精品解析：广东省潮州市暨实高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 潮州市暨实高级中学高二九月月考 数学 考试时长：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行直线与间的距离为 A B. C. D. 4. 直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（ ） A. B. C 或 D. 或 5. 已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 7. 已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　) A y＝2x＋4 B. y＝x－3 C. x－2y－1＝0 D. 3x＋y＋1＝0 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A. 若，则的夹角是锐角 B. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 D. 若向量，（，，都是不共线非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知的顶点坐标分别为，，，则的面积为 D 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三点A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为____． 13. 如图，在平行六面体中，，，，，，则___________． 14. ，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，为的中点． （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 16. 如图所示,在三棱柱中,是边长为4的正方形,，. (l)求证:； (2)求二面角的余弦值． 17. 在平面直角坐标系中，已知直线. （1）若直线在轴上的截距为，求实数的值，并写出直线的截距式方程； （2）若过点且平行于直线的直线的方程为：，求实数的值，并求出两条平行直线之间的距离. 18. 如图，在四棱锥，底面是矩形，平面，，，于点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 19. 在平面直角坐标系中，已知点坐标分别为，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点. （1）当点坐标为时，求直线的方程； （2）求与面积之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 潮州市暨实高级中学高二九月月考 数学 考试时长：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入即可求解. 【详解】设所求的直线方程为， 代入方程解得， 所求的直线方程为. 故选：D. 2. 在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为判断函数图像，根据一次函数的斜率大于0，可以排除B，D，再看的取值符号相同，即可得到本题答案. 【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确. 故选：C 3. 两条平行直线与间距离为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线平行的充要条件可得：， 结合平行线之间的距离公式可得， 两条平行直线6与间的距离为： . 本题选择C选项. 4. 直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，当直线过原点时，根据斜率公式求出斜率，即可求得直线 当直线不过原点时，设出直线截距式方程，将点代入即可求解． 【详解】解：依题，当直线过原点时，直线斜率为， 则直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：， 将代入：，解得， 则直线方程为，即， 综上，直线的方程为或． 故选：C． 5. 已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角. 【详解】 解得， 代入得，又向量夹角范围： 故的夹角为，则与的夹角， 当时为；时为. 故选：B. 【点睛】本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题. 6. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题得， 所以到平面的距离为， 故选：C. 7. 已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标. 【详解】因为在直线上，故存在实数使得， .若，则，所以，解得， 因此点的坐标为. 故选：A. 【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 8. 已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　) A. y＝2x＋4 B. y＝x－3 C. x－2y－1＝0 D. 3x＋y＋1＝0 【答案】C 【解析】 【详解】设点A（3,1）关于直线的对称点为，则 ，解得 ，即，所以直线的方程为，联立 解得 ，即 ,又，所以边AC所在的直线方程为，选C. 点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题．解题时要结合实际情况，准确地进行求解． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；根据直线斜截式方程即可判断D． 【详解】对于A，当斜率为时,倾斜角为，当斜率为时,倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 由斜截式方程的定义可知斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为，故D错误． 故选：BC． 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A. 若，则的夹角是锐角 B. 若，，是空间一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 D. 若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量夹角的定义即可验证A选项；根据空间向量基本定理即可验证B选项；根据法向量与直线方向向量的夹角与直线方向向量和平面的夹角即可验证C选项；根据空间向量基本定理即可验证D选项； 【详解】若，的夹角可为0，所以不一定为锐角，故A错误； 由于，， 所以，所以A，B，C，D四点共面，故B正确； 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 则直线与平面所成的角等于，故C错误； 由题意得， 设， 所以，解得， 即在基底下坐标为，故D正确； 故选：BD. 11. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知的顶点坐标分别为，，，则的面积为 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：由题意可得，进而判断线面关系；对于B：由题意可得，结合倾斜角和斜率关系分析判断；对于C：求三边长度，利用余弦定理结合面积公式运算求解；对于D：根据四点共面的结论分析判断. 【详解】对于选项：因为，， 则，即 所以或，故A错误； 对于选项B：直线即为， 可得直线斜率．即，且， 当时，则； 当时，； 综上所述：倾斜角的取值范围为，故B正确； 对于选项C：由题可得：， ，． 由余弦定理可得． 且，则， 所以，故C正确； 对于选项A：因为三点不共线， 若，且，则四点共面，故D正确． 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三点A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解. 【详解】由题意可得kAB=kAC,∴，∴m=4， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题. 13. 如图，在平行六面体中，，，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先，画出图形，然后，结合=，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可． 【详解】平行六面体，如图所示： ∵∠BAA1=∠DAA1=60° ∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上， ∴平面ACC1A1⊥平面ABCD， ∵AB=1，AD=2，AA1=3， ∵ = ∴||2=（）2 =||2+||2+||2+2+2+2 =1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23， ∴||=， ∴AC1等于． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题． 14. ，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求出两条直线过的定点，根据两直线的位置关系两得直线垂直，是直角三角形，由不等式得到答案. 【详解】由条件知直线过定点，直线过定点，所以， 又因为，所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，所以， 故周长的最大值为 故答案为：①； ②. 【点睛】本题主要考直线查过定点，两直线的位置关系与垂直时满足，不等式的应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，为的中点． （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，代入即可求得结果； （2）根据空间向量的加减和数乘运算可得到，进而可求得结果． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ， ． 16. 如图所示,在三棱柱中,是边长为4的正方形,，. (l)求证:； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到； （2）以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是边长为4的正方形，所以， 又，， 由线面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以. （2）在中，有，所以， 分别以AC，AB，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，同理得平面的法向量， 设二面角的平面角为，则. 【点睛】 本题考查了直线与平面垂直判定与证明，以及空间角的求解问题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 17. 在平面直角坐标系中，已知直线. （1）若直线在轴上的截距为，求实数的值，并写出直线的截距式方程； （2）若过点且平行于直线的直线的方程为：，求实数的值，并求出两条平行直线之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用截距的定义得到直线过点，进而求得，再将直线的一般式化为截距式即可得解； （2）利用点在直线上与两直线平行的性质求得，再利用点线距离公式求得两平行直线的距离，从而得解. 【小问1详解】 因为直线在轴上的截距为， 所以直线经过点，代入直线方程得，所以， 所以直线的方程为，当时，， 所以直线的截距式方程为：. 【小问2详解】 把点代入直线的方程，得，求得， 由两直线平行得：，所以， 因为两条平行直线之间的距离就是点到直线的距离， 所以. 18. 如图，在四棱锥，底面是矩形，平面，，，于点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，由此可得，结合，证明平面，由此证明结论； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【小问1详解】 在四棱锥，底面是矩形，平面，平面， ，， ，，平面， 平面， 平面， , 又，，，平面， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）得，又， 为中点，即， 则，，， 设平面的法向量， 则， 令，得， 点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系中，已知点坐标分别为，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点. （1）当点坐标为时，求直线的方程； （2）求与面积之和的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）先求出的方程，进而得点坐标，再求出直线的方程与直线的方程，进而可得点坐标，即可求直线的方程； （2）先根据题意得的方程，并设，进而得直线的方程，故，并结合题意得，进而得，再整理用基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：（1）当点坐标为时，的方程为：， 所以，故直线的方程为：， 又因为直线的方程为， 所以直线与直线联立得， 所以直线的方程为：. （2）直线的方程为：，设， 所以直线的方程为：，故， 由于直线与轴负半轴交于点， 所以，故 所以 . 当且仅当时，即时等号成立， 所以与面积之和的最小值为. 【点睛】本题考查直线的方程的求解，考查运算能力，是中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$