时角α的三角函数线,然后运用运动的观点,找出符合条件的角的范围.在这个解题过程中实现了一个转化,即把代数问题几何化,体现了数形结合的思想. 巩固训练 若0＜α＜2π,且sin α＜,cos α＞.利用三角函数线,得到α的取值范围是　　　　.  解析:利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内,所以α的取值范围是（0,）∪（,2π）. 答案:∪ 题型三　利用同角三角函数关系证明 【例题】　求证:＝. 证明　法一:由tan α-sin α≠0, 于是右边＝ ＝＝＝ ＝＝左边, 所以原等式成立. 法二:因为左边＝ ＝, 右边＝ ＝＝ ＝＝, 所以左边＝右边,原等式成立. 【点睛】证明三角恒等式常用的方法 (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性; (2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等; (3)比较法:即证左边-右边＝0或证＝1; (4)综合法:即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想. 巩固训练 求证:＝. 证明:法一:∵左边＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝右边, ∴原等式成立. 法二:∵右边＝＝, 左边＝＝ ＝ ＝, ∴左边＝右边,原等式成立. 题型四　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 【例题】　已知sin α＋cos α＝,求: (1)sin αcos α;(2)sin α-cos α. 解　(1)由sin α＋cos α＝, 平方得2sin αcos α＝-, ∴sin αcos α＝-. (2)∵(sin α-cos α)2＝1-2sin αcos α＝1＋＝,∴sin α-cos α＝±. 【点睛】　　已知sin α±cos α,sin αcos α三式中一个式子的值可用平方法求另外两式的值,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有: (1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2＝1-2sin αcos α; (3)(sin α＋cos α)2＋(sin α-cos α)2＝2; (4)(sin α-cos α)2＝(sin α＋cos α)2-4sin αcos α. 巩固训练 1.已知sin α-cos α＝-,则sin αcos α＝(　　) A.　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D. 解析:C　由已知得(sin α-cos α)2＝,即sin2α＋cos2α-2sin αcos α＝,又sin2α＋cos2α＝1,∴1-2sin αcos α＝,∴sin αcos α＝-.故选C. 2.若0＜θ＜π,sin θcos θ＝-,求sin θ-cos θ. 解:∵0＜θ＜π,sin θcos θ＝-＜0, ∴sin θ＞0,cos θ＜0.∴sin θ-cos θ＞0. ∴sin θ-cos θ＝＝＝＝＝. 题型五　诱导公式的综合应用 【例题】　在条件①＝;②4sin2A＝4cos A＋1;③sin Acos Atan A＝中任选一个,补充在下面的问题中,并求解. 已知角A为锐角,　　　　.  (1)求角A的大小; (2)求sin(π＋A)cos的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解　若选择条件①, (1)由于＝,可得14sin A-7cos A＝3sin A＋4cos A, 可得sin A＝cos A,即tan A＝1, 因为A为锐角,可得A＝. (2)sin(π＋A)cos ＝(-sin A)cos＝-sin2A＝-. 若选择条件②, (1)由于4sin2A＝4cos A＋1,4(1-cos2A)＝4cos A＋1,可得4cos2A＋4cos A-3＝0,解得cos A＝或-(舍去), 因为A为锐角,可得A＝. (2)sin(π＋A)cos ＝(-sin A)cos＝-sin2A＝-. 若选择条件③, (1)因为sin Acos Atan A＝sin2A＝,可得sin A＝或-, 因为A为锐角,sin A＞0,可得sin A＝,可得A＝. (2)sin(π＋A)cos ＝(-sin A)cos＝-sin2A＝-. 【点睛】诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系; 二看函数名称:一般是弦切互化; 三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 巩固训练 在①角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0);②tan＝;③3sin α＋4cos α＝0,这三个条件中任选一个,求sin2α-sin αcos α-2cos2α的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解:sin2α-sin αcos α-2cos2α ＝ ＝, 若选①:角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0); 可得tan α＝＝-, 原式＝＝-. 若选②:tan＝,可得tan α＝, 原式＝＝-. 若选③:3sin α＋4cos α＝0,tan α＝-, 原式＝＝. 题型六　三角函数值的大小比较 【例题】　不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)sin 250°与sin 260°;(2)cos与cos. 解　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减,且90°＜250°＜260°＜270°, ∴sin 250°＞sin 260°. (2)cos＝cos＝cos, cos＝cos＝cos. ∵函数y＝cos x在[0,π]上单调递减, 且0＜＜＜π, ∴cos＞cos,∴cos＞cos. 【点睛】比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较; (2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上. 巩固训练 不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)sin与sin; (2)sin 194°与cos 160°. 解:(1)sin ＝sin＝sin, sin＝sin＝sin , ∵y＝sin x在上单调递增, ∴sin＜sin , 即sin＜sin π. (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝-sin 14°, cos 160°＝cos(180°-20°)＝-cos 20°＝-sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°,∴sin 14°＜sin 70°, ∴-sin 14°＞-sin 70°,即sin 194°＞cos 160°. 题型七　正、余弦函数图象的简单应用 【例题】　利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合. (1)sin x≥;(2)cos x≤. 解　(1)作出正弦函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z. (2)作出余弦函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z. 【点睛】　　利用三角函数图象解sin x＞a(或cos x＞a)的三个步骤 (1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象; (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值; (3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集. 注意　解三角不等式sin x＞a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集. 巩固训练 求下列函数的定义域: (1)y＝log3;(2)y＝. 解:(1)要使函数有意义,则sin x＞,作出y＝sin x在[0,2π]内的图象如图所示. 由图象知,在[0,2π]内使sin x＞的x的取值范围是. 故原函数的定义域为(k∈Z). (2)要使函数有意义,则2cos x-≥0, ∴cos x≥,画出y＝cos x的图象及直线y＝,如图所示, 由图象可知函数的定义域为［2kπ-,2kπ＋］(k∈Z). 题型八　正、余弦函数的最值(值域) 【例题】　(1)求函数y＝2cos,x∈的值域; (2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合. 解　(1)∵-＜x＜,∴0＜2x＋＜, ∴-＜cos＜1, ∴函数y＝2cos,x∈的值域为(-1,2). (2)y＝cos2x＋4sin x ＝1-sin2x＋4sin x ＝-sin2x＋4sin x＋1 ＝-(sin x-2)2＋5. ∴当sin x＝1,即x＝2kπ＋,k∈Z时,ymax＝4; 当sin x＝-1,即x＝2kπ-,k∈Z时,ymin＝-4. ∴ymax＝4,此时x的取值集合是 ; ymin＝-4,此时x的取值集合是 . 【点睛】三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型,可利用正弦函数,余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论; (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围,最后求得最值; (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t＝sin x,转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值,t的范围需要根据定义域来确定. 巩固训练 求函数y＝cos2x-sin x,x∈的最值. 解:y＝cos2x-sin x＝1-sin2x-sin x＝-＋. 因为-≤x≤,-≤sin x≤, 所以当x＝-,即sin x＝-时,函数取得最大值,ymax＝; 当x＝,即sin x＝时,函数取得最小值,ymin＝-. 题型九　三角函数图象的平移变换 【例题】　(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　) A.y＝2sin　　　　B.y＝2sin C.y＝2sin　　D.y＝2sin (2)要得到y＝cos的图象,只要将y＝sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析　(1)由y＝2sin可知,周期T＝π, 所以＝π, y＝2siny＝2sin ＝2sin. (2)y＝sin 2x＝cos＝cos ＝cos＝cos. 若设f(x)＝sin 2x＝cos, 则f＝cos, 所以向左平移个单位长度. 答案　(1)D　(2)A 【点睛】三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行; (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离. 巩固训练 将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度,则所得图象的解析式为　　　　.  解析:将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为y＝cos＝cos(2x＋π)＝-cos 2x. 答案:y＝-cos 2x 题型十　三角函数图象的伸缩变换 【例题】　指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin的图象的两种方法. 解　法一:y＝sin x y＝sin 2x y＝sin＝sin. 法二:y＝sin x y＝sin y＝sin. 【点睛】　　由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 巩固训练 已知曲线C1:y＝cos x,C2:y＝sin,则下面结论正确的是(　　) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 解析:D　C1:y＝cos x＝sin,即y＝siny＝sin＝sin 2y＝sin 2（x＋＋）＝sin 2＝sin. 题型十一　三角函数图象的对称性 【例题】　在函数y＝2sin的图象的对称中心中,离原点最近的一个中心的坐标是　　　　.  解析　由4x＋＝kπ(k∈Z), 得x＝-(k∈Z), ∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z). 取k＝1,得满足条件. 答案　 【点睛】三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 巩固训练 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,-π＜φ＜0),其图象最低点的纵坐标是-,相邻的两个对称中心是和,则f(x)图象的对称轴方程为　　　　　　　　.  解析:由题意,得A＝,T＝2＝π,∴＝π,∴ω＝2,∴f(x)＝sin(2x＋φ).又∵点在f(x)的图象上,∴f＝0,∴sin＝0,∴sin＝0.又∵-π＜φ＜0,∴φ＝-,∴f(x)＝sin.令2x-＝＋kπ(k∈Z),解得x＝＋(k∈Z).∴f(x)图象的对称轴方程是x＝＋(k∈Z). 答案:x＝＋(k∈Z) 题型十二　三角函数性质的综合应用 【例题】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象如图所示,则(　　) A.f(x)的一个对称中心为 B.f(x)的图象关于直线x＝-π对称 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)的周期为 解析　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象,可得A＝3,＝＝-,所以ω＝2,再根据点是五点作图法中第三个点可得2×＋φ＝π,所以φ＝, 所以f(x)＝3sin,显然,它的周期为＝π,故排除D; 当x＝时,函数f(x)＝3sin＝0,故函数的图象关于点对称,故A正确; 当x＝-π时,f(x)＝,不是最值,故f(x)的图象不关于直线x＝-π对称,故排除B; 在上,2x＋∈, f(x)＝3sin不单调递增,故排除C. 答案　A 【点睛】正、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数;对于函数y＝Acos(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数. 巩固训练 1.(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　　) A.函数y＝f(x)的图象关于点对称 B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝-对称 C.函数y＝f(x)在上单调递减 D.该图象向右平移个单位可得y＝2sin 2x的图象 解析:BD　由函数的图象可得A＝2,周期T＝4＝π,所以ω＝＝＝2,当x＝时,函数取得最大值, 即f＝2sin＝2, 所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z),则φ＝2kπ＋,又｜φ｜＜,得φ＝, 故函数f(x)＝2sin. 对于A,f＝2sin≠0,故A不正确; 对于B,当x＝-时,f＝2sin（-×2＋）＝2sin＝-2, 即直线x＝-是函数f(x)的一条对称轴,故B正确;对于C,当-≤x≤-时,-π≤2x＋≤0,所以函数f(x)在区间上不单调,故C错误; 对于D,将f(x)的图象向右平移个单位后,得到y＝2sin＝2sin 2x的图象,即D正确.故选B、D. 2.已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π,则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　) A.2和-2　　　　　　　　　B.2和0 C.2和-1　　D.和- 解析:C　由题知＝π,得ω＝2, 所以函数y＝f(x)＝2sin. 又因为x∈, 所以2x-∈, 所以sin∈, 所以2sin∈[-1,2], 故函数f(x)的最大值为2,最小值为-1,故选C. 题型十三　三角函数在物理中的应用 【例题】　电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ). (1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示,试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式; (2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值,那么正整数ω的最小值是多少? 解　(1)由题图,可知A＝300. ∵T＝-＝,∴ω＝＝100π, ∴I＝300sin(100πt＋φ). 将代入解析式,得-＋φ＝2kπ,k∈Z, ∴φ＝＋2kπ,k∈Z. ∵｜φ｜＜,∴φ＝, ∴I＝300sin. (2)由题意,知≤,∴ω≥200π, ∴正整数ω的最小值为629. 【点睛】处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性; (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 巩固训练 1.已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A.T＝6,φ＝　　　　　　　　B.T＝6,φ＝ C.T＝6π,φ＝　　D.T＝6π,φ＝ 解析:A　T＝＝＝6, ∵图象过(0,1)点,∴sin φ＝. ∵-＜φ＜,∴φ＝. 2.已知弹簧挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin. (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标. 解:(1)令t＝0,得h＝3sin＝,所以开始振动的位置为. (2)由题意知,当h＝3时,t的最小值为,即所求最高点为;当h＝-3时,t的最小值为,即所求最低点为. 题型十四　三角函数在实际生活中的应用 【例题】　某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0,0＜｜φ｜＜π)近似描述,求该函数解析式; (2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐? 解　(1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0,0＜｜φ｜＜π), 由①,得周期T＝＝12,所以ω＝. 由②,得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)＝400,故A＝200. 由③,得f(x)在[2,8]上递增,且f(2)＝100,所以f(8)＝500, 所以解得 因为f(2)最小,f(8)最大, 所以 由于0＜｜φ｜＜π, 因此φ＝-, 所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为 y＝f(x)＝200sin＋300(x∈N*,且1≤x≤12). (2)由条件可知200sin＋300≥400, 化简得sin≥, 所以2kπ＋≤x-≤2kπ＋(k∈Z). 解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z). 因为x∈N*,且1≤x≤12, 所以x＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐. 【点睛】解三角函数应用问题的基本步骤 巩固训练 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长98米,匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时,求当此人第四次距离地面米时用了多少分钟? 解:如图,建立平面直角坐标系. 设某人登上摩天轮t分钟时距地面y米,此时该人随摩天轮转过的角为α,则α＝t＝t. y＝-cost＝-49cost＋59(t≥0). 令-49cost＋59＝,得cost＝, ∴t＝2kπ±(k∈Z), 故t＝18k±3,k∈Z,由t≥0得t＝3,15,21,33,…. 故当此人第四次距离地面米时用了33分钟. 题型十五　三角函数模型的拟合 【例题】　下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x＝月份-1),以平均气温为y轴. (1)用正弦曲线去拟合这些数据; (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; (3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据? ①＝cos;②＝cos;③＝cos. 解　(1)如图: (2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0, 故＝7-1＝6,所以T＝12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差, 即2A＝73.0-21.4＝51.6,所以A＝25.8. (3)因为模型①的周期为12π,所以由(2)知①错误;由模型②知当x＝0时,y取最大值,而x＝月份-1,即1月份的气温最高,这与(2)中的结论矛盾,所以应选③. 【点睛】　　根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题. 巩固训练 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.  t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 解析:设y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0,ω＞0),则从表中数据可以得到A＝4,ω＝＝＝,又由4sin φ＝-4.0,得sin φ＝-1,取φ＝-,故y＝4sin（t-）,即y＝-4cos t. 答案:y＝-4cos t 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$