精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，，，中，无理数的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，则的立方根是（　　） A. B. C. D. 4. 的平方根是（　　） A. B. C. D. 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 6. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ） A B. C. D. 8. 在△ABC中，，边上的高，则边的长为（ ） A. 4 B. 14 C. 4 或14 D. 8或14 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 10. 如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ） A. 200 B. 175 C. 150 D. 125 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. ，则_____． 12. 计算：___________． 13. 已知，两边，且满足，则第三边长是__________． 14. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则_____________ 三、解答题（本题共8小题，共72分．第16-18题每题7分，第19-21题每题9分，第22题13分，第23题14分．） 16. 计算： 17. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 18. 已知，的平方根是，c是的整数部分 （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 19. 如图，点在中，，，， （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 20. 先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … （1）表格中________，________； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________；  ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； （3）试比较与a的大小． 21. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22. 如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． （2）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 23. 【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断． 【详解】解：．，故本选项运算错误； ．，故本选项运算错误； ．，故本选项运算正确； ．，故本选项运算错误． 故选：． 【点睛】此题考查了算术平方根及平方根的运算，熟练运用算术平方根及平方根的性质化简是解题的关键． 2. 在，，，，，，中，无理数的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数定义即可判定选择项． 【详解】，有限小数，是有理数，不是无理数； ，分数，是有理数，不是无理数； ，无限循环小数，是有理数，不是无理数； ， ，， 是无理数，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3. 若，则的立方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：若，则的立方根是， 故选：A． 4. 的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意； ∵， ∴为直角三角形，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故D符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系． 6. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 7. 如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 8. 在△ABC中，，边上的高，则边的长为（ ） A. 4 B. 14 C. 4 或14 D. 8或14 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD﹣CD． 【详解】（1）如图1，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD+DC=9+5=14； （2）如图2，钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD﹣CD=9﹣5=4． 综上可得BC的长为14或4． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般． 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 10. 如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ） A. 200 B. 175 C. 150 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. ，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，理解概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴则，解得：， 故答案为：． 12. 计算：___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据立方根的定义进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：0 13. 已知，是两边，且满足，则第三边长是__________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质、勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据非负数的性质分别求出、，分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，(舍去)，， 当是直角边时，斜边， 当是斜边时，第三边长， 故答案为：5或． 14. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则_____________ 【答案】34 【解析】 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：四边形为“垂美”四边形， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：34． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第16-18题每题7分，第19-21题每题9分，第22题13分，第23题14分．） 16. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】此题主要考查立方根的定义．根据立方根的概念，等式两边开立方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 17. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】b 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：由数轴可得：， 原式． 18. 已知，的平方根是，c是的整数部分 （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根的定义求出a，再根据平方根的定义求出b，最后估算出的范围求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分是10， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟知算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 19. 如图，点在中，，，， （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积； （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵，，， ， 【小问2详解】 ∵，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为． 20. 先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … （1）表格中________，________； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________；  ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； （3）试比较与a的大小． 【答案】（1），； （2）①；②； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意得， ，， 故答案为：，； 小问2详解】 解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 21. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）∠ACB＝90° （2）海港C受台风影响，理由见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为小时 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解； （2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解； （3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解． 【小问1详解】 解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响，理由： 过点C作CD⊥AB， ∵△ABC直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴×300×400＝×500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， ∴海港C受台风影响； 【小问3详解】 解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 由（2）得：CD⊥AB，CD=240km， ∴EF=2ED， ∵ED＝＝100（km）， ∴EF＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． （2）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】（1） （2）为等腰三角形时，的值为5或或8 （3）为或10 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 中，，，， 则， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，，即， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； 【小问3详解】 解：当点在上时，如图2， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 23. 【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）10；（2）34；（3）；（4）24 【解析】 【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，勾股定理解三角形，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据题意，利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得出，再由完全平方公式变形求解即可； （3）根据题意得出，然后利用完全平方公式及勾股定理求解即可； （4）根据题意得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：34； （3）∵，的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$