精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

天津市第四十七中学2024—2025第一学期高三年级 第一次阶段性检测 数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品的价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D. 若，则函数的最大值为 9. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 存在最大值为9 D. 的最大值为 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则_______． 11. 的展开式中的系数是______.(用数字作答) 12. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 13. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______ 14. 若，且，则的最小值为______. 15. 设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是____. 三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，内角的对边分别为、、，已知，，. （1）求角的大小； （2）求边； （3）求的值. 17. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点D到平面的距离． 18. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值. 19. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为（），，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和； （3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程; （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若有三个零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2024—2025第一学期高三年级 第一次阶段性检测 数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由， ， 则， 即， 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可. 【详解】因为在单调递增，且, 所以，即 因为，所以,即, 所以存在两种情况：且，且， 因此推不出, 同样推不出, 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品的价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图判断A，根据回归直线方程判断B，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，令求出，即可判断D. 【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误； 由经验回归方程为，可知与具有线性相关关系，故A错误； 又，， 又经验回归直线方程必过样本中心点， 则，解得，故C错误； 当时，， 所以价格定为万元，预测需求量大约为，故D正确． 故选：D． 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再证明当时，，由此确定正确选项. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 因为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，故， 选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征， 故函数的部分图象大致为选项C的图象. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 6. 已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理求△的外接圆半径，再根据外接球球心与截面圆心距离与截面圆半径、球体半径间的几何关系求球的半径，进而求球的表面积. 【详解】由正弦定理得：△的外接圆半径满足，解得． 设球的半径为，由平面，得， ∴球的表面积为． 故选：． 7. 已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答. 【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有， 由，直线的倾斜角为，得，则，， 又，则为正三角形，，因此点， 双曲线：过点的渐近线为，于是，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 8. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D. 若，则函数的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，由最小正周期可求得，可判断A错误，将点代入验证可得B错误，由平移规则并利用其对称性可得C正确，由三角函数值域可得的最大值为，即D错误. 【详解】易知 ； 对于A，由最小正周期为可得，即可得，即A错误； 对于B，由A可得，将代入检验可得，可得B错误； 对于C，若将函数图象向右移（）个单位可得到， 若的图象关于轴对称，则可得，即， 又因为，则当时，的最小值为，故C正确； 对于D，若，，即， 所以函数的最大值为，即D错误. 故选：C 9. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 存在最大值为9 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD. 【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则， 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，， 则 ，B正确； 对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上， 设， 则， ， 由，得，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，由，得， 即， 因此，则， 而，则当时，取得最大值，D错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算得出，即可根据共轭复数的概念及模长计算得出答案. 【详解】由，得， 所以， 故答案为：. 11. 的展开式中的系数是______.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 12. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. 0.42## 【解析】 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 13. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______ 【答案】7 【解析】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 14. 若，且，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，解得或， 因为，所以，则，即， 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：5. 15. 设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题意可知函数在区间内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解． 【详解】由题意，函数与函数在区间内恰有3个零点， 设， 即函数在区间内恰有3个零点， 当时，函数在区间内最多有2个零点，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， ， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当，即时，函数在区间上无零点， 所以函数在上有三个零点，不符合题意； 当，即时，函数在区间上只有一个零点， 则当时，， 令，解得或，符合题意； 当，即时，函数在区间上有1个零点， 则函数在上有2个零点， 则，即，所以； 当，即时，函数在区间上有2个零点， 则函数在上只有1个零点， 则或或，即无解． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，内角的对边分别为、、，已知，，. （1）求角的大小； （2）求边； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由三角恒等变换可得，即可求出； （2）利用余弦定理计算即可得； （3）利用正弦定理可求得，再由二倍角公式以及两角和的正弦公式计算可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以 所以， 因为，所以，所以 又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，， 可得， 解得. 【小问3详解】 由正弦定理，可得. 因为，故. 因此，. 所以 17. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点D到平面的距离． 【答案】（1）以D为原点，为x轴，为y轴， 过D作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的大小； （3）求出平面的法向量，利用向量法求出点D到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面的法向量， 又， 设平面的法向量， 则，取， 设平面与平面夹角的大小为， ，所以， 所以平面与平面夹角的大小为； 【小问3详解】 ， 由（2）知平面的法向量， 所以点D到平面的距离． 18. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意，，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得. 试题解析： （1）联立解得，故 又，，联立三式，解得，，， 故椭圆的标准方程为. （2）设，，联立方程消元得， ， ∴，， 又是一个与无关的常数，∴，即， ∴，.∵，∴. 当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意. 19. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为（），，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和； （3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； (2)数列与数列都是递增数列，根据(1)可知在新数列中只有5项，其余45项为数列中项，分别计算数列前五项和与数列前45项和即可求解； (3)由，即可得，，令由值，可判断的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为（）， 由已知条件得，即， 解得. （舍去）或， 所以， 【小问2详解】 数列与数列都是递增数列，，，，， ，， 新数列的前项和为： 【小问3详解】 ， 其中， 所以，， 集合，设， 则， 所以当时，，当时，. 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程; （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若有三个零点，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意； 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即，，， 又因为，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. ，由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令，， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解； （3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 由函数，可得， 且，则， 曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，等价于， 设，则，， （ⅰ）当，时，， 故，在上单调递增，因此； （ⅱ）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $