精品解析：安徽省阜阳市红旗中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个正确的选项. 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 点在函数的图象上，当时，可能等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 0 6. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（ ） A. 3 B. C. D. 8. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或 10. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在点P使得平面 D. 存在点P使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则________，________． 13. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，，且，则的欧拉线的一般式方程为______. 14. 某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 四、解答题（共77分） 15. 已知直线：，直线： （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知直线过定点P. （1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； （2）若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，. （1）求证：； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个正确的选项. 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 3. 当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解. 【详解】由直线过点， 则，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线方程为，即. 故选：C. 4. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解. 【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，， 则 ， 又，，， 则，， 因此， . 故选：B 5. 点在函数的图象上，当时，可能等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 6. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】按等腰三角形的底边和腰分类讨论求出直线的倾斜角，进而利用点斜式即可求出的方程. 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为， 因为直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形， 当等腰三角形底边在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为， 当等腰三角形腰在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为， 所以由点斜式可得的方程为或， 整理得的方程为或， 故选：D 7. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到PA，PB，PC两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体求解. 【详解】解：在正三棱锥中，，又，，所以，所以， 同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面ABC的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点O到平面ABC的距离， 所以． 故选：D． 8. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得. 【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是，， 又为的中点，则，，,， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D 二、多选题：每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线过定点、纵截距、倾斜角、数形结合等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，过定点，A选项正确. B选项，直线即，纵截距为，B选项错误. C选项，直线的斜率为， 倾斜角为，C选项正确. D选项，直线即过定点， 画出图象如下图所示， 其中， 直线的斜率为，所以或， 解得或，所以D选项错误. 故选：AC 10. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据“仿射”坐标的定义结合向量数量积的定义分析判断，对于B，根据“仿射”坐标的定义结合向量的加减法运算分析判断，对于C，由题意可得三棱锥是棱长为1的正四面体，从而可求出其体积，对于D，根据“仿射”坐标的定义结合向量的夹角公式分析判断. 【详解】对于A，，，， ，，故A错； 对于B，∵，， ∴， ∴， ，故B对； 对于C，由题意，三棱锥是棱长为1的正四面体，则正四面体的高为 ， ，故C对； 对于D，由，，得， ∴，，， ∴， 当时， ， 当时，，则与的夹角不一定取得最小值，故D错． 故选：BC． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在点P使得平面 D. 存在点P使得 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定推理判断A；求出三棱锥体积最大值判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断CD. 【详解】对于A，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，A正确； 对于B，令，则的面积，为等腰直角三角形， 由，可得平面，又平面，因此， 三棱锥体积，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，建立空间直角坐标系，如图，则， ，由，解得， 即当时，，此时 而平面，平面， 因此平面，C正确； 对于D，，则，， 因此与不垂直，D错误. 故选：AC 【点睛】思路点睛：涉及几何体中的动点问题，可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，利用数的方式处理形的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则________，________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化成斜截式，根据截距为－3即可求得，求出直线的倾斜角，则可得直线倾斜角，由斜率和倾斜角的关系，即可求出. 【详解】解：依题意得，直线的斜率为， 其倾斜角为，则直线的倾斜角为， 若直线在y轴上的截距为－3， ， 而， 故答案为：，． 13. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，，且，则的欧拉线的一般式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，求AB中点及AB垂线斜率，即可先写出点斜式，再化为一般式 【详解】如图，作CD垂直于AB于D， ∵，∴为等腰三角形，则的外心、重心、垂心均在直线CD上，即直线CD为的欧拉线. D为AB中点，则，，，， 所以直线CD为：，即. 故答案为： 14. 某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意可知，， 故． 设平面的法向量为，又， 则有即 令，可得平面的一个法向量为． 设与平面的法向量的夹角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知直线：，直线： （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 16. 已知直线过定点P. （1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； （2）若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）或或 （2）24， 【解析】 【分析】（1）求出直线过原点和直线不过原点两种情况讨论求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在，且，设直线，求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 直线，即， 令，即，即. 若直线过原点，且过点， 所以直线的方程为，即. 若直线不过原点，可设直线方程为， 因为点在直线上，所以， 若，则， 所以直线的方程为， 若，则， 所以直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或或. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在，且， 设直线， 令，则；令，则， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 所以直线. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，. （1）求证：； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，即可得到，从而得到平面，即可证明，再证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 所以，，，，， 则，所以，又，即，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 【答案】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $