精品解析：天津市第五十四中学2025届高三上学期第一次月考（10月）数学试题

2024-2025学年天津市第五十四中学高三（上）第一次月考 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算的定义计算． 【详解】由题意，， ． 故选：C． 2. 设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得，由，可知“”是“”的充分不必要条件，选A. 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 判断函数为奇函数排除，计算排除，得到答案. 【详解】，，函数为奇函数，排除. ，排除. 故选：. 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像，判断函数的奇偶性是解题的关键. 4. 已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以，故选C． 【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 5. 某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用左边的矩形面积之和为列等式可求得实数的值. 【详解】优秀人数所占的频率为， 测试结果位于的频率为，测试结果位于的频率为，所以，， 由题意可得，解得. 故选：B. 6. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得三棱柱外接球表面积与四棱锥体积即可解决. 【详解】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接 则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径. 由，可得， 则 则三棱柱外接球表面积为 延长交与，则为四棱锥的高 则 则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为 故选：A 7. 已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在上单调递减,周期,解得:,令可得，由于函数在上单调递减，可得，分析即得解 【详解】函数在上单调递减, 周期,解得: 又函数的减区间满足: 解得： 由于函数在上单调递减 故 即 又，故 则的取值范围是:. 故选：B 8. 设函数，若互不相等的实数、、，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以，， 因此，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 9. 已知，给出下列结论： ①若，且，则； ②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称； ③若，则在上单调递增； ④若在上恰有5个零点，则的取值范围为. 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，利用余弦函数的图像和性质判断各结论即可. 【详解】由题意可得， ①由且可得两相邻对称轴间的距离为，所以，解得，错误； ②的图像向左平移个单位长度得， 若关于轴对称，则，即， 解得，所以当时符合题意，正确； ③当时，所以当时， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，错误； ④设，当时，在上恰有5个零点，即在上有5个零点， 则，解得，正确； 综上②④正确， 故选：B 二、填空题 10. 是虚数单位，复数的虚部是______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算． 【详解】．虚部为-2. 故答案为：． 11. 在的展开式中，x的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数． 【详解】的展开式中， 通项公式为， 令，求得，可得展开式中含x项的系数. 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得. 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 设，，若，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为满足， 所以，且， 则， 当且仅当且， 即时取得最小值. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 14. 甲､乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为.乙若射中，则不再继续射击.则甲三次射击恰好命中1次的概率为______，乙射击次数的期望为______. 【答案】 ①. ##0.096 ②. ##1.15625 【解析】 【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算空1，空2根据射击次数的取值算出对应概率，求解期望. 【详解】根据甲每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故甲三次射击恰好命中1次的概率为. 乙射击次数X可能的取值为1，2，3， ，，， 所以. 故答案为：； 15. 在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出，根据它们的关系求得x的值及M的坐标； 设，表示出的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围. 【详解】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 由题知，，且，设， 则，由， 则，解得，， 设，，， 则， 则 故答案为：；. 三、解答题 16. 在中，分别是三个内角的对边，若，且. （1）求及的值； （2）求的值. 【答案】（1），;（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理可得； （2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理， 得， ，，即， 解得， 在中，由余弦定理， 得，解得或． ，． （2）， ， ， . 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 17. 如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，分别为，的中点， ∴， 又平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 由题可知DA、DC、DP两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设， 则， ∴， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， ∴， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，角、、的对边分别是、、，且满足，，且的面积. （1）求的值和边的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值，利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式列方程，由此求得的值； （2）由题意求出，再由正弦定理可得，根据二倍角公式以及两角差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由题意， 又因为，为内角，所以. 因为，所以得， 的面积，即， 得，所以； 【小问2详解】 ，因为， ，解得，， 又因为，，解得， 由，角为锐角，所以， ，， . 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且 （1）求证：DE⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） 以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，所以DE⊥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 求得，，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案； （3）设，利用可得，再由 可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，DE⊥平面，是平面的一个法向量， 且，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则， 所以， ， 由图二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以，是平面的一个法向量 所以 ，解得. 所以. 20. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）已知函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式即可得解； （Ⅱ）求函数导数，根据导数的正负即可得单调区间； （Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，转化为恒成立，再求的导数，讨论单调性求最值即可. 【详解】（Ⅰ）∵，定义域是， ∴，，， 故切线方程为，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）， 令，解得，令，解得， 故在（0，）递增，在递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是， 即的最大值是， ∵，∴， 令，解得或， 若，，不等式恒成立， 则时，恒成立， ①当即时，在上单调递增， 此时，令，得； ②当时，即时，在递减，在递增， 此时， 令，解得，不符合题意； ③当即时，在递减， 故， 令，解得，不符合题意 综上，实数的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天津市第五十四中学高三（上）第一次月考 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 5. 某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若互不相等的实数、、，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，给出下列结论： ①若，且，则； ②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称； ③若，则在上单调递增； ④若在上恰有5个零点，则的取值范围为. 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 10. 是虚数单位，复数的虚部是______. 11. 在的展开式中，x的系数为_______． 12. 计算：______． 13. 设，，若，则的最小值为_____________. 14. 甲､乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为.乙若射中，则不再继续射击.则甲三次射击恰好命中1次的概率为______，乙射击次数的期望为______. 15. 在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________. 三、解答题 16. 在中，分别是三个内角的对边，若，且. （1）求及的值； （2）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，角、、的对边分别是、、，且满足，，且的面积. （1）求的值和边的值； （2）求的值. 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且 （1）求证：DE⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 20. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）已知函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $