精品解析：江苏省盐城市大丰区飞达路初级中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024年秋学期第一学情检测八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句：①全等三角形的面积相等；②周长相等的三角形是全等三角形；③成轴对称的两个图形全等；④全等的两个三角形成轴对称．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　） A. 47° B. 49° C. 84° D. 96° 4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（　　） A. AB＝AD B. ∠B＝∠D C. BC＝DC D. ∠BAC＝∠DAC 6. 如图，，若，，则等于（　　）   A. B. 4 C. D. 5 7. 如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，垂足分别为D、C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，已知： ，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是__________ 10. 如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=____． 11. 如图，已知，若以“”判定，需添加条件是____________ 12. 如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____． 13. 已知等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且，则______． 14. 如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA的对称点是点M，点P关于直线OB的对称点是点N，连接线段MN分别交OA、OB于点E、F，连接线段PE、PF．如果△PEF的周长是10cm，那么线段MN的长度是_____________cm． 15. 如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 16. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 用直尺和圆规在内作点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，是中点，．求证：． 19. 如图，点E、F在线段上，，， 证明：． 20. 如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 21. 如图，，，求证：． 22. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． （3）在直线L上找出一点P，使得PA+PC的值最小．（在图上直接标记出点P的位置） 23. 如图，，，点D在边上，，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）求证：； （2）若AD=2，BE=3，求面积． 25. 如图，在中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，分别交BC与D、E． （1）若∠BAC=120°，则∠DAE= 　 ． （2）连接OA、OB、OC，的周长为6cm，的周长为14cm，求OA的长． 26. 在中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE （1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°． ①说明：； ②线段CE、CD、BC的数量关系为______． （2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 27. 阅读 （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期第一学情检测八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中，属于轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 下列语句：①全等三角形的面积相等；②周长相等的三角形是全等三角形；③成轴对称的两个图形全等；④全等的两个三角形成轴对称．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据全等三角形的定义进行判断； ②根据全等三角形的性质进行判断； ③④根据轴对称的性质进行判断． 【详解】解：①全等三角形的面积相等，故正确； ②周长相等的三角形是全等三角形，故错误； ③成轴对称的两个图形全等，故正确； ④全等两个三角形成轴对称，故错误， 故答案为：B． 点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解成轴对称的两个图形之间的关系，难度不大． 3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　） A. 47° B. 49° C. 84° D. 96° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2＝84°，再根据全等三角形的对应角相等解答． 【详解】解：根据三角形内角和定理可得，∠2＝180°﹣49°﹣47°＝84°． ∵如图是两个全等三角形， ∴∠1＝∠2＝84°． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等时解题的关键． 4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 即． 故选：D． 5. 如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（　　） A. AB＝AD B. ∠B＝∠D C. BC＝DC D. ∠BAC＝∠DAC 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理ASA、AAS、SAS，即可推出结论． 【详解】解：A．若添加AB=AD，不能判定△ABC≌△ADC， 故A符合题意； B．若添加∠B=∠D， 证明：∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD， 在△ABC和△ADC中， ∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD， AC＝AC ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故B不符合题意； C．若添加BC=DC， 证明：∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD， 在△ABC和△ADC中， BC＝DC，∠ACB＝∠ACD， AC＝AC ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故C不符合题意； D．若添加∠BAC=∠DAC， 证明：∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD， 在△ABC和△ADC中， ∠BAC＝∠DAC， AC＝AC，∠ACB＝∠ACD ， ∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，熟记判定两个三角形全等的一般方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是解题的关键． 6 如图，，若，，则等于（　　）   A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，垂足分别为D、C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，则可利用“HL”判断Rt△OED≌Rt△OEC，则OD＝OC；再利用“ASA”判断△AED≌△BEC，则AD＝BC，然后根据“SAS”判断△OAE≌△OBE，△OAC≌△OBD． 【详解】解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB， ∴ED＝EC，，， 在Rt△OED和△OEC中， ， ∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）； ∴OD＝OC， 在△AED和△BEC中， ， ∴△AED≌△BEC（ASA）； ∴AD＝BC， ∴OD＋AD＝OC＋BC，即OA＝OB， 在△OAE和△OBE中， ， ∴△OAE≌△OBE（SAS）， 在△OAC和△OBD中， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 8. 如图，已知： ，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先证明，进而可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，，据此可判断③；再导角即可判断②；根据三角形内角和定理可证明，据此可判断④． 【详解】解：， ∴ ， 在和中， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故②正确； 延长交于F， ， ， ，故④正确； 故选：D． 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是__________ 【答案】16：25：08 【解析】 【详解】∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， ∴实际时间是16：25：08， 故答案为16：25：08． 10. 如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可知DE=AB=4． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF ∴DE=AB=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键． 11. 如图，已知，若以“”判定，需添加的条件是____________ 【答案】 【解析】 【分析】添加条件，利用证明即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 12. 如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，再根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠C． 【详解】∵∠CBD=40°，BD⊥EC， ∴∠C=90°-∠CBD=90°-40°=50°， ∵△ADB≌△ECB， ∴∠D=∠C=50°． 故答案为50°． 【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 13. 已知是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且，则______． 【答案】60 【解析】 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABE=∠C=60°，AB=BC， 在△ABE和△BCD中 ， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BAE=∠CBD， ∴∠AFD=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°． 故答案为：60°． 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 14. 如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA对称点是点M，点P关于直线OB的对称点是点N，连接线段MN分别交OA、OB于点E、F，连接线段PE、PF．如果△PEF的周长是10cm，那么线段MN的长度是_____________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可知EP=EM，PF=FN，结合△PEF的周长为10cm，利用等量代换可知MN=EP+EF+PF=10cm． 【详解】解：∵点M是点P关于AO的对称点， ∴AO垂直平分MP， ∴EP=EM． 同理PF=FN． ∵MN=ME+EF+FN， ∴MN=EP+EF+PF， ∵△PEF的周长为10cm， ∴MN=EP+EF+PF=10cm． 故答案为：10． 【点睛】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等． 15. 如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义得到，再由三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：． 16. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______． 【答案】1或3.5或12 【解析】 【分析】分4种情况求解：①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时． 【详解】解：∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP=CQ，有四种情况： ①P在AC上，Q在BC上， ， CP=12-2t，CQ=16-6t， ∴12-2t=16-6t， ∴t=1； ②P、Q都在AC上，此时P、Q重合， ∴CP=12-2t=6t-16， ∴t=3.5； ③P到BC上，Q在AC时，此时不存在； 理由是：28÷6=，12÷2=6，即Q在AC上运动时，P点也在AC上运动； ④当Q到A点（和A重合），P在BC上时， ∵CP=CQ=AC=12．CP=12-2t， ∴2t-12=12， ∴t=12符合题意； 答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 用直尺和圆规在内作点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据可知点P在线段的垂直平分线，据此作线段的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为所求． 18. 如图，是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 19. 如图，点E、F在线段上，，， 证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再由线段的和差关系可得，据此证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，则． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴． 21. 如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证，可得． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． ． 22. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． （3）在直线L上找出一点P，使得PA+PC的值最小．（在图上直接标记出点P的位置） 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′； （2）根据网格即可求△ABC的面积． （3）连接A′C交直线L一点P，使得PA+PC的值最小． 【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）△ABC的面积为：2×2＝2． （3）如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 如图，，，点D在边上，，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理： （1）先证明，再由，结合三角形内角和定理即可证明； （2）根据三角形内角和定理可知． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 24. 如图，在中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）求证：； （2）若AD=2，BE=3，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可； （2）由（1）可推出CD＝BE，AD＝CE，进而可得到AC=AB=，再计算△ABC面积即可． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中 ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）∵△ADC≌△CEB ∴BE＝CD，AD＝CE，AC=BC， 又AD=2，BE=3， ∴AC=BC=， ∴△ABC的面积为， 故△ABC的面积为． 【点睛】全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 25. 如图，在中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，分别交BC与D、E． （1）若∠BAC=120°，则∠DAE= 　 ． （2）连接OA、OB、OC，的周长为6cm，的周长为14cm，求OA的长． 【答案】（1）60°；（2）4 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质可以得到两组边相等，再可得两组角相等，接下来根据三角形的内角和定理和角的加减计算可以得到解答； （2）利用垂直平分线的性质和三角形的周长定义可以得到解答． 【详解】解：（1）∵DM、EN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴DB=DA，EA=EC ∴ ∴ ∴ （2）如图，由题意得：OA=OB=OC， 由（2）知，BC=BD+DE+EC=AD+DE+EA=△ADE的周长=6 ∴△BOC的周长=BC+OB+OC=BC+2OA=14，∴2OA=14-6=8，OA=4（cm） 【点睛】本题考查三角形和垂直平分线的综合应用，巧妙地应用垂直平分线的性质把三角形周长转化为线段的长度是解题关键． 26. 在中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE （1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°． ①说明：； ②线段CE、CD、BC的数量关系为______． （2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）①证明见解析，②CE+CD=BC；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据∠DAE=∠BAC得∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，从而得到∠BAD=∠EAC，结合AB=AC，AD=AE，即可完成证明； ②由得BD=CE，再结合BD+CD=BC，即可完成解题； （2）根据等腰的性质，结合∠BAC=α，计算得到；再根据，得，通过，即可求得α，β之间关系． 【详解】（1）①∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC ∴∠BAD=∠EAC ∵AB=AC，AD=AE ∴ ②由（1）①结论得：BD=CE ∵点D在线段BC上 ∴BD+CD=BC ∴CE+CD=BC； （2）∵AB=AC，∠BAC=α ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵∠BCE=β ∴ 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 27. 阅读 （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE=AC=6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8； （2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示： 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM=CF， ∵DE⊥DF，DM=DF， ∴EM=EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF=EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°， ∴∠NBC=∠D， 在△NBC和△FDC中， BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN=CF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°， ∴∠BCE+∠FCD=70°， ∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE和△FCE中， CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF． 考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $