专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题专训（45道）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【选取全国各地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 一、选择题 1．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 8．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④当时，随的增大而增大，⑤（为任意实数）．其中结论正确的个数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中说法正确的是（    ） A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③ 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 12．（23-24九年级上·云南保山·期末）若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．（2023·河北唐山·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论： 甲：abc＞0； 乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根； 丙：3a＋c＞0． 则下列判断正确的是（    ） A．甲和丙都错 B．乙和丙都对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 14．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线与轴交于 两点，与轴交于点，如图，根据图象判断正确的有（　　）个． ①当或3时，； ②当时，； ③当时，随的增大而增大； ④抛物线与轴的交点是．    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 15．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：（1）abc<0；（2）；（3）ac－b＋1＝0；（4）．其中正确的结论是（    ） A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 16．（2023·山东青岛·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 17．（2023·辽宁鞍山·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，过点作交轴于，若点从点出发，沿着直线上方抛物线运动到点，则点经过的路径长为（ ） A． B． C．3 D． 18．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可能等于2；③是抛物线上两点若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3，其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 19．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线与抛物线交于轴上一点，则下列结论错误的是（） A． B． C．若当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，则 D．若为任意实数，则 二、填空题 21．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）设、是常数，且，抛物线为图中四个图象之一，则的值为 ． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 23．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）当抛物线经过时， ． （2）当时，时，，则m的取值范围是 ． 24．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；②；③；④；⑤使成立的x的取值范围是．其中正确的结论有： ．（填上序号即可） 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·开学考试）如下图，抛物线与x轴交于点下列判断：①；②；③；④．其中判断一定正确的序号是 ． 26．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且，下列结论中正确的是 （填写正确结论的序号）． ①；②；③若，则；④关于x的方程有一个根为． 27．（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    28．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的是 ． 29．（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有 填序号 30．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，二次函数的图象如图所示，则①，②，③，④，⑤这几个式子中，值为正数的式子是 ．（填序号） 31．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数），，下列三个结论： ①若抛物线经过点，则； ②若，则方程一定有根； ③抛物线与轴一定有两个不同的公共点． 其中正确的是 （填写序号）． 32．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有 ． 33．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论①；②；③；④无实数根，其中错误的是 ． 34．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 35．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 36．（2023九年级·全国·专题练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 （填正确结论的序号）． 37．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点，点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中一定正确的结论有 （填写序号）． 38．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ 若方程有四个根，则这四个根的和为4，其中正确的结论有 ． 39．（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 40．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线过点，对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若函数图像上有两点和，且，则．其中判断正确的序号是 ．    41．（23-24九年级上·天津和平·阶段练习）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②二次函数与x轴两交点之间的距离为5；③；④；⑤有四个不同的根，其中，错误结论的是 （填序号）． 42．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 43．（2023九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 44．（2023·湖北武汉·模拟预测）抛物线经过点．判断下列四个命题： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则； ④若为方程的两个根，其中，则且． 其中一定正确的命题是 ．（填写序号） 45．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，拋物线顶点为．下列结论： ①；②； ③当是等边三角形时，； ④若方程有四个根，则这四个根的和为； 其中，正确结论的序号为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【选取全国各地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 一、选择题 1．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键． 先通过开口及对称轴判断出，，再通过当时，，即可判断①；通过抛物线与轴的交点判断出，再与①结合，可判断②；将方程变形可得，解方程可看成二次函数时求的值，通过函数图象即可判断③；当时，函数的值一定小于时的函数值，列出不等式变形即可判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为，当时，， ∴，即， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，变形可得，故②正确； 将方程变形可得， 解方程可看成二次函数时求的值， 由图可看出会有两个解，故③不正确； ∵当时，， 且当时，函数取得最大值， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论有①②④，共3个． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．根据该函数图像与轴交于正半轴，可得；根据该函数图像经过，可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该函数图像与轴交于正半轴， ∴， ∵该函数图像经过， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于，， ， ， 由图象可知，， ， ，故①不正确； 由图可知，当时， ， ，即，故②正确； 抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大， 又，，， ；故③正确； 当时，是抛物线的最小值， ， 即，故④正确； ∴结论正确的有②③④共3个， 故选：C． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称性，与y轴的交点问题，增减性问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 由图象得抛物线与y轴交于可判断A选项；由对称轴及可求抛物线必过点；由对称轴及开口方向可判断C选项；由对称轴及抛物线过点，可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项． 【详解】解：由图象得抛物线与y轴交于代入得，故本选项不符合题意； B、∵对称轴为直线，设关于对称轴的对称点为，则，解得，∴对称点为，故本选项不符合题意； C、∵对称轴为直线，且开口向上，∴当时，y随x增大而减小，，故本选项不符合题意； D、由抛物线过点，对称轴为直线，则与x轴另一交点为，且开口向上，∴当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴判定；根据当时，，即，然后由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，根据图象即可判断． 【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得： ∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴， ∴，， 又∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意； ∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意； 由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同， ∵， ∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于． 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，开口方向判断①，对称轴判断②，与轴的交点个数判断③，对称性，特殊点判断④和⑤，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴；故②正确； ∵图象与轴有两个交点， ∴，即：；故③错误； ∵当时，，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同，由图象可知：的函数值为负数， ∴当时，， ∵， ∴；故⑤错误； 故选B． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 8．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④当时，随的增大而增大，⑤（为任意实数）．其中结论正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①；根据，可判断②；根据对称性求得时的函数值小于，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故结论①错误； ②∵，，， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， 又∵当时，， ∴当时，，故结论③错误； ④当时，随的增大而减小，故结论④错误； ⑤当时，取得最小值，此时最小值为， 而当时，， ∴， ∴，即，故结论⑤正确； ∴结论正确的个数为． 故选：B． 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中说法正确的是（    ） A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象判断①，点的位置，判断②，对称轴判断③，根与系数的关系判断④．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于负半轴， ∴，，； ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∵， ∴ 由图象可知， ∴，故②正确； ∵， ∴；故③错误； ∵有一个根为，设另一个根为， 则：， ∴，故④正确； 综上：正确的是①②④． 故选A． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向，与轴的交点个数，与轴的交点位置，特殊点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下， ∴， 对称轴为直线， ∴， ∴， 抛物线与轴交于点，在正半轴上， ∴， ∴；故A选项错误； ∵图象与轴有两个交点，一个交点为， ∴；故B选项错误； ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∴， ∴，故C选项错误； ∵，， ∴， ∴，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．从函数图象中有效的获取信息，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 12．（23-24九年级上·云南保山·期末）若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，根据图象的特点可以判断④，根据抛物线与x轴的交点可判断⑤，根据a，b，c的关系进行即可判断⑥． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； 由图可知，当时，函数图象在x轴上方，此时或， 故④错误； 由图可知抛物线与x轴有2个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故⑤正确． ∵，当时，， ∴， 即， 故⑥错误， 即正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 13．（2023·河北唐山·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论： 甲：abc＞0； 乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根； 丙：3a＋c＞0． 则下列判断正确的是（    ） A．甲和丙都错 B．乙和丙都对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 【答案】B 【分析】根据二次函数图形可得到对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断甲乙丙三人的正误即可． 【详解】解：由图像可知a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故甲结论是错误的； 根据图象判断，当y=-2时，对应的x值有两个， ∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；，故乙同学结论正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1， ∴即， 令x=-1，则y=， 由图像可知当x=-1时，y＞0即，故丙同学结论正确． 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数图象性质和特征，能够利用二次函数图像判断出系数的正负是解题的关键． 14．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线与轴交于 两点，与轴交于点，如图，根据图象判断正确的有（　　）个． ①当或3时，； ②当时，； ③当时，随的增大而增大； ④抛物线与轴的交点是．    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象与性质，根据题中图象当时，或3；当时，；当时，随的增大而增大；抛物线与轴的交点是，即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：①抛物线与轴交于、，则当或3时，，故①正确； ②当时，抛物线图象在轴下方，则，故②错误； ③抛物线对称轴为，抛物线开口向上，则当时，随的增大而增大，故③正确； ④当时，，则抛物线与轴的交点是，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：D． 15．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：（1）abc<0；（2）；（3）ac－b＋1＝0；（4）．其中正确的结论是（    ） A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【答案】B 【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴位置得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对（1）进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点结合一元二次方程根的判别式，可对（2）进行判断；由OA=OC，则可用c表示出A点坐标．把A点坐标代入解析式可对（3）进行判断；设A、B两点的横坐标为m，n，则OA=-m，OB=n，利用根与系数的关系可对（4）进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下可知：， 由抛物线与y轴的交点位置可知：c>0， 由对称轴的位置可知： ， ∴b＞0， ∴abc<0，故（1）正确； 由抛物线与x轴有两个交点可知：， ∵， ∴，故（2）错误； ∵OA=OC， ∴OA=c， ∴A的坐标为：(-c，0)，代入抛物线解析式得： ∴，故（3）正确； 设抛物线与x轴交点的横坐标分别为：m，n， ∴OA=-m，OB=n ∵， ∴，故（4）正确； 综上可知，正确的为：（1）（3）（4）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等难度题型． 16．（2023·山东青岛·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，根据二次函数的图象得出，结合一次函数关系式即可排除B，C，根据二次函数对称轴可得，根据二次函数经过得出，假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ，进行判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据二次函数图象得，根据一次函数关系式得出直线经过第一、三、四象限，排除 B，C； 根据对称轴是直线，得，即． 将代入二次函数关系式，得，即． 假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ， 整理得，即， 即 ， 因为，所以方程无实根， 即一次函数与反比例函数的图象无交点，故 A 符合题意， 故选：A． 17．（2023·辽宁鞍山·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，过点作交轴于，若点从点出发，沿着直线上方抛物线运动到点，则点经过的路径长为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y轴的交点坐标即可解决问题． 【详解】解：对于， 令x=0，则y=3， ∴ 令y=0，则 解得， ∵点A在点C的左侧， ∴A（-3，0） 设AB所在直线解析式为， 把A，B点坐标代入得，解得 所以，直线AB的解析式为：y=x+3， ∵PQ//AB ∴设PQ的解析式为：y=x+a ∵点经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， ∴点Q的坐标为（0，） 当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3） 点经过的路径长为 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点的求法． 18．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可能等于2；③是抛物线上两点若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3，其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力．①根据该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴，得出，即可判断①；②由图可知，，推出，根据对称轴为直线，推出，则，即可判断；③根据，抛物线对称轴为直线， 得出点M离对称轴更近，结合该抛物线开口向下，即可判断③；④根据抛物线的对称轴为直线，得出抛物线还经过点，则方程的两根为，3．即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴， ∴， ∴， ∴；故①正确，符合题意； ②由图可知，， ∵， ∴， 令抛物线与x轴两交点的横坐标为，且， ∴， ∵对称轴为直线， ， ∴点A到对称轴距离， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴点M离对称轴更近， ∵该抛物线开口向下， ∴，故③错误，不符合题意； ④∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线还经过点， ∴方程的两根为，3．故④正确，符合题意； ∴正确的有①④． 故选：C． 19．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，进而得到当时，，于是可对②进行判断；利用抛物线与轴的交点个数可对③进行判断，利用抛物线的对称轴为直线，即，可对④进行判断．本题考查二次函数的图象和形状，掌握抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标以及抛物线与轴交点的与个数二次函数的系数之间的关系是正确解答的关键 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 即当时，， ， 所以②正确； ③抛物线与轴有两个不同交点， ， 因此③正确； ①抛物线的对称轴是直线，即， ， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个 故选：C． 20．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线与抛物线交于轴上一点，则下列结论错误的是（） A． B． C．若当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，则 D．若为任意实数，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线与直线图象关系，由抛物线的对称轴，二次函数与方程及不等式的关系，分别进行判断即可． 【详解】直线 令，得 直线与轴的交点为， ∴抛物线与直线在轴上的交点为． ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点为． 把代入，得． ∵抛物线的对称轴为直线 ，解得 ，解得， 故选项A错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线过点 当时，，即 直线经过第一、二、四象限， ， 故选项B正确； 抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上， ，即当时， ． 由，得， 故选项C正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，二次函数取最小值，最小值为， 即当时，， ， ， 故选项D正确． 二、填空题 21．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）设、是常数，且，抛物线为图中四个图象之一，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由，排除前两个图像，第三个图像，，推出，与已知矛盾排除，从而抛物线的图像是第四个图，再求的值．解题的关键：根据排除前两个图像，再结合从剩下的两个图像上把握有用的条件确定抛物线所对应的图像． 【详解】解：从左往右的图像依次为第一个图像，第二个图像，第三个图像，第四个图像， ∵第一个、第二个图像都有：当时，；当时，， ∴， 解得：，与已知矛盾， ∴排除第一个、第二个图像； ∵第三个图像：，， ∴，与已知矛盾， ∴排除第三个图像， ∴抛物线的图像是第四个图， 由图像可知，抛物线经过原点，且开口向下即， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质：增减性、图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 能够根据二次函数的解析式得出顶点坐标、系数的值，再结合函数的增减性、图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】二次函数图象的形状由决定，和中均为，故图象形状相同，①正确； 由顶点式可知，二次函数顶点坐标为， 故顶点在函数的图象上，②正确； 二次函数中， 当时，y随x的增大而减小，③错误； 当时，代入二次函数中可得， 故该函数的图象一定经过点，④正确． 故答案为：①②④ 23．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）当抛物线经过时， ． （2）当时，时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或1 / 【分析】（1）将点代入即可得； （2）将代入可得二次函数的解析式为，再求出时，或；时，，然后结合二次函数的图象即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 解得或， 故答案为：或1； （2）当时，， 当时，，解得或， 由二次函数的性质可知，当时，， 如图，当时，， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 24．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；②；③；④；⑤使成立的x的取值范围是．其中正确的结论有： ．（填上序号即可） 【答案】①③ 【分析】利用二次函数的顶点坐标与开口方向即可判定①正确；利用待定系数法求得a，b，c的值即可判定②③④，结合图象可得成立的x的取值范围是两部分，由此可得结论． 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象的性质和待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的图象可知：二次函数的图象的顶点为，抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值4， ∴二次三项式的最大值为4，故①的结论正确； 由抛物线的图象可知：抛物线经过，，三点， ∴，解得： ∴，故②的结论不正确； ∴，故③的结论正确； ∴，故④的结论不正确； 由抛物线的图象可知：成立的x的取值范围是或，故⑤的结论不正确， 综上，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·开学考试）如下图，抛物线与x轴交于点下列判断：①；②；③；④．其中判断一定正确的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴，得到即可判断①；根据抛物线与x轴有2个交点即可判断②；求出抛物线的对称轴为直线，得到即可判断③；根据当时，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∴，，故②正确； ∴， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④错误； ∴正确的有①②； 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 26．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且，下列结论中正确的是 （填写正确结论的序号）． ①；②；③若，则；④关于x的方程有一个根为． 【答案】②③④ 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴的交点问题，一元二次方程根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据题意画出图象，然后得到，由对称轴得到，进而判断①；然后由图象可判断②；然后求出，然后得到，然后得到，求解即可判断③；首先由得到关于x的方程有一个根为，然后利用根于系数的关系求解即可． 【详解】①∵二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且， ∴如图所示， ∴抛物线开口向下， ∴，对称轴为 ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②正确； ③∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴关于x的方程有一个根为 设另一个根为x ∴ ∴，故④正确； 综上所述，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 27．（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确； ④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 28．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，解出方程，故④不正确． 【详解】根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据图象可知：，故③正确； ∵方程， ∴， ∴ ∴故④不正确； 故填③． 29．（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有 填序号 【答案】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，， ∴， ∴， ∴①错误； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②错误； ③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，， ∴， ∴ ∴③正确； ④由①②知且， ∴，④正确； ⑤∵时，最大值，时，， ∵的实数， ， ∴成立． ∴⑤正确． 故答案为：③④⑤． 30．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，二次函数的图象如图所示，则①，②，③，④，⑤这几个式子中，值为正数的式子是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴的计算，图象与轴的交点的含义等知识是解题的关键． 根据图象开口，对称轴，图象与轴的交点等知识一一判定即可求解． 【详解】解：根据题意可得，图形开口向上，则；图象的对称轴，即，则；图象与轴的交点在的负半轴上，则；图象与轴有两个交点，则； ∴，即①的式子为正数，符合题意； ，即②的式子为正数，符合题意； 当时，，则， ∵， ∴， ∴，则，即③为正数，符合题意； ∵，， ∴， ∴，即④的式子是负数，不符合题意； ∵图象的对称轴在轴的正半轴上， ∴，即⑤的式子是正数，符合题意； 综上所述，值是正数的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 31．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数），，下列三个结论： ①若抛物线经过点，则； ②若，则方程一定有根； ③抛物线与轴一定有两个不同的公共点． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据题意可得抛物线经过点，则由对称轴可得抛物线对称轴为直线，根据对称轴计算公式即可判断①；先求出，再把代入方程看方程左右两边是否相等即可判断②；求出判别式的符号即可判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线经过点， 若抛物线经过点，则抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 若，则， 当时，方程的左边方程右边， ∴若，则方程一定有根，故②正确； 由题意得， 当时，，此时抛物线与x轴只有一个交点，故③错误； 故答案为：①②． 32．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．由对称性可求得抛物线与轴的另一交点坐标为，容易判断①②③，再由时可判断④，可得出答案． 【详解】解：二次函数过点，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 当时，，即，故③错误； 开口向下，与轴的交点在轴的上方， ，， ，故②错误； 抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ，即，故①正确； 当时，， ，故④错误； 综上可知错误的是②③④， 故答案为：②③④． 33．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论①；②；③；④无实数根，其中错误的是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；时，，可对②进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，无交点，可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，即， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根，故④正确． 故答案为：② 34．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，，即可判断③． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3）， ∴c=3，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵当x=-1时，， ∴即，故③错误， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 35．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 【答案】或 【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，，解得， 则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=-3； 当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得b=， 所以b的值为-3或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 36．（2023九年级·全国·专题练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 （填正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①，根据抛物线的对称性即可求得时，进而判断②，根据函数图象可知，时的函数值大于0，进而可得，将代入即可判断③，根据顶点位置函数值最大，进而判断④；根据抛物线的开口以及对称轴即可判断⑤． 【详解】∵抛物线对称轴为直线x2， ∴b＝4a，∴4a﹣b＝0，①正确． ∵x＝﹣4时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝﹣2， ∴x＝0时y＜0， ∴c＜0，②正确．∵x＝﹣3时y＞0， ∴x＝﹣1时y＞0，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0， ∴c＞3a，③正确． ∵x＝﹣2时y取最大值， ∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c， ∴4a﹣2b≥at2+bt，④错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴抛物线上距离对称轴越近的点的y值越大， ∵﹣2﹣（﹣2.5）<﹣2﹣（﹣3.5）<0.5﹣（﹣2）， 即0.5<1.5<2.5 ∴y2＞y1＞y3，⑤错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数与各系数之间的关系，抛物线的对称性，掌握二次函数的性质是解题的关键．本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 37．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点，点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中一定正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点，据此可判断②错误；先求得关于直线的对称点为，时，随着的增大而增大，据此可判断③错误；方程有两根，可看作直线与抛物线有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由题意可知：对称轴， ， ，故①正确； ②图象过点，对称轴为直线， 图象也过点，即当时，， ，即，故②错误； ③关于直线的对称点为， 由图可知：时，随着的增大而增大， 由于， ，故③错误； ④设，， 由于图象可知：直线与抛物线有两个交点， 方程的两根为和， ，故④正确； 综上，正确的只有①④， 故答案为：①④． 38．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ 若方程有四个根，则这四个根的和为4，其中正确的结论有 ． 【答案】③⑤/ 【分析】由二次函数的图象的开口向下，抛物线的对称轴为，二次函数的图象与轴交于正半轴，可得，故①不符合题意；由抛物线与轴有两个交点，可得，故②不符合题意；由，结合当时，，可得，故③符合题意；当时，函数最大值为：，当时，函数值为，可得，故④不符合题意；由方程有四个根，可得方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，则，，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③符合题意； 当时，函数最大值为：， 当时，函数值为， ∴， ∴，故④不符合题意； ∵方程有四个根， ∴方程与方程各自有两个根，设分别为，，，， ∴，， ∴方程有四个根，则这四个根的和为4，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，熟记二次函数的图象与性质是解本题的关键． 39．（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 40．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线过点，对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若函数图像上有两点和，且，则．其中判断正确的序号是 ．    【答案】②③④ 【分析】根据图象的开口方向、对称轴和与y轴的交点判断①；由抛物线与x轴有两个交点判断②；再根据抛物线的对称轴和与x轴的交点，求得抛物线与x轴的另一个交点坐标即可判断③；因为，，得点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴负半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 由图可知，抛物线与x轴的一个交点为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 把代入解析式得，，故③正确； ∵，， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ∴， 解得： 故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 41．（23-24九年级上·天津和平·阶段练习）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②二次函数与x轴两交点之间的距离为5；③；④；⑤有四个不同的根，其中，错误结论的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】通过表格确定函数的对称性、函数和坐标轴的交点等基本特征，进而求解． 【详解】解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵函数的对称轴为直线， ∴抛物线与直线的交点横坐标为和3， ∴二次函数与x轴两交点之间的距离为，故②正确； 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，整理得：， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故③错误； ∵， ∴二次函数， ∴抛物线的最小值为， ∴函数与直线有3个交点， ∴方程有2个不同的根和2个相同的根，故⑤错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，要求学生熟悉函数的基本性质，能够通过表格的数据，确定函数的对称性、函数与坐标轴的交点等基本特征，进而求解． 42．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④. 43．（2023九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线经过，，可得，，的值，从而判断③④．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：由抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点为可得，，， ，①正确． 抛物线与轴有2个不同交点， ，②错误． 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线经过， ， ， ，③正确． 由整理得， ， ， ， ， 抛物线开口向下，与轴交点坐标为，， 时，， 即不等式的解集为，④错误． 故答案为：①③． 44．（2023·湖北武汉·模拟预测）抛物线经过点．判断下列四个命题： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则； ④若为方程的两个根，其中，则且． 其中一定正确的命题是 ．（填写序号） 【答案】① 【分析】①抛物线对称轴，由对称性可知过，①成立； ②根据，得出，将代入得：，得出，从而得出，②不成立； ③由，横坐标相距1，得出当，即时，，③不成立； ④方程可化为，令，当时，，，④不成立． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线， ∵经过点， ∴由对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点为， 即该抛物线一定经过，故①成立； ②∵，抛物线经过，， ∴抛物线的开口向下，即， 将代入得：， ∴， 即， ∴，故②不成立； ③∵，横坐标相距1， ∴当，即时，，故③不成立；    ④方程可化为， 令， 由图象可知，当时，，，故④不成立； 综上分析可知，成立的只有①． 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 45．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，拋物线顶点为．下列结论： ①；②； ③当是等边三角形时，； ④若方程有四个根，则这四个根的和为； 其中，正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数图象的性质，等边直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程的关系一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则， ∵抛物线交轴分别于点， ∴对称轴为直线 即 ∴， 抛物线交轴正半轴于点，则， ∴，故①正确 又， ∴，即， 故②正确； 如图，设对称轴与轴相交于点， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故③错误； ∵方程有四个根， ∴方程有两个根，有两个根， 设方程有两个根为，有两个根为， ∴，， ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$