专题04直线与圆锥曲线的综合问题（三种技巧精讲精练+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

专题04直线与圆锥曲线的综合问题 （三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直线与圆锥曲线的位置关系 【典例分析】 【例1-1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【例1-2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【答案】3 【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切. 【详解】由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 联立 消x得， 当时，此时，与抛物线有唯一公共点； 当时，由，解得，即过M点的切线有两条． 综上可知，满足条件的直线有3条． 故答案为：3. 【例1-3】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断出焦点在轴上，并设双曲线方程为，利用待定系数法求解即可； （2）联立消元，借助判别式分类讨论即可. 【详解】（1）结合题意可得：点在渐近线的上方， 双曲线要经过此点，则焦点在轴上，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，所以， 因为双曲线经过点，所以， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）结合（1）问：联立，可得， 当时，即，此时与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意； 当时，即，要使直线与双曲线至少有一个交点， 则，解得或,且. 综上所述: 实数的取值范围为. 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若直线与的交点Q在椭圆E上，点P的坐标 ． 【答案】 【分析】设点，求得直线的方程分别为和，联立方程组解得，进而得到，联立方程组，即可求得点的坐标. 【详解】由椭圆方程，可得， 设点，其中，可得， 因为， 所以直线的方程分别为和， 联立方程组，解得， 因为点与点的横坐标互为相反数，可得纵坐标相等，即，即， 联立方程组，解得，即点； 联立方程组，此时方程组无解； 故答案为：.    【变式1-3】（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知直线与抛物线相切，且切点为. (1)求直线的斜率的值； (2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线l的方程，与抛物线联立方程组，消去x整理后，由求的值； （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线PQ的斜率，化简得的值. 【详解】（1）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即， 解得 （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线BM的方程为，与联立，消去x整理得， 所以,得，从而， 将换成，同理可得， 所以. 题型02中点弦问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 【例2-2】（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 【答案】2 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理求以及点M的坐标，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，可知直线l与抛物线必相交， 设直线，，可得， 联立方程，消去x得， 则， 可得， ，且，即线段的中点， 则线段的中垂线方程为， 由题意可知：点M在x轴上， 令，可得，即，则， 所以. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在． 【例2-3】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入点即可得结果； （2）利用点差法求直线的斜率，即可得方程. 【详解】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法 （1）用“点差法”求解弦中点问； （2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得， 所以双曲线的标准方程为， 设，所以①，②， ①-②得，， 化简得③， 因为线段的中点为，所以， 代入③，整理得， 显然，所以直线的斜率. 故选：B 【变式2-2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果. 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式即可求解， （2）根据点差法求解斜率，即可得直线方程，进而联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得 . 题型03对称问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】结合图象，及双曲线的对称性及定义可得答案. 【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则， 后由双曲线的定义知. 故选：D    【例3-2】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解. 【详解】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直， 故，即. 故答案为：. 【例3-3】（22-23高二上·全国·课后作业）设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【答案】 【分析】由双曲线对称性可知，利用勾股定理可构造方程得到，结合双曲线的关系可求得结果. 【详解】由题意得：，；由双曲线对称性可知：， ，即，整理可得：， 即，，. 【变式演练】 【变式3-1】（2024高二上·全国·专题练习）下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将曲线方程化为，结合椭圆对称性判断①②③，根据直线对称的特征判断④. 【详解】曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称. 即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 【变式3-3】（22-23高二上·四川眉山·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，椭圆的离心率等于. (1)求直线AO的斜率及方程(O为坐标原点)； (2)直线AO与椭圆的另一个交点为点B，若三角形ABF2的面积等于，求椭圆的方程． 【答案】(1)k＝；y＝x； (2) 【分析】（1）由＝0可知得到直线OA斜率为，由椭圆的离心率等于求得的值，从而得到直线方程； （2）由椭圆的对称性可知，，结合离心率可得到c＝a，解方程组求得，从而得到椭圆方程. 【详解】（1）（1）由＝0，知， ∵椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得． 设椭圆方程为．设，由＝0，知， ∴，代入椭圆方程可得， ∴A，故直线AO的斜率k＝，直线AO的方程为y＝x． （2）连接，，，， 由椭圆的对称性可知，， ∴． 又由c＝a，解得，． 故椭圆方程为． 一、单选题 1．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，可得，推出，再结合，得，即可得解． 【详解】解：设椭圆的右焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，所以，    由椭圆的定义知，，所以， 所以，所以， 而，所以，即， 所以离心率． 故选：D． 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 二、多选题 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则（     ） A．顺次连接的四个焦点构成一个正方形 B．的面积为的4倍 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 【答案】ABD 【分析】求出、的焦点坐标即可判断A，根据相似比判断B，根据曲线的变换判断C，利用相关点法判断D. 【详解】椭圆的焦点为，， 将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，则椭圆的焦点为，， 所以顺次连接的四个焦点构成一个正方形，故A正确； 将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆， 所以与为相似曲线，相似比为，所以的面积为的面积的倍，故B正确； 且的方程为，即，故C错误； 设，，则， 又，， 所以，即， 所以，即，所以， 所以线段的中点始终在直线上，故D正确；    故选：ABD 5．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则 ，可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 【答案】2 【分析】联立直线与抛物线方程，得到两根之和，从而得到方程，求出或，舍去不合要求的根. 【详解】若，此时与抛物线只有1个交点，不合题意， 故， 联立，整理得， 由0，解得， 设， 则 因为中点的横坐标为2，则， 故，解得（舍去）或， 所以. 故答案为：2 7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用离心率的定义求解； （2）设的中点为，先分别确定点的坐标，再最终求解. 【详解】（1）由已知有，，故，所以离心率. （2） 如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而，故. 所以，从而在直线上. 由知，故，结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 9．（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先设出双曲线的方程，代入已知点，求待定系数可得； （2）设出直线的的点斜式，与双曲线方程联立，转化为方程组有两解的问题解决； （3）结合（2）的结论，先根据中点坐标求出斜率的值，再判断是否符合（2）中的取值范围. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图：    设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 10．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的方程求解即可； （2）设，，过焦点的弦长公式为，求出，即可求出点的横坐标； （3）将转化为点到定点的距离与点到准线的距离之和，要使得的最小，则点在一条直线上且垂直于准线，求解即可. 【详解】（1）抛物线，所以其准线方程为：. （2）设，，则，所以， 又点为线段的中点，所以点的横坐标为：. （3）抛物线焦点为，其准线方程为：， 由抛物线的定义可知点到焦点的距离即为点到准线的距离， 为点到定点的距离与点到准线的距离之和， 要使得的最小， 则点在一条直线上且垂直于准线， 故最小值即为点到准线的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04直线与圆锥曲线的综合问题 （三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直线与圆锥曲线的位置关系 【典例分析】 【例1-1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【例1-2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【例1-3】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若直线与的交点Q在椭圆E上，点P的坐标 ． 【变式1-3】（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知直线与抛物线相切，且切点为. (1)求直线的斜率的值； (2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 题型02中点弦问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 【例2-3】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【变式演练】 【变式2-1】（22-23高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2-2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【变式2-3】（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 题型03对称问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【例3-2】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【例3-3】（22-23高二上·全国·课后作业）设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【变式演练】 【变式3-1】（2024高二上·全国·专题练习）下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【变式3-3】（22-23高二上·四川眉山·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，椭圆的离心率等于. (1)求直线AO的斜率及方程(O为坐标原点)； (2)直线AO与椭圆的另一个交点为点B，若三角形ABF2的面积等于，求椭圆的方程． 一、单选题 1．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则（     ） A．顺次连接的四个焦点构成一个正方形 B．的面积为的4倍 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 5．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 三、填空题 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 四、解答题 8．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 9．（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 10．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$