专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 利用二次函数解决表格型问题 题型九 二次函数其他问题 题型十 二次函数综合问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，共用 去隔栏绳 米．请问： (1)工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ (2)长方形场地的最大面积是多少平方米？ 1．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）现有一条长的绳子． (1)怎样围成一个面积为的矩形？ (2)能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法：如不能，说明理由． (3)能围成的矩形的最大面积是多少？说明理由． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在一个矩形空地上修建一个矩形花坛，要求点在上，点在上，点在对角线上．若，，设的长为，矩形的面积为． (1)求S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值． 3．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为 (1)S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)直接写出S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 4．（2024·河南周口·模拟预测）如图，某会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成的，矩形 的边米，米，以所在直线为x轴，以所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D 的坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)近期要在该会展中心召开科技博览会，需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建了一条木板，点M 在抛物线上，支撑柱垂直于x 轴，米，工人师傅站在木板上，他能利用工具刷到的最大垂直高度是米．请你判断工人师傅能否刷到顶点D． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动. (1)经过几秒钟后，的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积是否有最值，如果有，最值是多少？ 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． (1)请写出y与x之间函数关系式并画出图像； (2)当时，求运动时间． 2．（2024·河南商丘·三模）如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴． ①若点N也在二次函数的图像上，求m的值； ②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 3．（23-24九年级上·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动． (1)求点从点运动到点所需的时间； (2)设点运动时间为秒． ①当时，求出点的坐标； ②若的面积为，试求出与之间的函数关系式并写出相应的自变量的取值范围． 4．（2024九年级上·重庆北碚·学业考试）如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点后停止过点作，垂足为点，设点的运动路程为，的面积为． (1)求出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在图中画出（1）中函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于面积的时，直接写出的值． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶离水面．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降时，求此时水面的宽度是多少米？ 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，求到桥拱顶的距离．    2．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数解析式为． (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则____________． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求水面到桥拱顶的高度． 3．（23-24九年级·上海·假期作业）如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） 4．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系．当每件玩具售价为12元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为14元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式(其中，且x为整数)； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 2．（23-24九年级上·上海·期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）金石滩风景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间；第x（天） A种体育器材 B种体育器材 日销售价（元/件） 35 日销售量（件） (1)若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式； (2)设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？ 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（23-24九年级上·上海徐汇·期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系为． (1)小球的飞行时间__________s时，飞行高度h为． (2)小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？ (3)小球飞行高度能否达到？__________．（选填“能”或“否”） 2．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 3．（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）； (2)小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米； (3)若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； (4)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 1．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似的看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为___________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米． 下表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5    根据上述信息，解决以下问题： (1)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则________； (2)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过． 如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米． 已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（保留一位小数）． 4．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） (1)求出水口在D点时抛物线的解析式: (2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ (3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 3．（23-24九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】 【例8】（2024·浙江金华·二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【经典例题九 二次函数其他问题】 【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： (1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； (2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； (3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【经典例题十 二次函数综合问题】 【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 2．（23-24九年级上·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式及的面积． (2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元．用同样工时，最低档次产品每天可生产件，每提高一个档次产量将减少件．如果获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，垂直于y轴的动直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，则的取值范围是(   )    A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，宝珠桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为（），小明骑自行车从拱梁一段O匀速穿过拱梁部分的桥面，当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 9．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表： 时间t/秒 0                     1      ．． 行驶的距离s/米 0                     10      假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间的关系． （1）其函数表达式为 ； （2）刹车后汽车行驶了 米才停止． 10．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 11．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过4米（围栏宽忽略不计）． (1)每个生态园的面积为45平方米，求每个生态园的边长； (2)每个生态园的面积能否达到72平方米?请说明理由． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 13．（2023·山东青岛·模拟预测）如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 14．（2024·湖北·模拟预测）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示． (1)求关于的函数关系式； (2)若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆； (3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 利用二次函数解决表格型问题 题型九 二次函数其他问题 题型十 二次函数综合问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，共用 去隔栏绳 米．请问： (1)工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ (2)长方形场地的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)这个长方形的宽为米，长为米； (2)平方米． 【分析】（）设这个长方形的宽为米，根据题意可得长为米，最后列出一元二次方程进行求解即可； （）设长方形场地为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解； 此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解： 设这个长方形的宽为米，则长为米， 根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：这个长方形的宽为米，长为米； （2）设长方形场地面积为，则： ， ， ， ， ， ∴当时，面积最大为， 答：长方形场地的最大面积是． 1．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）现有一条长的绳子． (1)怎样围成一个面积为的矩形？ (2)能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法：如不能，说明理由． (3)能围成的矩形的最大面积是多少？说明理由． 【答案】(1)当围成的矩形的长为，宽为时，矩形的面积为； (2)不能围成一个面积为的矩形，理由见解析 (3)能围成的矩形的最大面积是是，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用： （1）设围成的矩形的长为，则宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可； （2）设围成的矩形的长为，则宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程，看方程是否有解即可得到结论； （3）设围成的矩形的长为，矩形面积为S，则宽为，再根据矩形面积计算公式列出S关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设围成的矩形的长为，则宽为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴当围成的矩形的长为，宽为时，矩形的面积为； （2）解：不能围成一个面积为的矩形，理由如下： 设围成的矩形的长为，则宽为， 由题意得，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不能围成一个面积为的矩形； （3）解：能围成的矩形的最大面积是是，理由如下： 设围成的矩形的长为，矩形面积为S，则宽为， 由题意得，， ∵， ∴当时，S最大，最大值为100， ∴能围成的矩形的最大面积是是． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在一个矩形空地上修建一个矩形花坛，要求点在上，点在上，点在对角线上．若，，设的长为，矩形的面积为． (1)求S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值． 【答案】(1) (2)当的长为3米时，矩形的面积最大；最大面积为． 【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题，相似三角形的判定和性质． （1）根据实际问题：由的长为米，利用相似关系即可转化出边长，从而建立函数解析式，要注意自变量的取值范围． （2）利用（1）的结论，配方即可求解． 【详解】（1） 解：四边形是矩形， ， ， ， ． ，， ， ， ； （2） 解：， 又， 有最大值． 当时，的最大值为6． 答：当的长为3米时，矩形的面积最大；最大面积为． 3．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为 (1)S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)直接写出S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)二次 (2) (3)当x为时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）设矩形小花园边的长为，面积为，则，再根据矩形的面积公式写出函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：S与x之间是二次函数关系； （2）解：设矩形小花园边的长为，面积为，则， 由题意得：， ∵， 解得：， ∴S与x之间的函数关系式为； （3）解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当x为时，小花园的面积最大，最大面积是． 4．（2024·河南周口·模拟预测）如图，某会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成的，矩形 的边米，米，以所在直线为x轴，以所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D 的坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)近期要在该会展中心召开科技博览会，需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建了一条木板，点M 在抛物线上，支撑柱垂直于x 轴，米，工人师傅站在木板上，他能利用工具刷到的最大垂直高度是米．请你判断工人师傅能否刷到顶点D． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，用待定系数法求出抛物线的函数表达式是解题的关键． （1）设抛物线函数表达式为顶点式，把点的坐标代入即可； （2）根据求出的函数解析式，将代入进行计算后进行比较即可得到答案， 【详解】（1）解：抛物线顶点D 的坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点的坐标为， 抛物线经过点， ， 解得， 故抛物线的函数表达式为：； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， ， 当时，， 作轴于点，交于点， 米， 由题意得米， ， ， 故师傅不能刷到顶点D． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动. (1)经过几秒钟后，的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积是否有最值，如果有，最值是多少？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)有，的面积有最大值9 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， （1）设经过秒钟，使的面积为，得到，，根据三角形的面积公式得出方程，求出即可； （2）设，表示出经过秒钟的面积再计算即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟，则，， ∴，， ∵的面积等于， ， ， ， ，． 答：如果点、分别从、同时出发，经过2或4秒钟，使的面积为； （2）解：设经过秒钟的面积，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积有最大值，最大值， 即在运动过程中，的面积有最大值，最大值是9． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． (1)请写出y与x之间函数关系式并画出图像； (2)当时，求运动时间． 【答案】(1)，图见解析 (2)2秒 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）分点Q到达点B之前和到达点B之后，两种情况进行讨论，即可得到答案． （2）根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： 作交于点M ∵ ∴点Q到达点B上的时间是，点P到达点D的时间是 当时， ∵ ∴在中， ∴． 当点Q到达终点C的时间是，故当时，如图，的底为，高为，为定值． ∴． 综上所述：． 列表如下： 0 2 4 5 8 0 2 8 8 8 画出函数图像如图： （2）同理，当时， ． 当时，P到达点D，三角形不存在． 当时，则：， 整理，得：， 解得：（舍去）或，即运动时间时． 2．（2024·河南商丘·三模）如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴． ①若点N也在二次函数的图像上，求m的值； ②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键． （1）把，分别代入，利用待定系数法求解即可． （2）①先求出抛物线的对称轴，由轴可知M点与N点关于对称轴对称，由此即可求解； ②先求得点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为，然后分两种情况：（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧；（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧，列不等式求解即可． 【详解】（1）把，分别代入，得： 解得， 抛物线的解析式为； （2）①抛物线的对称轴是， 轴，且点N在抛物线上， 点M和点N关于抛物线对称轴对称， ， 解得， 的值为；   ② 点M的横坐标为m， 点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为． （ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧时 ， 解得：； （ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧时 ， 解得：； ∴当线段与二次函数的图像有两个公共点时， m的取值范围或． 3．（23-24九年级上·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动． (1)求点从点运动到点所需的时间； (2)设点运动时间为秒． ①当时，求出点的坐标； ②若的面积为，试求出与之间的函数关系式并写出相应的自变量的取值范围． 【答案】(1)16秒 (2)①；② 【分析】根据路程，速度，时间的关系，构建方程求解； 当时，点从点运动到上，此时点到点的时间秒，，，再过点作于点，则，，得出，所以得出点的坐标； 可分三种情况“，，”进行讨论解题即可． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，行程问题等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）由题意， 点从点运动到点所需的时间为秒； （2）当时，点从点运动到上， 此时点到点的时间秒，， ， 过点作于点，则，， ， 点的坐标为； 分三种情况： 当时，点在上运动，此时，， ； 当时，点在上运动，此时， ； 当时，点在上运动，此时，， ， ； 综上所述，与之间的函数关系式是：． 4．（2024九年级上·重庆北碚·学业考试）如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点后停止过点作，垂足为点，设点的运动路程为，的面积为． (1)求出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在图中画出（1）中函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于面积的时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小 (3)当或时，的面积等于面积的 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，结合图形分情况讨论，当时，利用三角函数用表示出和的长度，根据三角形面积公式即可求出与的函数关系；当，根据三角形面积公式即可求出与的函数关系． （2）结合第一问的结果，发现与的函数关系是分段函数，当时，是二次函数，当时，是一次函数，根据描点法即可画出图像，根据图像即可分析出函数图像的性质． （3）根据等量关系的面积等于面积的，列关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：，，， ． 当时， ，， ，． ， 当时，， 综上所述，． 故答案为：． （2）解：函数图象如图所示： 观察图形可知，当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小． 故答案为：当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：，，， ． 的面积等于面积的， 或， 或， ， 或． 故答案为：当或时，的面积等于面积的． 【点睛】本题是一道函数和几何综合题，考查了函数的图像性质，函数的表达，三角函数，一元二次方程和一元一次方程的求解，解题的关键在于根据点运动轨迹求出与的函数关系． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶离水面．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降时，求此时水面的宽度是多少米？ 【答案】此时水面的宽度增加了 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先设解析式，然后构建函数图象，求出解析式，再代入数值进行计算即可得到答，根据已知给出的直角坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， 水面宽时，拱顶离水面， 点在此抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为， 当水面下降时，即时，， ， 此时水面的宽度为， 即此时水面的宽度增加了． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，求到桥拱顶的距离．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 以为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知、可得的解析式，从而求出的值，即可求解． 【详解】解：根据题意建立坐标系如下：    设抛物线解析式为：， 由题意知：，， ， 把，代入，得 ， 解得：， ， 当时，， 即 ， 答：到桥拱顶的距离为． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数解析式为． (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则____________． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求水面到桥拱顶的高度． 【答案】(1) (2)水面与桥拱顶的高度等于 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】（1）解：根据与抛物线的形状相同， 故； （2）解：根据（1）可得， ∵水面的宽度为， ∴点的横坐标为10， 将代入，解得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于． 3．（23-24九年级·上海·假期作业）如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） 【答案】(1)； (2)米 【分析】（1）由题意可知函数关于轴对称，为其顶点，函数过点，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式； （2）水位上升，由此时对应水面纵坐标为1，代入函数表达式得到，可得，，即可得到答案． 【详解】（1）由题意可知函数关于轴对称，为其顶点，， ∴函数过点， 设抛物线解析式为， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）水位上升米，即此时对应水面纵坐标为1，令，可得，，     则水面宽度为（米）． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系．当每件玩具售价为12元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为14元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式(其中，且x为整数)； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 【答案】(1)（其中，且x为整数） (2)当每件玩具售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是180元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）； （2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W， 由题意得 ，且，且x为整数， 当时，W取最大值，最大值为180， 即当每件玩具售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是180元． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【答案】(1)（，且是整数） (2) (3)电影票价要定在每张87元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式， （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）当时，则，然后解一元二次方程即可求得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 2．（23-24九年级上·上海·期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型号进价20元，B型号的进价30元 (2)降价5元时，最大利润为405元 【分析】（1）设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元，根据题意列出方程组即可完成； （2）设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则可得w关于x的二次函数，即可求得结果． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元 由题意得方程组： 化简得： 解方程组得： 即A、B两种型号的水杯进价各是20元、30元. （2）解：设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则每天多售出5x个，每天的销售量为(20+5x)个，每个水杯的售价为(44-x)元 由题意得： 整理得： 当x=5时，w最大，且最大值为405 即超市将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润是405元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）金石滩风景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用， （1）设与的函数解析式为，将、代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解即可； 解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为，过点、， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间；第x（天） A种体育器材 B种体育器材 日销售价（元/件） 35 日销售量（件） (1)若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式； (2)设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1)，； (2)，该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是关键； （1）根据利润=每件利润×销售量，例出函数解析式即可； （2）由（1）可得总利润关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出最值即可 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 当时，有最大值，最大值为1600； 该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（23-24九年级上·上海徐汇·期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 【答案】小杰这次掷铅球的成绩为米 【分析】已知抛物线上的两点，其中为顶点坐标，可设顶点式，再代入点求得，从而得到解析式，然后将代入函数解析式即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得， 解得：或（舍去） ∴米， 答：小杰这次掷铅球的成绩为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到抛物线上的三点而求其解析式，难度一般． 1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系为． (1)小球的飞行时间__________s时，飞行高度h为． (2)小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？ (3)小球飞行高度能否达到？__________．（选填“能”或“否”） 【答案】(1)1或3 (2)能， (3)否 【分析】（1）把代入，再解方程即可解答； （2）把代入，再解方程即可解答； （3）把代入，得，据即可作答； 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，令，得方程， 解这个方程得：，， 当小球的飞行和时，高度达到； 故答案为：1或3； （2）解：依题意，令，得方程， 解这个方程得：， 当小球的飞行时，高度达到； （3）解：令，得方程， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴小球的飞行高度不能达到； 故答案为：否． 2．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 3．（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)王阳在此次投掷中得到满分 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为: ； （2）设抛物线的解析式为，把, 代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去). ∴王阳在此次投掷中得到满分. 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）； (2)小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米； (3)若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； (4)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 【答案】(1)抛物线的解析式为（或） (2) (3)能，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为，再将点代入即可得； （2）设点的坐标为，将其代入抛物线的解析式求出的值即可； （3）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再求出当时，抛物线的函数值，由此即可得出答案； （4）设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为（或）． （2）解：点在一次函数上， 设点的坐标为， 将点代入得：， 解得或（不符题意，舍去）， 即小球在斜坡上的落点的垂直高度为米， 故答案为：． （3）解：能，理由如下： 对于一次函数， 当时，，即， 对于抛物线， 当时，， 因为， 所以小球能飞过这个广告牌． （4）解：设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米， 则， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 1．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】(1) (2)2或6m 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似的看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为___________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； 【答案】(1)1 (2)米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用 （1）把点代入即可； （2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 故答案为：1； （2）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为， 即， 坡地经过点， 的解析式为， 如解图， 设抛物线上一点，过点作轴交于点， 则，的长为， ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值为， 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米． 下表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5    根据上述信息，解决以下问题： (1)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则________； (2)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过． 如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米． 已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（保留一位小数）． 【答案】(1) (2)2.1米，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据求出抛物线对称轴即可得到答案； （2）求出抛物线解析式为，设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，此时对称轴不变，根据由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，建立坐标系， ∵当时，，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴水柱最高点距离湖面的高度为，即， 故答案为：；    （2）解：设， 将 代入得：， 解得， ∴h与d函数表达式为； 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，此时对称轴不变， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于， ∴， 解得， ∴水管高度至少向上调节米， 由表中数据可知水管高米， ∴（米）， ∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图像建立二次函数模型． 4．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） (1)求出水口在D点时抛物线的解析式: (2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ (3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 【答案】(1) (2)水能够射进窗户 (3)正好能击中火苗，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可； （2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较； （3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点， 设解析式为，代入得：， 解得：. ∴解析式为：； （2）解：经过平移后抛物线的解析式为， 即为： 当时，， ∵， ∴水能够射进窗户； （3）由题意可得，抛物线的解析式为， 此时着火点的横坐标为40，当时，， 因此，正好能击中火苗． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】 【例8】（2024·浙江金华·二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解； （3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）由题意，设， ． 又在抛物线， ． 或（舍去）． ； 答：门高为； （3）由题意，，， 直线为． 又∵， 可设为． ． ． △． ． 直线为． 令， ．即， 答：此时的长为． 1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为 （3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时 【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位； （2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可； （3）把带入解析式求解，与比较即可； （4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值． 【详解】（1）反应时间 所以驾驶员正常的反应时间为秒 （2）解：图像如下： 由图像大致可知函数图象为二次函数， 因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入： 函数表达式为． （3）把代入， 解得（舍）． 车速大于限速， 所以该车已超速行驶． （4）设汽车刹车前的速度为千米/小时． 则根据停车距离反应距离制动距离， 可列： 整理得：， 取最大距离，则 解得（舍） 汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时． 【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元 【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为； （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可． 任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可． 【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为： ． （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时， ， 将代入得：， 解得：，， 为了保证净收入又能吸引顾客，应取， ∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元． 任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为： （元）， 每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为： ， ∵，且x为整数， ∴当或时，获得利润最大， ∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为： （元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列出函数解析式． 3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二、不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三、 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 【经典例题九 二次函数其他问题】 【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用， （1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可． 【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，      则点A的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得 ，解得， 滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系   运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 即 运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，   点Q在底面下方竖直距离， 把代入得， ， 解得， 点， ，， ， ， 设与k的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ， ， 射线的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， 俯角至少15度． 2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： (1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； (2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； (3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 【答案】(1)见解析 (2)二次， (3)28秒 【分析】本题考查了二次函数的应用，画函数图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键． （1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解； （3）将代入，解方程即可求出的值，再用即可得出结论． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数， 设， 将，，代入中， 得：， 解得：， 该函数的表达式为； （3）解：依题意，当时，， 解得：， ， 地铁的停靠时间为28秒． 3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 【经典例题十 二次函数综合问题】 【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 【答案】(1)①；② (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围； （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可． 【详解】（1）解：①二次函数过点 二次函数的表达式为； ② 时，随的增大而减小 即当随的增大而减小时，的取值范围为； （2）二次函数 抛物线的对称轴为 点 和点关于对称轴对称 把点代入得 解得 . 1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)以，，，为顶点的四边形的面积为8 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质： （1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到； （3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵且， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （3）解：当时，解得或 ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8． 2．（23-24九年级上·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可． （1）把点，代入二次  函数，即可； （2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可． （3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． （2）∵与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵点在直线上，且横坐标为， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． （3）存在，理由如下： ∵点与点关于直线对称 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接，交点为点， ∴点是，的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵点是，的中点， ∴，， 设点， ∵点，， ∴， ∴点， ∵点，， ∴， 点； 综上所述，点或．    3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式及的面积． (2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：；面积为 (2)点的横坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数的综合； （1）根据题意可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可，根据解析式得，，，根据三角形面积公式即可求解； （2）过点作轴，交于点，易求得直线的解析式为，则设点，则点，然后可得，进而可得方程，最后问题可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为． 抛物线经过点， ． ． 抛物线的解析式为． 令，解得，． ，． 当时，， ． ． （2）解：如图，过点作轴，交于点．    设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点，则点， ∵， ． ． ． 解得，． 综上所述，点的横坐标为或． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元．用同样工时，最低档次产品每天可生产件，每提高一个档次产量将减少件．如果获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上将减少；利润在8的基础上将增加，据此可求出总利润关系式，求最值即可． 【详解】解：第档次产品比最低档次产品提高了个档次，所以每天利润为 ∵， ∴当时，y有最大值， 所以，生产第九档次产品获利润最大，每天获利864元． 故选：C． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 3．（2024·安徽·三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先以的中点为原点建立平面直角坐标系，求解抛物线为，再进一步的解答即可． 【详解】解：以的中点为原点建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴ ∵， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线： 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， 故选：D． 4．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，垂直于y轴的动直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，则的取值范围是(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点，点，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，可得，再由，可得，然后求出直线的解析式，可得，即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 6．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只，依题意得，． 【详解】解：由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只， 依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键． 根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可． 【详解】解：根据题意得出： ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，宝珠桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为（），小明骑自行车从拱梁一段O匀速穿过拱梁部分的桥面，当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 【答案】32 【分析】本题考查二次函数的应用、抛物线与x轴的交点，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．根据题意可以求得抛物线的对称轴，从而可以得到a与b的关系，然后令，即可得到抛物线与x轴的交点，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 令，则， 代入，得： 解得，， ∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需：（秒）， 故答案为：32． 9．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表： 时间t/秒 0                     1      ．． 行驶的距离s/米 0                     10      假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间的关系． （1）其函数表达式为 ； （2）刹车后汽车行驶了 米才停止． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质并能结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小． （1）设出二次函数解析式，把3个点的坐标代入可得二次函数解析式，进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上； （2）汽车在刹车时间最长时停止，利用公式法，结合（1）得到的函数解析式，求得相应的最值即可； 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 又由点可得：， 解得：； ∴二次函数的解析式为：； 经检验，其余各点均在上． （2）解：汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离， 当时，滑行距离最大，， 即刹车后汽车行驶了米才停止． 故答案为：；． 10．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质．过作轴于，过作于．则，证明，可得，，设，则， 可得，再求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于，过作于．则， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴． ，， ， ，抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，， ∴， 设，则， ， 设直线的解析式为， ，解得： ∴直线的解析式为． 令， ， ，， ． 故答案为： 11．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过4米（围栏宽忽略不计）． (1)每个生态园的面积为45平方米，求每个生态园的边长； (2)每个生态园的面积能否达到72平方米?请说明理由． 【答案】(1)每个生态园的的长为，宽为 (2)不可能的，见解析 【分析】（1）设生态园宽，且，则长为，根据矩形场地面积为，列出方程，解方程即可； （2）设生态园的的面积为，根据题意，得构造二次函数解答即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：设生态园宽，且， 则长为， 根据两个生态园的面积为， 列出方程得， 即， 解得：，， 由， 当时，符合题意， 当时，不符合题意，舍去， 故当时，成立，此时单个生态园的长为， 答：每个生态园的的长为，宽为． （2）解：设生态园的的面积为，根据题意，得， 由， ∴当时，y有最大值，最大值为． 由每个生态园的面积达到72平方米时，整个生态园的面积为． 由， 故每个生态园的面积达到72平方米时不可能的． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 13．（2023·山东青岛·模拟预测）如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 【答案】(1) (2) (3)能安全通过 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与y轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离． （3）求出时的函数值，与船高比较即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把点代入得：，即， ∴抛物线解析式为． （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴ ∴ ∴， ∴两景观灯间的距离为米． （3）货船走桥洞的正中间最容易通过， ∵货船宽6米， ∴左侧距离桥的距离为, 当时， ∵货箱高3米，， ∴货船能安全通过改拱桥。 14．（2024·湖北·模拟预测）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示． (1)求关于的函数关系式； (2)若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆； (3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离． 【答案】(1) (2)跑道长度不够无人机降落 (3)无人机着陆后最后两秒滑行的距离为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出最值，与进行比较，判断即可； （3）求出时的函数值，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵函数图象过点， ∴设函数解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴跑道长度不够无人机降落； （3）解：∵，有最大值为，此时无人机停止， ∴当时，， ∵， ∴无人机着陆后最后两秒滑行的距离为． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$