精品解析：山西省晋城市高中联考2025届高三上学期阶段测试（二）数学试题

2024—2025学年高中毕业班阶段性测试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解集合，再根据交，并，补的运算，即可求解. 【详解】，即，得， 即,，所以. 故选：A 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数的定义求和，再代入两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由终边点可知，，， 所以. 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用. 【详解】由题意，. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 而. 故选：C 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除A， 且当时，，故排除C， ，当时，，故排除D，满足条件的只有B. 故选：B 6. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果. 【详解】由题意，命题“”是假命题， 等价于其否定“”是真命题， 令，则对恒成立， 即，需满足， 而，，当且仅当，即时取等号. 所以，即. 故选：A. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，则在区间内的极值点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由平移关系与奇函数性质可得的对称性，求得的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】若是奇函数，则图象关于对称， 由题意得的图象向左移个单位长度得到函数的图象， 故的图象关于对称，， 则，则， 解得，又因为， 则当时，. ，， 令， 则在极值点的个数与在区间内的极值点个数相同. 而函数在内的所有极值点为，共4个. 故在区间内的极值点个数也为4个. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先判断，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项. 【详解】由，可知，，所以，故A错误； ，对数函数单调递增，所以，故B正确； ，即，故C正确； ，由，可知，即，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 以为周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先化简函数，再根据奇函数的定义，判断A，通过换元分析函数的单调性，即可求函数的值域，判断B，证明，判断C，根据，即可判断D. 【详解】， ，则，，则函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，且满足，所以函数是奇函数，故A正确； 设，在区间单调递减，，因为函数是奇函数，所以函数的值域是，故B错误； ，所以函数关于对称，故C正确； ，所以函数的周期为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. 1 B. C. e D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围. 【详解】由，可化为， 则又可化为， 令，则，令，得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故，且当，. 再令，则， 则关于的不等式在恒成立， 即在恒成立， 令，， 则，由解得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 要使在恒成立，则. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，再结合是的必要不充分条件列不等式族求解. 【详解】由，，则， 所以， 由，即，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以，且，也符合题意， 解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知均为正实数，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件等式配凑积为定值的形式，再利用基本不等式求解可得最小值. 【详解】由，得， 则， 由已知，则，所以， 且，所以. 所以， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 故答案为：. 14. 已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】曲线与关于直线对称， 又点关于直线的对称点在曲线上， 曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根， 设函数，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增， ，再根据当时，，当时，， 作出的大致图象，如图， 由于直线过定点，当直线与的图象相切时，设切点为，此时， 即，可得，此时切线的斜率为， 由图可知，时，直线与的图象有个交点， 实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值; （2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值. 【小问1详解】 由已知，得， 由题知，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 的变化情况如表所示： 1 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ，，， 即在区间上的最大值为1. 16. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 【小问2详解】 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且的面积为. （1）求； （2）延长CB至点，使得是等腰三角形，求. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出，然后根据三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求解即可； （2）首先利用余弦定理的推论求出，进而得到，根据是等腰三角形得到是边长为2的等边三角形，再利用求解即可. 【小问1详解】 ，， ， ，， 由余弦定理得， ； 【小问2详解】 如图，由（1）及余弦定理可得，， ，， 是等腰三角形，是边长为2的等边三角形，， ， 又， . 18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 【答案】（1）0；0 （2）偶函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . 【小问2详解】 对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. 【小问3详解】 对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 19. 已知函数. （1）若仅有一个极值点且恒成立，求实数的取值范围; （2）当变化时，求的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数，使其图象经过上述所有定点; （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明： 要证， 即证. 设， 则 设，则在区间上单调递增， 故存在唯一的，使得， 即，即. 当时，，即； 当时，，即， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 设，则在区间上单调递增， 当时，， . 【解析】 【分析】（1）由分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可； （2）令的系数为求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可； （3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得. 【小问1详解】 由题知， ①当时，恒成立， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 则仅有一个极值点，且. 要使恒成立，得，解得. 所以； ②当时，由，得或. 当，即时，恒成立，则在上单调递增， 即函数无极值点，不满足题意； 当时，即时， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 则在与处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意； 同理，当时，即时，也有两个极值点，故不满足题意； 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 令，可得或， ， 的图象经过的所有定点的坐标为和. 函数图象过和， 则，且. 当时，函数， 则，且满足题意. 图象经过点和的函数可以是.(函数解析式不唯一) 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下： （1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围． （2）以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式． （3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高中毕业班阶段性测试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. -1 B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，则在区间内的极值点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 以为周期 11. 已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. 1 B. C. e D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______. 13. 已知均为正实数，且，则的最小值为_____________. 14. 已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值; （2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 16. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且的面积为. （1）求； （2）延长CB至点，使得是等腰三角形，求. 18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 19. 已知函数. （1）若仅有一个极值点且恒成立，求实数的取值范围; （2）当变化时，求的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数，使其图象经过上述所有定点; （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $