精品解析：山西省运城市2024-2025学年高二上学期10月联合测评数学试题

山西2024~2025学年高二年级10月联合测评 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修第一册第一、二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3 已知空间向量，，若，则实数（ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知向量，，，若，，共面，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 1 6. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 8. 已知M，N是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 直线被圆截得的弦长为4时， 11. 已知点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 存点，使得 B. 若是AB中点，当在棱上运动时，存在点使得 C. 当在线段上运动时，AP与BD所成角的取值范围是 D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若点在线段上，则的取值范围是__________． 13. 已知是圆上任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________． 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行六面体中，，，，为上靠近点的三等分点，设，，．． （1）用基底表示向量； （2）求． 16. 已知两直线和的交点为． （1）若直线过点且与直线平行，求直线一般式方程； （2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，，点为线段PC中点，点是线段AB上靠近点A的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值． 18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点．（M，N与O不重合） （1）求证：的面积为定值； （2）设直线与圆C交于点A，B，若，求实数的值； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点，动点在直线上，且． （1）是否存在点，使得？若存在，试确定点位置；若不存在，请说明理由； （2）当取何值时，直线PN与平面所成角的正弦值为； （3）求动点到直线MN的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西2024~2025学年高二年级10月联合测评 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修第一册第一、二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间点的对称直接得出结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 故选：C 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线的一般式方程化成斜截式，根据斜率写出直线的一个方向向量，再对选项判断与其共线的向量即得. 【详解】由，得，故直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量． 故选：B. 3. 已知空间向量，，若，则实数（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量线性运算求出的坐标，由，有，利用向量数量积的坐标运算求出的值. 【详解】由题知，因为， 所以，解得． 故选：D. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】圆关于直线对称，则直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可. 【详解】圆化成标准方程为，故圆心坐标为， 又因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，则． 故选：D. 5. 已知向量，，，若，，共面，则实数（ ） A B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】因为，，共面，所以存在两个实数a，b，使得，代入解得即可. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数a，b，使得，即， 即，解得 故选：A. 6. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆的标准方程和一般方程分别求出两圆的圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】圆可化为，即圆心，半径； 圆的圆心，半径， 则， 所以圆与圆外切，两圆有3条公切线． 故选：B 7. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求得底面法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 令，得， 所以此四棱锥的高． 故选：B. 8. 已知M，N是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过圆的标准方程知圆心为，半径，设MN中点为，则，进而，即点的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，结合点线距建立不等式，解之即可求解. 【详解】由题意知：圆的圆心为，半径， 设MN中点为，则，且，得， 又，知为等腰直角三角形，则，得， 故点的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意将直线l按横纵截距分成两类：①截距都0；②截距相等但不为0，分别利用点斜式方程和截距式方程求解即得. 【详解】当直线的横纵截距都为0时，直线的方程为，即，故A正确； 当直线的截距相等且不为0时，可设直线的方程为， 代入点，可得，即，直线的方程为，故C正确． 故选：AC. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 直线被圆截得的弦长为4时， 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，把直线方程整理成关于的方程，由系数等于0即可求得定点；对于B，由直线经过的定点在圆内，易得直线与圆相交；对于C，先证明过点与垂直的直线被圆截得的弦长最短，结合图形，由点斜式方程即可求得；对于D，利用圆的半径、半弦长和弦心距构成直角三角形，由勾股定理列方程求解即得. 【详解】对于A，由直线，可得，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，由A项知，直线恒过定点，由， 可得定点圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，由知,设， 如图，当直线与AC垂直时，直线被圆截得的弦长最短(下面证明此结论正确)， 此时，直线的方程为，即，故C错误； 证明：设过点与垂直的直线与圆交于点，过点任意作出的直线与圆交于点 过点作于，则, 而故得， 即过点与垂直的直线被圆截得的弦长最短. 对于D，圆心到直线的距离为，解得，故D错误． 故选：AB. 11. 已知点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若是AB中点，当在棱上运动时，存在点使得 C. 当在线段上运动时，AP与BD所成角取值范围是 D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意得，这与题意矛盾，由此即可判断；对于B，建立适当的空间直角坐标系，设，由可列方程，看方程的解的情况即可判断；对于C，，，可以先求出的范围再判断；对于D，设，先得出，，由题意，只需判断直线与正方形是否有公共点即可. 【详解】因为，而， 因此点是上靠近点的三等分点，点不在正方体的表面上，故A错误； 如图①，建立空间直角坐标系，则，，设， 若，则，故B正确； 如图②，建立空间直角坐标系，则，，，，， 设，，又，， 设与所成的角为， 则，当时，，此时； 当时，令，， 又，所以，所以，， 综上，，故C正确； 如图③，建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，， 因为，，且，，平面， 所以平面，即向量是平面的法向量， ，，， 若平面，则，即， 因为直线与正方形有公共点，即存在点使得平面，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于D，设，关键在于先得出，，然后得出点在直线上面运动，只需判断直线与正方形是否有公共点即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若点在线段上，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由斜率公式可知表示线段上的一点与点构成的斜率，结合图像解出取值范围即可. 【详解】 由题意知：表示线段上的一点与点构成的斜率， 设，则， 则直线，直线的倾斜角均为锐角， 且从直线旋转至直线时倾斜角逐渐增大，斜率值也会逐渐增大， 由点是线段MN上的任意一点，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 已知是圆上任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：令，故可看作点到直线与直线距离之和的倍，因为的取值与无关，所以这个距离之和与点在圆上的位置无关，由数形结合解出取值范围即可. 【详解】 如图：令， 故可看作点到直线与直线距离之和的倍， 因为的取值与无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 因为圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 如图所示，可知直线平移时，点与直线的距离之和均为直线m、l之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 且直线的纵截距要大于过圆心时与直线平行的直线的纵截距，即， 当直线与圆相切时，，解得（舍去），或， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：构造，故可看作点到直线与直线距离之和的倍，进而由数形结合求解是本题的解题关键所在. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】法一：先求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，结合空间向量数量积的定义计算即可求解； 法二：通过两平面方程求出直线的方向向量，结合空间向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】法一：因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量， 又直线上有两个点，， 所以直线的方向向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：由题知两平面与的法向量分别为，， 设直线的一个方向向量，则即 取，则，又平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行六面体中，，，，为上靠近点的三等分点，设，，．． （1）用基底表示向量； （2）求． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）根据空间向量的线性运算和数量积的运算律计算即可求解. 【小问1详解】 因为为上靠近点的三等分点， 所以． 所以． 【小问2详解】 因为，又， 所以 . 16. 已知两直线和的交点为． （1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意联立方程求得交点，根据直线平行求得斜率，可得答案； （2）设出圆的标准方程，利用点的坐标以及切线的性质，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 联立方程组，解得， 所以直线和的交点． 因为直线与直线平行，故可设直线． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设所求圆的标准方程为， 直线的斜率为，故直线CP的斜率为， 由题意可得，解得， 故所求圆的标准方程为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，，点为线段PC的中点，点是线段AB上靠近点A的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算和勾股定理逆定理的应用可得，由线面垂直的性质可得，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角即可. 【小问1详解】 因为点是线段AB上靠近点A的三等分点，，所以． 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以，即． 因为平面，平面，所以． 又，、平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 过点作，由平面，得平面， 又DC、平面，所以，又， 故以为原点，直线DF，DC，DG分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 则， 即平面和平面的夹角的余弦值为． 18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点．（M，N与O不重合） （1）求证：的面积为定值； （2）设直线与圆C交于点A，B，若，求实数的值； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最小值为，． 【解析】 【分析】（1）将圆的标准方程整理为一般方程，求得点的坐标，结合三角形面积公式，可得答案； （2）由题意作图，根据圆的垂径定理，结合垂直直线的斜率公式，可得答案. （3）根据将军饮马模型，作对称点，再根据圆外一点到圆上点距离公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：由圆的方程， 化简得， 其与轴，轴的交点分别为：，， 所以为定值． 【小问2详解】 如图①所示，因为，所以． 又OC的斜率，所以， 解得（负数舍去），所以实数的值为3． 【小问3详解】 如图②所示， 由（2）知：圆的方程为：， 圆心，半径，． 设点关于直线的对称点为， 则中点为，且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：，即． 点为直线与直线的交点， 则，解得，即点． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点，动点在直线上，且． （1）是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当取何值时，直线PN与平面所成角的正弦值为； （3）求动点到直线MN的距离的取值范围． 【答案】（1）不存在点，理由见解析 （2）或5 （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示向量，利用向量的数量积，可得答案； （2）求得平面法向量与直线方向向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （3）法一：利用勾股定理，建立函数关系，可得答案；法二：利用点面距的向量公式求得最值，可得答案. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，即，， 因为，所以， 所以不存在点，使得． 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，取，得． 因为直线PN与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或5， 所以当或5时，直线PN与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 法一：由（1）知，，． 设点到直线MN的距离为， （当且仅当时取等号）， 所以动点到直线MN的距离的取值范围为． 法二：由（1）知，，，， 设为直线和MN的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和MN的距离为． 所以动点P到直线MN的距离的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$