精品解析：浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体10月联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为. 故选：B 2. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 3. 已知，，则在方向上的投影向量的模长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】在方向上的投影向量的模长为. 故选：D 4. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 5. 如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角. 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 【点睛】 6. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 7. 已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法1：设正方体棱长为，利用截面圆的半径、到平面的距离、球的半径构成的直角三角形可得答案；解法2：设正方体棱长为，利用的面积相等解得可得答案． 【详解】解法1：设正方体棱长为，则球的半径为， ∵平面截此球所得的截面的面积为，∴截面圆的半径为， 由题意，球心与的距离为， 设到平面的距离为， 是边长为的等边三角形，， 由得，可得， ，由平面，所以球心到平面的距离为， ∴，∴，即正方体棱长为； 解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点， 恰好为等边三角形各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆， 又因为平面截此球所得的截面的面积为， 所以截面圆的半径为，， 所以，整理得， 故截面圆的半径，解得， 即正方体棱长为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：在方法1中关键点是根据勾股定理求出. 8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由根据题意可得切线，即可得切线斜率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，则下列选项正确的有（ ） A. 与是共线向量 B. 点关于轴的对称点的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. 与同向的单位向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量共线、点关于坐标轴对称、向量夹角、单位向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 详解】. A选项，由于，所以与不是共线向量，A选项错误. B选项，关于轴的对称点的坐标是，所以B选项正确. C选项，与夹角的余弦值是,C选项正确. D选项，与同向的单位向量是,D选项正确. 故选：BCD 10. 已知线段是圆一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 弦的中点轨迹是圆 B. 直线分别过定点和 C. 直线的交点在定圆上 D. 线段的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据动点轨迹、直线的定点、直线的交点、圆和圆的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】A选项，圆的圆心为，半径为， 由于且为弦的中点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以A选项正确. B选项，直线即， 由解得，所以直线过定点. 直线即， 由解得，所以直线过定点，所以B选项错误. C选项，由于，所以， 所以在以为直径的圆上，线段的中点为， ，所以在圆上， 整理得，所以C选项正确. D选项，由上述分析可知，在圆上， 在圆上， 两个圆的圆心分别为、，圆心距为，两圆外离， 所以的最小值为，所以D选项正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（ ） A. 实数a越大，椭圆C越圆 B. 若，且，则 C. 当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁； B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率； C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率； D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D； 【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为， 越大，越大，椭圆C越扁，A错误； B选项：因为，则， 又因为，则，故， 又因为， 解得，，故，B正确； C选项：当时，椭圆C： 且， 当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去， 设过的直线的方程为， 因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0， 联立得，，设，， 则，，所以， 解得，负值舍去， 所以直线的方程的斜率为，C错误； D选项：设，则，所以， 则 ， 同理可得，由，得， 故，则， 又因为，， 故 ，D正确； 故选：BD. 【点睛】椭圆的焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. （2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）． 【答案】异面 【解析】 【分析】假设共面推出矛盾. 【详解】假设直线共面，平面， 由，则平面， 同理，平面，故共面， 这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面. 故答案为：异面. 13. 椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍 【答案】5 【解析】 【分析】求出,即得解. 【详解】由题得， 由题得轴，当时，，所以, 所以, 所以是的5倍. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题，看到焦半径时要马上联想到圆锥曲线的定义解题. 14. 已知圆，过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为A，B两点，则最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积运算、圆的切线的几何性质、基本不等式等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 根据切线长的知识可知， 所以 ， 当且仅当时等号成立. 所以最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的几何性质与切线的相关知识，尤其是对圆外点向圆引切线的性质进行分析.题目难度适中，内容涉及向量运算、三角函数以及几何性质的综合运用，具有较强的综合性和代表性，能够有效地考查学生对圆与直线关系的掌握情况.在解法中，通过利用向量数量积运算和圆的切线性质，结合基本不等式，推导出最小值的条件.解答过程逻辑清晰，运用了圆切线长度的公式，并结合向量的相关知识来求解，使整个过程具有较强的严谨性和数学推理的层次感. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意得，解得，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线：，， 联立并整理得，， 所以， ， 解得，符合， 直线方程为，即． 16. 已知圆过点三个点． （1）求圆的标准方程； （2）已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）设圆的一般式方程，将点的坐标代入计算，即可求解，然后化为标准式即可； （2）将代入直线方程，可得直线过定点，即可得到当时，最小，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 代入各点得：， 所求圆的一般方程为：标准方程为：. 【小问2详解】 把代入直线方程得：， 即，令，可得， 所以直线过定点． 又，所以定点在圆内， 当时，最小，此时，， 则. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）证明：； （2）若四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】由三垂直建立空间直角坐标系，找到点坐标后，得到向量坐标，从而求出线段长度； 计算出两个面的法向量，然后解出面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为平面，且平面， 所以，又，即， 以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由为的中点， 得，， 所以， 所以，所以 【小问2详解】 由四棱锥的体积为，梯形的面积为， 所以 所以，可得， 所以，，，， 设平面的法向量为， 所以 设平面的一个法向量为， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率不为0直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程. （2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系关系，求得两点的坐标，进而求得线段中点的坐标. 【小问1详解】 由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线的方程， 则，，，，，曲线的方程； 【小问2详解】 方法一：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， ， 所以线段中点的坐标为. 方法二：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则，同理可得， ， 所以线段中点的坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，， （1）求证：平面 （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）3种，． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，得，再得与垂直后可得证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角，从而可得值； （3）把直棱柱的各面拼接成四边形后可得，然后计算各个表面积，比较可得． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，且， 所以， 所以，所以， 又因为，所以． 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则． 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 取，则，．所以． 设与平面所成角为， 则，解得， 故所求． 【小问3详解】 由题意可以左侧面重合拼接，或右侧面重合拼接，或侧面重合拼接（这是五棱柱，舍去），或上、下底分别拼成一个平行四边形或一个矩形（与左右侧面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接，共3种方案， ，，，，， 四棱柱的全面积是， 左侧面重合拼接， ， 右侧面重合拼接， ， 上下底面重合拼接， ， ，，，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体10月联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则在方向上的投影向量的模长为（ ） A. B. C. D. 4. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，则下列选项正确的有（ ） A. 与是共线向量 B. 点关于轴的对称点的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. 与同向的单位向量是 10. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 弦的中点轨迹是圆 B. 直线分别过定点和 C. 直线的交点在定圆上 D. 线段最小值为 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（ ） A. 实数a越大，椭圆C越圆 B. 若，且，则 C. 当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D. 若，则 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）． 13. 椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍 14. 已知圆，过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为A，B两点，则最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知焦点在轴上椭圆过点，离心率为， （1）求椭圆方程； （2）斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 16. 已知圆过点三个点． （1）求圆的标准方程； （2）已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）证明：； （2）若四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标. 19. 如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，， （1）求证：平面 （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$