精品解析：浙江省丽水市“五校高中发展共同体”2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

2024-2025学年浙江省丽水市“五校高中发展共同体”10月联考高一数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. -2N+ B. Z C. πQ D. 5N 2. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生，家长和教师组成的群，已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数则该群教师人数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若对于任意实数都有则 A 3 B. 4 C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B 已知函数，若，则 C. 若函数，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则“，”是“”的__________条件，“”是“或”的__________条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 13. 已知，函数若，则___________. 14. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是__________ 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，都是正数． （1）若，求的最大值 （2）若，求最小值． 17. 某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省丽水市“五校高中发展共同体”10月联考高一数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. -2N+ B. Z C. πQ D. 5N 【答案】C 【解析】 【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 【详解】对于A，-2是负整数，则-2N+，A错误； 对于B，是分数，则Z，B错误； 对于C，π是无理数，则πQ，C正确； 对于D，5是正整数，则5N，D错误； 故选：C 2. 若命题，，则命题否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论． 【详解】命题，为存在量词命题， 则该命题的否定为，， 故选：D． 3. 若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、D，利用作差法判断C. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，则，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以，，所以，故D正确； 故选：D 4. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生，家长和教师组成的群，已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数则该群教师人数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设男学生女学生人数分别为，人，教师人数为，家长人数为，，，，都是正整数，则，进而可得答案． 【详解】设男学生女学生人数分别为，人，教师人数为，家长人数为，，，，都正整数， 则由题意有，即， 由，，，，都是正整数，所以，即， 当时，，，，，满足不等式， 所以教师人数的最小值为4. 故选：B 5. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值． 【详解】解：对于任意实数都有， ， 解得， ． 故选． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意可知2，4是一元二次方程的实数根，且利用韦达定理可知，代入得，然后解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以2，4是一元二次方程的实数根，且 所以，即 所以不等式化为， 即，解得或 所以不等式的解集为 故选：B 8. 如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分点在上和点在上两种情况讨论，由面积公式可求与的函数关系，即可求解． 【详解】当点在上时， 四边形是正方形，边长为， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时， 同理可得：，． 由此可知，只有B中图象符合题意， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，可得，因为，所以分和两种情况进行讨论，进而求解即可． 【详解】因为，所以， 又因为，所以分和两种情况进行讨论， 当时，也即方程无解，所以 当时，方程有一解，即， 因为，所以或，解得：或， 综上可知：实数的值为或或， 故选：ACD． 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 若函数，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组，故B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D错误. 【详解】解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误; 函数，若，则所以，故B正确； 若函数，则，故C正确； 若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误. 故选：BC 11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式. 【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确； 由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由，得， 对于，由，得， ， 当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则“，”是“”的__________条件，“”是“或”的__________条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 【答案】 ①. 充分不必要 ②. 充要 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】当，时，，满足充分性； 因为时，，或，，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件； 当，所以或，满足充分性； 当或时，，满足必要性， 所以“”是“或”的充要条件． 故答案为：充分不必要；充要． 13. 已知，函数若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 14. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得， 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或， 综合可得：． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 根据题意：集合， 集合或 或， 【小问2详解】 因，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 16. 已知，都是正数． （1）若，求的最大值 （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由于，再根据，利用基本不等式求得的最大值； （2）由，得到，故，利用基本不等式求得最小值． 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立所以的最大值为. 【小问2详解】 ， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 最小值为． 17. 某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 【答案】（1）人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合，可解得的范围，即可得出结论； （2）根据题意可得出，参变量分离可得，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：依题意得，整理可得， 又因为，解得， 所以调整后的技术人员的人数最多人. 【小问2详解】 解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ，得， 整理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，所以. 因此，正整数的最大值为. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. 【小问1详解】 时， ， 则所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$