专题06 相似三角形的几何模型专训专题（11大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版）

专题06 相似三角形的经典模型专训专题 （11大题型+15道拓展培优题） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 一线三等角型相似 题型九 折叠相似 题型十 手拉手型相似 题型十一 动态相似 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（25-26九年级上·上海宝山·课后作业）如下图，在和中，． (1)判断这两个三角形是否相似，并说明理由． (2)在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)不相似，理由见解析 (2)能，证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由题意可得，根据两个三角形对应边的比值是否相等即可判断； （2）作和，则；根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得． 【小题1】解：不相似，理由如下： ， ， ， ， 与不相似． 【小题2】（2）能作辅助线进行分割．证明如下： 如图，作，交于点；作，交于点， 则． ， ． ， ， ． 故能作辅助线进行分割． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，平分，交边于点，，交边于点，点在边上，，连接，交线段于点． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，点在线段上，连接并延长，交线段于点，连接、、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中四个面积等于平行四边形面积的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，，． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质得出，得出，由可得，结合可得出结论； （2）由四边形是平行四边形得，证明，，可得出,由可得,得出，由是中位线可得出，得，同理可得，故可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四个面积等于平行四边形面积的三角形为，，，． 理由：设的边边上的高为，则有，， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 同理得，， ∴； 设的边边上的高为， 由得，边边上的高等于， ∴， ∵， ∴， 又, ∴, 设的边边上的高为，则边边上的高等于， ∴， ∴ ∴四个面积等于平行四边形面积的三角形为，，，． 2．（2025·上海·模拟预测）小海所在的数学小组对三角形的角平分线展开了研究． 【课本内容】角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 【研究发现】三角形角平分线分对边比例与另两边比例相等． 【定理证明】 如图1，在中，点D在边上，且平分，求证：． （1）小海所在的数学小组发现了一种证明方法：如图2，分别作出边上的高，以及边上的高．尝试用图中的线段表示、的面积，并完成证明； （2）在图3中尝试过的顶点作对边的平行线，也可以完成证明． 那么我们一定不可以过顶点 作其对边的平行线． 请选取一条边并在图3中作出示意图完成证明； 【定理运用】完成下列题目． （3）如图4，已知是等腰三角形，且，线段是的角平分线，设的角度是α，那么的值是 ；（用含α的三角比代数式表示） （4）如图5，在中，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）A，证明见解析；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的性质定理可得，由等面积法可得、，即可证明结论； （2）由于作平行线的目的是构建与角平分线与对边比例相关的等量关系，即可判定不能过A点作平行线；如图：过C作交延长线于E，由平行线的性质、角平分线的定义以及等角对等边可得，再证明，然后运用相似三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得；在中解直角三角形可得，同理，然后结合（1）证明的结论即可解答； （4）如图：作的角平分线交于D，则，，设，则、，再证明可得，即，解得：，最后求出的长即可． 【详解】解：（1）∵如图2，边上的高，边上的高， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵、边的高为， ∴， ∴， ∴； （2）∵过A作平行线，不能构建与角平分线与对边比例相关的等量关系， ∴不能过A点； 如图：过C作交延长线于E， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵，， ∴， ∴， 如图：过B作， ∴在中，， ∴， ∴； 同理：； 由（1）所得结论可得：； （4）如图：作的角平分线交于D，则，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，解得：或（舍弃）， ∴． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）阅读与思考 倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 【探究对象】倍角三角形的性质 【探究思路】从特殊到一般 【性质发现】 在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边． 如图1，当，时，，________ 若，时，________，________． 【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________． 【证明猜想】如图3，延长到点，使， …… 任务1：请将“________”的内容补充完整； 任务2：结合图3，完成“证明猜想”； 【综合应用】任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题： 如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长． 【答案】任务1：2；1，1；     任务2：见解析 任务3：5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程． 任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可． 性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系即可． 任务2：接着性质证明可得得到整理即可得到； 任务3：根据前面的结论得,分情况讨论三边的大小，代入计算即可． 【详解】任务1：解：性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边． 当，时，，则，此时，，则，； 当，时，，则，此时，，则，． 性质猜想：，，之间的数量关系为． 故答案为：2；1，1；； 任务2：如图2，延长到点，使． ． ． ， ． 又， ． ，即． ， 即； 任务3：∵ ∴， ∵， ∴， ∴是“倍角三角形”， ∴, ∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，易知, 当最长时，设，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 此时,不能构成三角形舍去. 当最长最短时，设，则，， ， 解得：不是整数舍去； 当最长最短时，设，则，， ， 解得：（舍）或6， 综上所述的长为5． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（24-25九年级·上海宝山·阶段练习）在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值． 【答案】（1），x＝9；（2）， 【分析】（1）如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值； （2）如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1中，， ∴，， ∴，即x＝9， ∴，x＝9． （2）如图2中，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，对应角相等定理的应用是解此题的关键． 1．（2025九年级上·上海松江·专题练习）定义：如图1，在中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转β，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”， 的边上的中线叫做的“倍旋中线”． (1)如图①，当时，“倍旋中线”的长为 ___________； (2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为 ___________． (3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)2 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题； （2）如图2，过点A作，证，根据易得结论． （3）如图3，延长到M，使得，连接，证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵D是的中点， ∴； 故答案为：2． （2）∵， ∴， 由“倍旋中线”可知，是等腰三角形， 如图2，过A作，垂足为， ∴， ∵D是等边三角形的边的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：，理由如下： 如图3，延长到M，使得，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】下面内容是华师版八下第75页练习2 如图①，如果直线//，那么的面积和的面积是相等的． 请你对上述的结论加以证明． 【方法探究】如图②，在中，点D、E分别在边AB、AC上，//，，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：． 【拓展应用】如图③，在中，D、E分别在边AB、AC上．，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G．点M、N在线段BC上，且，．若，则______． 【答案】【教材呈现】见解析；【方法探究】见解析；【拓展应用】24． 【分析】【教材呈现】过点A作于点E，过点D作于点F，利用平行线间的距离相等证明即可； 【方法探究】连结BE，过点E作于点H，证，利用相似三角形的性质和（1）的结论推理即可； 【拓展应用】如图③中，利用相似三角形的性质求出△ADE的面积，再根据S△BFM+△ENC＝S△BDE计算即可． 【详解】解：【教材呈现】如图①，过点A作于点E，过点D作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴． 【方法探究】如图②，连结BE，过点E作于点H， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【拓展应用】如图③中， ∵， ∴， ∵∠DAE =∠BAC ∴△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝， ∵S△ABC＝49， ∴S△BDE＝9， ∵，． ∴S△AFM＝S△AEF＝S△AEF，S△ENC＝ S△ADF=S△ADF， ， 故答案为24． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用模型解决问题，属于中考压轴题． 3．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 如图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似， 例1，如图，在中，是边的三等分点，，求的长， 解：． （平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， ， ， ． 【应用】 （1）如图①，在中，为边延长线上的点，过点作交延长线于点．若，求的长； （2）如图②，在中，是边上的点，为边的中点，连接、交于点．若，求：的值； 温馨提示；可以过点作的平行线或过点作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展】 如图③，在中，是边上的点，为边延长线的点，连接、交延长线点．若，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展： 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用相似三角形的性质即可求解； （2）由相似三角形的性质求得，，推出，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到； （3）由相似三角形的性质求得，利用邻补角的性质求得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答； （2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可； （3）如图：连接，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心． ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． （3）解：如图：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·全国·模拟预测）综合与实践： 【回归教材】 九年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）如图3，延长到点，使，连接， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， 设与相似比为， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 即 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）对角线把梯形分成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形的面积是多少． 【答案】45 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，梯形的面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 过点作，交于点，交于点，根据梯形的性质证明出，根据三角形的面积得出相似比，令，，则，最后利用梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 四边形为梯形， ， ， 即， ， ∴， ， ， 令，，则， ∴， ∴， 所以，梯形的面积是45． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且． (1)如图1，是______三角形； (2)若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点在上，且不与，两点重合，连接并延长到点，使得，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上．当时，求的长． 【答案】(1)等腰 (2) (3)． 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、折叠的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，由等角对等边可得是等腰三角形； 如图1，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得：，设，，由勾股定理得，设，根据相似三角形的性质可得，最后利用勾股定理列方程可得与的关系，从而得结论； （3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而由等腰三角形三线合一的性质得，证明，列比例式可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图1，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去） ∴； （3）解：如图2，过点作， 由折叠得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 由（2）知：，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·上海松江·模拟预测）问题提出 如图1，在与中，，，，若，则_______________； 问题解决 如图2，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，内部其它区域（阴影部分）种植鲜花，内部铺设草坪作为宠物活动区． ①求鲜花区（阴影部分）的最大面积． ②在①的条件下，计算宠物活动区的占地面积． 【答案】问题提出：；问题解决：①平方米；②平方米． 【分析】问题提出：根据题意证明出，得到，进而求解即可； 问题解决：①首先求出，计算出的面积，然后得到鲜花区（阴影部分）的面积，得出当最大时，鲜花区（阴影部分）的面积取得最大值，连接，，过点C作于点G，当取得最大值时，最大，证明出，得到，求出米，然后得出点C在以点F为圆心，为半径的圆上运动，当点C，F，G三点共线时，取得最大值，进而求解即可． ②首先求出，然后由求出，求出，然后求出，最后；利用宠物活动区的占地面积求解即可． 【详解】问题提出：∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴； 问题解决：①∵米，为中点 ∴米， ∵是等腰直角三角形 ∴米， ∴的面积（平方米） ∵鲜花区（阴影部分）的面积 ∴当最大时，鲜花区（阴影部分）的面积取得最大值 如图所示，连接，，过点C作于点G ∵米 ∴当取得最大值时，最大 ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∵为中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴（米） ∴点C在以点F为圆心，为半径的圆上运动 ∴如图所示，当点C，F，G三点共线时，取得最大值 ∴此时（米） ∴此时（米） ∴此时（平方米） ∴鲜花区（阴影部分）的面积最大值为平方米； ②∵米，米， ∴（平方米） ∵ ∴，即 ∴（平方米） ∵为中点， ∴（平方米） ∵（米），米， ∴（米） ∴（平方米） ∴宠物活动区的占地面积 （平方米）． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·上海静安·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【答案】（1）见详解 （2） （3）的周长为 【分析】（1）根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证； （2）根据题意可证，得，再证，得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，连接，可得，，可证，得，点为的中点，再证明四边形是矩形，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2）∵是边上的高，即，点恰好落在高线的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （3）如图所示，设交于点，连接， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴点为的中点， 又， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点． (1)点是三角形的______心，求______，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______； (2)当时，求证：四边形是矩形； 【答案】(1)重，， (2)见解析 【分析】本题考查了重心的概念，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定等知识． （1）根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线相等即可． 【详解】（1）解：∵的中线、相交于点， ∴点是三角形的重心，，， ∴是中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴ 即重心与一边中点的连线的长是对应中线长的； 故答案为：重，，； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，同理， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）小明利用三角形截取正方形进行了以下操作，其中中，，下面帮小明进行计算：    (1)如图1，四边形为的内接正方形，求正方形的边长； (2)如图2，三角形内有并排的n个相同的正方形，它们组成的矩形内接于，求正方形的边长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形及正方形的性质； （1）根据题意画出图形，作，再根据，可知，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长； （2）作，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点，交于点，    在中， ， ， 解得， ， ， ， 设正方形边长为， 则， ； （2）解：在图中，作，交于点，交于点，   ， ， ， 设每个正方形边长为， 则 ， ． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 【答案】(1)48 (2) (3)长和宽分别为， 【分析】（1）设正方形的边长为，则，证明，得到，求出结果即可； （2）根据矩形性质证明，得到，即可得到与之间的关系式； （3）设矩形的零件的面积为S，利用即可得出当时，S的最大值为2400，再代入求出y值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ∴， ， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是， 故答案为：48； （2）解：四边形为矩形， ， ， ∴， ， 整理得：； （3）解：设矩形的零件的面积为S， ， 当时，S的最大值为2400， ， 矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽分别为，． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，二次函数的最值问题，熟记相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）问题情境 图①是一块三角形形状的边角料，记作，，边上的高．现要从这块边角料上剪出一个矩形，使顶点E，F在边上，顶点D，G分别在，上，设与高交于点M． 初步探究 (1)经测量得，． ①如图②，若四边形是正方形，求边的长． 思考：设，由正方形的性质可知，，．由是边上的高，可知，所以四边形是矩形．所以，．由，可知，由此求得边的长为__________． ②若矩形的面积为，求边的长． 思考：设，由矩形的面积为，得到，再运用①中的思路求解，请写出解题过程．深入探究 (2)按照上述要求，可以剪出无数个矩形，问：是否存在两个不同的矩形，使得这两个矩形的面积之和等于的面积？若存在，请求出这两个矩形的周长；若不存在，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②或，过程见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，矩形的性质，以及二次函数最值问题等知识．a （1）①根据题意以及相似三角形的性质可得出，代入求解即可． ②同①过程一致，利用矩形的性质得出，．证明，有相似三角形的性质得出，，代入求解即可． （2）由矩形的性质可设，则．证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再利用矩形的面积公式可得出，再利用二次函数的性质可得出当时，有最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可得出：， 即， 解得 ∴． ②设． ∵矩形的面积为9， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵是边上的高， ∴． ∵四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴．所以， 解得，． ∴边的长为或． （2）不存在．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，． ∵是边上的高， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∴． ∴， 解得． ∴． ∴当时，有最大值． ∴不存在两个不同的矩形，满足这两个矩形的面积之和等于的面积． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例6】（24-25九年级上·上海宝山·课后作业）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可； （2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论； ②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立． 试题解析： 解：（1）∵CD⊥AB， 而平行光线垂直AB， ∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD； （2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°． ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•AB； ②同理可得：△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD． 点睛：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结合图形得出相似三角形是解决（2）的关键． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言是：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2＝AD•BD，（2）AC2＝AB•AD，（3）BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论（2）BC2＝AB•BD． 【结论运用】 （2）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若BE＝2，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）通过证明Rt△CBD∽Rt△ABC得到CB：AB=BD：BC，然后利用比例性质即可得到BC²=AB·BD； （2）根据射影定理得BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即， 加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED； （3）先计算出CE 、DE、OB的长，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到 =，即可求得OF的长． 【详解】（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BDC=∠ACB=90°， 而∠CBD=∠ABC， ∴Rt△CBD ∽Rt△ABC，∴CB：AB=BD：BC， ∴ =AB•BD； （2）①证明：如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD=90°， ∴BC2=BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2=BF•BE， ∴BO•BD=BF•BE， 即 ， 而∠OBF=∠EBD， ∴△BOF∽△BED； ②∵在Rt△BCE中，BC=6，， ∴CE=，∴DE=BC-CE=4， 在Rt△OBC中，OB=， ∵△BOF∽△BED， ∴=，即， ∴OF=. 【点睛】本题考查射影定理. 3．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例7】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P为BC的中点，小明拿着含45°角的透明三角形，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转． （1）如图①：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明△BPE∽△CFP． （2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF． 探究1：△BPE与△CFP．还相似吗？（只需写结论） 探究2：连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由． 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【分析】（1）找出△BOE与△CFO的对应角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题； （2）探究1：△BPE与△CFP还相似，证明思路同（1）；探究2：连接EF，△BPE与△EFP相似，根据有一夹角相等和夹边的比值相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°， ∴∠BPE+∠BEP=135°， ∵∠EPF=45°， 又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， ∴∠BPE+∠CPF=135°， ∴∠BEP=∠CPF， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）． （2）探究1：△BPE与△EFP还相似， 证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°， ∴∠BPE+∠BEP=135°， ∵∠EPF=45°， 又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， ∴∠BPE+∠CPF=135°， ∴∠BEP=∠CPF， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）． 探究2：证明：连接EF，△BPE与△PFE相似， ∵△BPE∽△CFP， ∴， 又∵CP=BP， ∴， ∴， 又∵∠B=∠EPF， ∴△BEP∽△PEF． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 1．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）在学习图形的旋转时，创新小组的同学们借助三角形和菱形来感受旋转所带来的图形变化规律和性质． ［操作探究］ （1）如图①，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到．当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H． ①猜想：的度数为______． ②证明：． ［问题解决］ （2）在（1）的条件下，已知，．求的长． ［拓展提升］ （3）如图②，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E恰好落在菱形的边上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）①由圆周角定理，得出的度数；②由旋转的性质可推导出； （2）由，利用计算出，再根据，计算出，最后计算出； （3）当E落在上，由推导出，得到F在的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到的长度，最后算出． 【详解】解：（1）①由题意可知，， A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上， ， ②证明：由旋转的性质可知，， ， ． （2），， 由勾股定理得，， 的锐角顶点D恰好落在的斜边上， ， A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得，经检验，是方程的解， ， ． （3）当E落在上时，如图所示，连接、、， 由M是中点和旋转可知，， 又 ， ， 又四边形是菱形， ， 和在同一直线，F在的延长线上， 由（1）①可知（已证）， ， ， 菱形中，，，如图所示， ，，， ， ， 又， ， 在中，，， ， 和菱形等底等高， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理的性质等知识点，解题的关键是熟知以上定理并能作出相应的图形． 2．（2025·上海崇明·模拟预测）“综合与实践课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，． (1)将和按图2所示方式摆放，点B与点D重合，，在同一条直线上，连接，取的中点G，连接并延长至点H，使，连接，，得到四边形，求证：四边形是正方形． (2)如图3，将和的点B与点F重合，并把绕点B旋转，使点E落在内部． ①当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明， ②如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由，得到四边形是平行四边形，然后由全等得到，，证明出平行四边形是菱形，然后得到，即可证明出菱形是正方形； （2）①由已知得到，再由等积，再结合已知即可证明； ②设的交点为，过点作于点，证明点是的中点，利用三角函数知识求出的长，进而求出的长，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的中点G， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴平行四边形是菱形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴菱形是正方形； （2）解：①． 理由：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； ②设的交点为，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由勾股定理得， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）能，或或12或． 【分析】（1）连接，证明 ，即可证明结论； （2）①由是中线，得，根据等边对等角得，，进而得，即可证明结论；②连接，证明， 得，可求得，证明，进而可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可得，由此建立方程即可求解； （3）分情况讨论：根据，画出图形结合图形分别求解． 【详解】（1）解：； 理由：连接，当点E落在边上时，， ， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，是中线， ， ， ，     ， ， ， ； ②连接， ，，， ， ， ， ， ，    ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， 解得，即， ， （3）① 如图，当点在边上，此时， ； ②如图，当点在边的延长线上，此时， ； ③如图，当时，作于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； ④如图，当时，作，垂足为F，，垂足为G， 同③可证四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ∴， ， 在中，， ， ， ． 综上所述， 或或12或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 【经典例题八 一线三等角型相似】 【例8】（2025·上海松江·模拟预测）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）证明，则，，即可得到结论； （2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可； （3）延长至点P，使，则，连接并延长交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形， ． ， ， 又， ∵， ∴， ， ，， ． 故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ． 为等边三角形， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 设，则，， ， 解得（负值已舍去）． ∴， 过点M作于点D， 在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则， 连接并延长交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得，（舍去）， ． ， ， ， ∴． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．    （1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式． （3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长． 【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）长为3或． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似； （2）过点作交直线于点，分别过、作轴，轴，由（1）得，从而得到，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出，，从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （3）分两种情形讨论：①如图1中，当∠PDC=90°时．②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x．分别求解即可． 【详解】解：（1）∵，∴ 又∵ ∴ ∴ ∵． ∴ （2）如图，过点作交直线于点， 分别过、作轴，轴    由（1）得  ∴ ∵坐标  ∴， ∵  ∴ 解得：，  ∴ 设直线表达式为，代入， 得，解得， ∴直线表达式为 （3）解：①如图1中，当∠PDC=90°时，    ∵∠ADC=90°， ∴∠ADC+∠PDC=180°， ∴A、D、P共线， ∵EA=EP，∠AEP=90°， ∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°， ∴∠BAE=45°，∵∠B=90° ∴∠BAE=∠BEA=45°， ∴BE=AB=3． ②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x，    ∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠PEF， 在△ABE和△EFP中， ∴△ABE≌△EFP， ∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x， ∴CF=3-（5-x）=x-2， ∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°， ∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC， ∴△PHD∽△CHP， ∴PH2=DH•CH， ∴（x-2）2=x（3-x）， ∴x=或（舍弃）， ∴BE=， 综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或． 【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（24-25九年级上·上海长宁·期中）将三角形纸片按如图方式折叠后展开得四边形． （1）判断四边形的形状并说明理由． （2）若，，，，求四边形的周长． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）7.5 【分析】（1）根据翻折性质和菱形的判定方法可得结论； （2）由菱形的性质和相似三角形的性质可得的长，再根据线段的和差及周长公式可得答案． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： 根据翻折过程可知，，，，相互全等， ， 四边形为菱形， （2）四边形为菱形， ， ， ， ， 即， ， ． 【点睛】此题考查的是翻折、相似及菱形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题关键． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）在一次数学活动课上，小宁证明了一个关于三角形角平分线的结论．如图1，已知是的角平分线，则．小宁的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，通过构造相似三角形来证明． (1)参照小宁提供的思路，利用图2证明； (2)如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可证得，即，由平分，可知，利用相似三角形的性质即可证得结果； （2）由折叠的性质得出平分，，由（1）知，由勾股定理求出的值即可得出答案； 【详解】（1）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即． ； （2）由折叠可知，平分，， 由（1）得，， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）综合与实践 【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明： 【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． （1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； （3）根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， ， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， 经检验是原方程的解， ； （3）解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， ，四边形是菱形， 是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 3．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践． 【主题】用三角形纸片折菱形． 【素材】一张锐角三角形纸片ABC，如题图1． 【要求】以三角形的一个内角作为菱形的一个内角． 【实践操作】 步骤：如图，折叠三角形纸片，使边和边重合，折痕与原相交于点； 步骤：如图，继续折叠折痕，使顶点落到折痕上的点处，折痕与原相交于点； 步骤：如图，展开三角形纸片，两次折痕，相交于点，连接，． 【证明计算】 (1)如图4，求证：四边形是菱形； (2)若，，以为菱形的一个内角，如何折菱形，才能折出一个面积最大的菱形？当菱形面积最大时，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据折叠性质及菱形的判定即可证明； （2）由四边形是菱形，得，，，从而得，进而得当最大时，菱形面积最大，即以的角平分线为菱形的对角线折叠时，所折叠菱形的面积最大，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质可得菱形面积最大时，菱形的边长． 【详解】（1）证明：由折叠可得， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴， ∴当最大时，菱形面积最大，即以的角平分线为菱形的对角线折叠时，所折叠菱形的面积最大， 如图， ∵ ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴，即， ∴， ∴菱形面积最大时，菱形的边长． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，三角函数的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的判定及性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【经典例题十 手拉手型相似】 【例10】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)如图1，正方形中，，分别交于点分别交于点则 ；（填“>”“=”或“<”） (2)如图2，矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先过点作，交于，过点作，交于，交于，然后根据正方形的性质以及的判定与性质，即可得出； （2）首先过点作，交于，过点作，交于，然后根据矩形的性质以及的判定与性质，即可得出； （3）首先过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，判定平行四边形是矩形，由（1）结论得出，然后判定，运用其性质和勾股定理构建方程，求解即可. 【详解】（1）解：如图1中，点作，交于，过点作，交于，交于， ∵四边形是正方形， , ∴四边形、四边形都是平行四边形， ． 又， ， ， . 在和中， ， ， ， . 故答案为：． （2）证明：过点作，交于，过点作，交于，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ． 又， ， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3， 则四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ． ， ∴由（1）中的结论可得， 设，则． ， ， ， ， ∴， ． 在中， ， ， 整理得， 解得或（不符合题意舍去）， ，， . 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是作好辅助线，找出等量关系． 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 【答案】（1）（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）证即可求解；（2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解；（3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解；（4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题以“手拉手”模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，旨在考查学生的推理论证能力和“举一反三”的能力． 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①或；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 【经典例题十一 动态相似】 【例11】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）列出、、关于t的代数式，通过，得到，即可求解， （2）由，得到，求出，关于t的代数式，代入，即可求解， （3）根据，代入，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点M，如图， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ，动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动，动时间为t（s）， ， ， 动点Q从点B出发以的速度沿线段BC向终点C匀速运动， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即，解得， 故当，四边形是平行四边形． （2）解：过点P作，交的延长线于点K，延长交于点N，如图， ， ， ∴四边形为矩形， ． ， ， ，即：， ， ， ， ， 故， （3）解：存在某一时刻时，平分四边形的面积，理由： 平分四边形的面积， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 故存在时，平分四边形的面积． 【点睛】本题考查了梯形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：用含t的代数式，表示出线段的长度． 1．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． 请解答下列问题： (1)_____； (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似； (3)点、在运动过程中，是否存在这样的值，使得外心在它的一边上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或秒 (3)存在，或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外心的定义，解直角三角形的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，由等腰三角形三线合一得到，再求余弦值即可； （2）由题意可知，，，则，再根据相似三角形的判定和性质，分两种情况求解即可； （3）由外心在它的一边上可知是直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， 在等腰三角形中，，， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意可知，，，则， ， 以点、、为顶点的三角形与相似有两种情况： ①若，则， ，即， 解得：； ②当，则， ，即， 解得：； 综上可知，当或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似； （3）解：如图，作，垂足为， ， ， 在中，，， ， 外心在它的一边上． 是直角三角形． ①当时，则， ，即， 解得：； ②当，则， ，即， 解得： ， 综上可知，存在这样的值，使得外心在它的一边上，的值为或． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8；理由见详解 【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 解得：； （2）解：由（1）可得， 过点作于，如图所示： ， ， ， ，即， ， ； ， ，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 键． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接．以下结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质推出，由角平分线定义求出，由等角对等边得到，设，，判定，推出，得到，求出（舍去负值），因此，求出，得到． 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作图-基本作图，关键是判定，推出，得到关于x的方程 【详解】解：A、∵，， ∴， 由题意得到：平分， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C、设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（已舍去负值）， ∴， ∴，故此选项符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四个点均在格点上，与相交于点，连接，则与的面积比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 如图：根据网格可知四边形为平行四边形，易证，最后利相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：如图：取格点M， 由题意可知，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025·上海·模拟预测）下图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C，已知，，设这个实验得到一个放大至倍的蜡烛的像，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，证明出，，四边形是矩形，即可得出，，，求出，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ，， ∴，，四边形是矩形， ∴，，， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H．若H恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明三角形全等以及三角形相似是解题关键．连接，先证明，得到，进一步证明得到，再由H是中点，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， 由作图即可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知：如图，矩形中，对角线交于点O，过D作于E，并延长交于F，连接，以下结论：①；②；③；④若F为中点，则；其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质及相似三角形判定与性质，根据矩形性质得出，，则 ，即可判定①；证明即可判定②；证明即可判定③；证明得出，设，则，求出即可判定④． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ；故②正确； ， ， ，即，故③正确； ， ， ， 为中点， 设，则， ， （负值已舍）， ， ， ，故④正确， 故正确的结论有：①②③④； 故选：A． 6．（2025·上海崇明·模拟预测）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，由三角形的面积可求，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ， 故答案为：2； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，．则图中相似三角形有 对，与的相似比是 ， ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；根据相似三角形的判定定理即可得到图中相似三角形的对数，再根据已知可求出与的相似比，证明四边形是平行四边形，得到，再利用相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴图中相似三角形有对； ∵，， ∴， ∴与的相似比是； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，． 8．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于9， ∴的面积为． 故答案为： 9．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用． 连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解． 【详解】解：如图，连接交于E， ∵于D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小， 作于H，设， ∵， ∴， ∵Q是的中点，，， ， ∴， 在中，， ∵的周长最小值为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，点B、C、E在一条直线上，和是等边三角形，且，，是的中点，连结交于点，交于点．求、的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质得出，，，根据可求出的长，证明，由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， 经检验，可得是原方程的解． 12．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点．    (1)找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明； (2)当时． ①求（1）中相似三角形的相似比； ②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②5或8.2 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质： （1）由矩形的性质得出，由折叠得出，通过导角证明，结合，可证； （2）①由折叠可知，用勾股定理解求出，进而求出，相似三角形对应边长度之比即为相似比；②分和两种情况，根据相似三角形对应边长度成比例求出，进而可求的长度． 【详解】（1）解： ． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：①∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知， 在中， ∴， 由（1）可知， ∴相似比为， （由（1）可知，∴相似比为：） ②或．理由如下： ∵为中点， ， 分两种情况:当时，如图，   ， ， ； 当时，如图，   ，即， 解得， ； 综上可知，或． 13．（2025·上海·模拟预测）综合与实践 课本再现 （1）如图1，都是等边三角形． ①与有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系． 数学小组发现在图1的四边形中，的长度与之间存在一定的关系，可考虑通过旋转构造特殊三角形之间的全等或相似求解． 特例感知 ②若，则 ． 请你尝试解决以下问题： 类比应用 （2）如图2，在四边形 中，， ，求的长． （3）如图3，在四边形中，，，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；；（2）；（3）． 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）都是等边三角形，得出，由旋转即可得出； 先求出，因为是等边三角形，可得，再应用勾股定理即可求解； （2）以点为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，过作交延长线于点，进一步得到为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解； （3）将绕着点逆时针旋转且延长得到， 使，连接，过点作垂直的延长线于点，过B作于H，证明，进一步得到，设，则，分别在和中解直角三角形求得x值即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴可以看成是绕点旋转得到的，其中点的对应点是点，点的对应点是点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴以点为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，连接，如图： ∴，，，， ∴是等边三角形， 过作交延长线于点，如图： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （3）如图， 将绕着点逆时针旋转且延长得到， 使， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作垂直的延长线于点，过B作于H， ∴， ∴ ， ， 设，则， 在中，，， ∴，， 在中，， 由勾股定理得，则， 解得，即． 14．（2025·上海青浦·模拟预测）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)①角平分线；②菱形的边长为； (2)见解析 【分析】（1）①由折叠知，折痕为的角平分线； ②由菱形的性质可证明，；设菱形的边长为x，则可得关于x的方程，解方程即可． （2）由第一次折叠知；由第二次折叠知，，，则可证明，有，从而根据四边相等的四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：①由折叠知，折痕为的角平分线； 故答案为：角平分线； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为x，则， ∴， 解得：， 即菱形的边长为； （2）证明：由第一次折叠知：； 由第二次折叠知，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形的经典模型专训专题 （11大题型+15道拓展培优题） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 一线三等角型相似 题型九 折叠相似 题型十 手拉手型相似 题型十一 动态相似 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（25-26九年级上·上海宝山·课后作业）如下图，在和中，． (1)判断这两个三角形是否相似，并说明理由． (2)在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，平分，交边于点，，交边于点，点在边上，，连接，交线段于点． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，点在线段上，连接并延长，交线段于点，连接、、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中四个面积等于平行四边形面积的三角形． 2．（2025·上海·模拟预测）小海所在的数学小组对三角形的角平分线展开了研究． 【课本内容】角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 【研究发现】三角形角平分线分对边比例与另两边比例相等． 【定理证明】 如图1，在中，点D在边上，且平分，求证：． （1）小海所在的数学小组发现了一种证明方法：如图2，分别作出边上的高，以及边上的高．尝试用图中的线段表示、的面积，并完成证明； （2）在图3中尝试过的顶点作对边的平行线，也可以完成证明． 那么我们一定不可以过顶点 作其对边的平行线． 请选取一条边并在图3中作出示意图完成证明； 【定理运用】完成下列题目． （3）如图4，已知是等腰三角形，且，线段是的角平分线，设的角度是α，那么的值是 ；（用含α的三角比代数式表示） （4）如图5，在中，，，，求的长． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）阅读与思考 倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 【探究对象】倍角三角形的性质 【探究思路】从特殊到一般 【性质发现】 在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边． 如图1，当，时，，________ 若，时，________，________． 【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________． 【证明猜想】如图3，延长到点，使， …… 任务1：请将“________”的内容补充完整； 任务2：结合图3，完成“证明猜想”； 【综合应用】任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题： 如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（24-25九年级·上海宝山·阶段练习）在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值． 1．（2025九年级上·上海松江·专题练习）定义：如图1，在中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转β，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”， 的边上的中线叫做的“倍旋中线”． (1)如图①，当时，“倍旋中线”的长为 ___________； (2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为 ___________． (3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明． 2．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】下面内容是华师版八下第75页练习2 如图①，如果直线//，那么的面积和的面积是相等的． 请你对上述的结论加以证明． 【方法探究】如图②，在中，点D、E分别在边AB、AC上，//，，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：． 【拓展应用】如图③，在中，D、E分别在边AB、AC上．，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G．点M、N在线段BC上，且，．若，则______． 3．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 如图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似， 例1，如图，在中，是边的三等分点，，求的长， 解：． （平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， ， ， ． 【应用】 （1）如图①，在中，为边延长线上的点，过点作交延长线于点．若，求的长； （2）如图②，在中，是边上的点，为边的中点，连接、交于点．若，求：的值； 温馨提示；可以过点作的平行线或过点作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展】 如图③，在中，是边上的点，为边延长线的点，连接、交延长线点．若，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 3．（2025·全国·模拟预测）综合与实践： 【回归教材】 九年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）对角线把梯形分成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形的面积是多少． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且． (1)如图1，是______三角形； (2)若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点在上，且不与，两点重合，连接并延长到点，使得，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上．当时，求的长． 2．（2025·上海松江·模拟预测）问题提出 如图1，在与中，，，，若，则_______________； 问题解决 如图2，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，内部其它区域（阴影部分）种植鲜花，内部铺设草坪作为宠物活动区． ①求鲜花区（阴影部分）的最大面积． ②在①的条件下，计算宠物活动区的占地面积． 3．（24-25九年级上·上海静安·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点． (1)点是三角形的______心，求______，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______； (2)当时，求证：四边形是矩形； 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）小明利用三角形截取正方形进行了以下操作，其中中，，下面帮小明进行计算：    (1)如图1，四边形为的内接正方形，求正方形的边长； (2)如图2，三角形内有并排的n个相同的正方形，它们组成的矩形内接于，求正方形的边长（用含n的代数式表示）． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）问题情境 图①是一块三角形形状的边角料，记作，，边上的高．现要从这块边角料上剪出一个矩形，使顶点E，F在边上，顶点D，G分别在，上，设与高交于点M． 初步探究 (1)经测量得，． ①如图②，若四边形是正方形，求边的长． 思考：设，由正方形的性质可知，，．由是边上的高，可知，所以四边形是矩形．所以，．由，可知，由此求得边的长为__________． ②若矩形的面积为，求边的长． 思考：设，由矩形的面积为，得到，再运用①中的思路求解，请写出解题过程．深入探究 (2)按照上述要求，可以剪出无数个矩形，问：是否存在两个不同的矩形，使得这两个矩形的面积之和等于的面积？若存在，请求出这两个矩形的周长；若不存在，请通过计算说明理由． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例6】（24-25九年级上·上海宝山·课后作业）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言是：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2＝AD•BD，（2）AC2＝AB•AD，（3）BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论（2）BC2＝AB•BD． 【结论运用】 （2）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若BE＝2，求OF的长． 3．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例7】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P为BC的中点，小明拿着含45°角的透明三角形，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转． （1）如图①：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明△BPE∽△CFP． （2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF． 探究1：△BPE与△CFP．还相似吗？（只需写结论） 探究2：连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由． 1．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）在学习图形的旋转时，创新小组的同学们借助三角形和菱形来感受旋转所带来的图形变化规律和性质． ［操作探究］ （1）如图①，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到．当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H． ①猜想：的度数为______． ②证明：． ［问题解决］ （2）在（1）的条件下，已知，．求的长． ［拓展提升］ （3）如图②，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E恰好落在菱形的边上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 2．（2025·上海崇明·模拟预测）“综合与实践课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，． (1)将和按图2所示方式摆放，点B与点D重合，，在同一条直线上，连接，取的中点G，连接并延长至点H，使，连接，，得到四边形，求证：四边形是正方形． (2)如图3，将和的点B与点F重合，并把绕点B旋转，使点E落在内部． ①当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明， ②如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【经典例题八 一线三等角型相似】 【例8】（2025·上海松江·模拟预测）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．    （1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式． （3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（24-25九年级上·上海长宁·期中）将三角形纸片按如图方式折叠后展开得四边形． （1）判断四边形的形状并说明理由． （2）若，，，，求四边形的周长． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）在一次数学活动课上，小宁证明了一个关于三角形角平分线的结论．如图1，已知是的角平分线，则．小宁的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，通过构造相似三角形来证明． (1)参照小宁提供的思路，利用图2证明； (2)如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，求的长． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）综合与实践 【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明： 【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长． 3．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践． 【主题】用三角形纸片折菱形． 【素材】一张锐角三角形纸片ABC，如题图1． 【要求】以三角形的一个内角作为菱形的一个内角． 【实践操作】 步骤：如图，折叠三角形纸片，使边和边重合，折痕与原相交于点； 步骤：如图，继续折叠折痕，使顶点落到折痕上的点处，折痕与原相交于点； 步骤：如图，展开三角形纸片，两次折痕，相交于点，连接，． 【证明计算】 (1)如图4，求证：四边形是菱形； (2)若，，以为菱形的一个内角，如何折菱形，才能折出一个面积最大的菱形？当菱形面积最大时，求菱形的边长． 【经典例题十 手拉手型相似】 【例10】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)如图1，正方形中，，分别交于点分别交于点则 ；（填“>”“=”或“<”） (2)如图2，矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值． 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【经典例题十一 动态相似】 【例11】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 1．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． 请解答下列问题： (1)_____； (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似； (3)点、在运动过程中，是否存在这样的值，使得外心在它的一边上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接．以下结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四个点均在格点上，与相交于点，连接，则与的面积比是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）下图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C，已知，，设这个实验得到一个放大至倍的蜡烛的像，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H．若H恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知：如图，矩形中，对角线交于点O，过D作于E，并延长交于F，连接，以下结论：①；②；③；④若F为中点，则；其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 6．（2025·上海崇明·模拟预测）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 7．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，．则图中相似三角形有 对，与的相似比是 ， ． 8．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于9，则的面积为 ． 9．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是 ． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ． 11．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，点B、C、E在一条直线上，和是等边三角形，且，，是的中点，连结交于点，交于点．求、的长． 12．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点．    (1)找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明； (2)当时． ①求（1）中相似三角形的相似比； ②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似． 13．（2025·上海·模拟预测）综合与实践 课本再现 （1）如图1，都是等边三角形． ①与有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系． 数学小组发现在图1的四边形中，的长度与之间存在一定的关系，可考虑通过旋转构造特殊三角形之间的全等或相似求解． 特例感知 ②若，则 ． 请你尝试解决以下问题： 类比应用 （2）如图2，在四边形 中，， ，求的长． （3）如图3，在四边形中，，，直接写出的长． 14．（2025·上海青浦·模拟预测）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$