精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高三9月模块检测 数学试题 一、单选题 1. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合变形，再根据集合间的关系及并集和交集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以，且. 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题干两式两边平方，结合平方关系及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 即， ， 两式相加可得， 所以. 故选：A 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求得的值，利用斜率公式可求得的值． 【详解】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，， 且，∴， 解得，∴，∴， ∴． 故选：A． 4. 已知数列是公差不为的等差数列，则“”是“”成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质可得其充分性，借助等差数列通项公式及其基本量计算可得其必要性，即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 当时，则，故充分性满足； 当时，有， ， 即，且，则， 即，故必要性满足； 所以“”是“”成立的充分必要条件. 故选：A. 5. 已知等比数列满足，且，则的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当时，，当时，1，当时，，从而求出最大值. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 又，得，得，所以， 所以． 易知当时，，当时，1，当时，． 令，则，， 故．， 从而． 故选：D． 6. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义以及偶函数的性质得出的单调性，讨论的正负，利用单调性奇偶性解不等式即可. 【详解】不妨设，，，即 在上单调递减 是定义在上的偶函数 在上单调递增 当时， 解得 当时， 解得 则该不等式的解集为： 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用定义判断函数的单调性以及利用奇偶性，单调性解不等式，属于中档题. 7. 已知函数，对任意的实数a，在（a，）上的值域是[，1]，则整数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数的解析为，再结合定义域与值域建立不等式即可求解. 【详解】由题意可得， 则的最小正周期，因为对任意的实数a，在上的值域是[，1]，所以，解得>，因为，所以整数的最小值是2. 故选：B 8. 数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ） A. 99 B. 103 C. 107 D. 198 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解. 【详解】由得， ∴为等比数列，∴， ∴，， ∴， ①为奇数时，，； ②为偶数时，，， ∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解， 综上所述，. 故选：B. 【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题. 二、多选题 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 10. 已知函数（其中），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 C. 图象的对称中心为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，求出平移后的函数解析式，结合正弦函数性质判断；对于C，结合正弦型函数的性质求对称中心判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：得； 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以， 所以，故A错误； 对B，向右平移个单位后得 ， 为奇函数，故B正确； 对于C，， 令（）得（）， 所以对称中心，，故C不正确； 对于D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有6个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第7个根为，，故D正确． 故选：BD． 11. 已知函数，设，．且关于的函数．则（ ） A. B. C. 当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D. 当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD. 【详解】因为，，所以， ，依次类推，可得，故A正确； 由A选项知，，故B正确； 当时，的对称轴， 所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误； 当时，的对称轴， 所以当时，，解得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，且， 当时，可得，即，方程无解； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 13. 若函数的四个零点成等差数列，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据给定条件，求出函数的4个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得. 【点睛】由，得，由函数有4个零点，得， 即有或，则的4个零点从小到大依次为， 依题意，，即，解得， 所以. 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知式消去边，整理成，利用角的范围求得的范围，设，将其整理成关于的一元二次不等式组，解之即得的范围，最后由正弦定理即得.. 【详解】设，则，由得 因为锐角三角形，故，，： ，代入得，解得； ，代入得，解得； ，代入得，对恒成立， 综上，，即，. 故答案为：. 四、解答题 15. 的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，求. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解； （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理可得 所以， 又 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 解法一：如图，由题意得，， 所以，即， 又，所以， 所以，即， 所以. 解法二：如图，中，因为， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，从而可得，再由余弦定理可得，然后联立方程，即可求解； （2）根据题意，由正弦定理的边角互化可得，再由余弦定理可得，代入三角形的面积公式，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得，， 则， 由，可得，即， 由余弦定理可得，，即， 即，解得， 联立，解得. 【小问2详解】 因为，由正弦定理的边角互化可得，， 由余弦定理可得，，即， 所以，解得，则. 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，. （1）求m的值及的通项公式； （2）令，，求证：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，进而根据等比数列的性质可得，即可根据通项特征求解， （2）利用放缩法，结合裂项求和即可求证. 【小问1详解】 设的公差为， ，，成等差数列，， 即， 考虑到，化简得，即 ，成等比数列， ，即， 即，解得. ，，解得. ，，解得，. . 【小问2详解】 由（1）可知， 显然满足 当时， 所以 18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 【答案】（1）， （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式； （2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以， 显然符合上式，所以， 由题意， 所以. 【小问2详解】 （i）易知， 即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1， 故数列的前2024项和； （ii）由（1）知，而， 所以， 易知，， 所以 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高三9月模块检测 数学试题 一、单选题 1. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知数列是公差不为的等差数列，则“”是“”成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等比数列满足，且，则的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对任意的实数a，在（a，）上的值域是[，1]，则整数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ） A. 99 B. 103 C. 107 D. 198 二、多选题 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10. 已知函数（其中），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 C. 图象的对称中心为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 已知函数，设，．且关于的函数．则（ ） A. B. C. 当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D. 当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 三、填空题 12. 已知函数，若，则实数的值为__________. 13. 若函数的四个零点成等差数列，则________． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为______． 四、解答题 15. 的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，求. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若，求的面积. 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，. （1）求m的值及的通项公式； （2）令，，求证：. 18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $