第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 7．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 8．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的斜率小于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 10．已知直线， ，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，之间的距离为 11．已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C．若圆外切，则 D．过点作圆的切线，则的方程是或 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过三点中的两点且圆心在直线上的圆的标准方程为 ．（写出一个满足条件的方程即可） 13．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 14．若圆：与圆：外切，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 16．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相切，求直线的方程． (3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程． 17．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 18．已知圆，圆 (1)若圆、相切，求实数的值； (2)若圆与直线相交于、N两点，且，求的值. 19．已知圆，点． (1)直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程； (2)若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程； (3)是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数的值；若不存在，也请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，：，：， 若两直线平行，则， 解得或. 当时，：，：， 此时两直线重合，不符合. 当时，：，：，符合题意. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 3．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案. 【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为， 当时，直线过原点，斜率为，故方程为； 当时，直线的斜率， 故直线方程为，即， 故选：D 4．无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程可化为，再解方程组即可. 【详解】直线方程可化为， 解方程组，得， 即定点的坐标为. 故选：A. 5．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 6．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果. 【详解】由恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5， 所以. 故选：A 7．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 8．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离. 【详解】由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的斜率小于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】对于A，根据直线的斜率即可判断；对于B，结合直线点斜式方程可判断；对于C，利用直线的斜截式方程可判断；对于D，考虑直线的截距是否为0，即可判断. 【详解】对于A，，则直线的斜率为，A正确； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，正确； 对于C，斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线， 若截距为0，这直线方程为； 截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为， 将代入，即，即得， 故经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为或，D错误， 故选 ：AB 10．已知直线， ，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，之间的距离为 【答案】ABD 【分析】将化为，令即可确定定点；将、代入方程，由方程形式判断直线位置关系；由直线平行得，应用平行线距离公式求距离. 【详解】由，令，可得， 所以过定点，A对； 时，，而，即，B对； 时，，而，显然不垂直，C错； ，则，可得，由上知，之间的距离为，D对. 故选：ABD 11．已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C．若圆外切，则 D．过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过三点中的两点且圆心在直线上的圆的标准方程为 ．（写出一个满足条件的方程即可） 【答案】或或 (写出符合要求的一个答案即可). 【分析】分类讨论，分别求出圆心和半径，即可得到圆的标准方程. 【详解】若圆过两点，则线段的中垂线方程为，即，与联立求得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为； 若圆过两点，则线段的中垂线方程为，即，与联立得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为； 若圆过两点，则线段的中垂线方程为，即，与联立得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为． 故答案为：或或 (写出符合要求的一个答案即可). 13．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】利用斜率公式结合给定条件求出目标直线的斜率和定点，写出方程即可. 【详解】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为. 故答案为： 14．若圆：与圆：外切，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 将圆的一般方程变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，由两圆外切，可得，的关系，由均值不等式即可求解. 【详解】圆：的标准方程为， 圆心，半径， 圆：的标准方程为， 圆心，半径， 因为两圆外切，所以，即，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的斜率公式可得，再由点斜式方程代入计算，即可求解. （2）由题意可得AB边上的高所在的直线斜率，再由点斜式方程代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得， 化简可得. （2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为， 由直线的点斜式方程可得， 化简可得. 16．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相切，求直线的方程． (3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)，或 (3)或 【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解； （3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆的半径为， 所以； （2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切． 直线斜率存在，设直线， 由，得所以切线方程为，或． （3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线， 由，解得：， 故的方程是，即， 综上所述，直线的方程为或 17．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 18．已知圆，圆 (1)若圆、相切，求实数的值； (2)若圆与直线相交于、N两点，且，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】(1)根据圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系计算即可求解； (2)根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解. 【详解】（1）已知圆，圆， 圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径为，圆心距， 当两圆外切时，有， 即，解得， 当两圆内切时，有， 即，解得， 故m的取值为或. （2）因为圆与直线相交于、N两点，且， 而圆心到直线的距离， 有，即， 解得：或. 19．已知圆，点． (1)直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程； (2)若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程； (3)是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数的值；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在 【分析】（1）设直线方程为，由，结合可得圆心到直线的距离为，从而可求的，即可得解； （2）设动圆的圆心D的坐标为，由动圆D经过点P且与圆C外切，可得，从而可得出所求； （3）设，由点Q异于点P，得，根据两点之间的距离公式及已知化简整理即可得出结论. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率必存在，设为k， 则直线方程为， ∵，∴， 又，则圆心到直线的距离为， 则， 则直线l的方程为或； （2）设动圆的圆心D的坐标为， 由题意知，∴， 化简得：，即， 由于，所以，所以，解得， 所以动圆的圆心D的轨迹方程为； （3）设，则， 因为点Q异于点P，则， ， ∵为常数且为任意一点，则，∴， ∴，∵，∴， ∴， 则当Q的坐标为时，为常数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$