精品解析：四川省成都市新津中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度上期高2024级10月月考试题 数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由可得或，不一定是； 当时，必有成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：D 4. 已知命题,，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,， 则，，故选A． 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项. 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 6. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 7. 命题，若为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立有，即可求范围. 【详解】由为真命题，根据一元二次不等式恒成立知：. 故选：D 8. 对于集合，，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知集合，，则（　　） A. 0不可能属于B B. 集合可能是 C. 集合不可能是 D. 集合 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【详解】∵，∴，故D正确． ∵集合， ∵，∴集合可能是，故B正确； ∵，∴集合不可能是，故C正确； ∵，∴0可能属于集合，故A错误. 故选：BCD. 10. 下列命题是真命题的为（ ） A. B. C. 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D. 存在实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，，所以，故A选项是真命题； 对于B，当时，恒成立，故B选项是真命题； 对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是真命题. 对于D，因为，所以.故D选项是假命题. 故选：ABC. 11. 下列命题中，错误的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. ， C. 命题“，”的否定为假命题 D. “三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断AD选项；利用特殊值法可判断B选项；利用一元二次方程的判别式、存在量词命题的否定可判断C选项. 【详解】对于A选项，解方程可得或， 所以，“”是“”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，当时，，B错； 对于C选项，对于方程，，即方程无实解， 故命题“，”为假命题，其否定为真命题，C错； 对于D选项，“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”， 但“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”， 所以，“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，D对. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个使“”成立的充分条件为_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】由一定能推出， 所以使“”成立的充分条件为， 故答案为： 13. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人． 【答案】135 【解析】 【详解】利用文恩图的辅助求解即可. 【分析】 由文恩图可得；参加培优的人数为， 又不参加其中任何一科培优的有15人， 所以接受调查的高一强基班学生共有. 故答案为：. 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设集合，求实数a的值； （2）设集合．如果，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据得到，然后分、和三种情况讨论即可； （2）根据得到，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，， 当时，，，，，不成立； 当时，，，，，成立； 不成立； 综上可得，. （2）因为，所以， 当，，解得； 当，，解得， 综上可得，的取值范围为. 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，再由交运算求. （2）根据包含关系，讨论、求参数范围即可. 【小问1详解】 由题设， 所以. 【小问2详解】 由， 当，则； 当，则； 综上， 17. 已知命题：，恒成立，命题为真命题时实数的取值集合为． （1）求集合； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，，求得结果即可. （2）根据充分不必要条件得出是的真子集，根据集合的包含关系列不等式求得结果. 【小问1详解】 命题为真命题时,，恒成立， 所以，解得， 所以集合. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 又， 当时，，解得， 所以，解得， 所以实数的取值范围． 18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】（1）长为，宽为 （2）长为，宽为 【解析】 【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值. （2）先求得钢筋网总长的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大. 【小问2详解】 设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 19. 设数集A由实数构成，且满足：若且，则. （1）若，试证明A中还有另外两个元素； （2）集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； （3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 【答案】（1） 证明：根据题意若，则， 若，则， 若，则， 因此可得集合， 即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素. （2）不是，理由如下： 由且，可得， 由可得， 由可得，且，易知方程均无解； 所以； 即可得集合中至少含有3个元素， 所以集合A不可能为只含有两个元素的集合. （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素； （2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素； （3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，若，则， 易知集合中的元素个数需为3的倍数， 若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个； 因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)； 可知， 又所有元素的和为，不妨设， 根据提供解析式可解得或或, 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期高2024级10月月考试题 数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合.则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 4. 已知命题,，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 命题，若为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于集合，，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知集合，，则（　　） A. 0不可能属于B B. 集合可能是 C. 集合不可能是 D. 集合 10. 下列命题是真命题的为（ ） A. B. C. 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D. 存在实数，使得 11. 下列命题中，错误的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. ， C. 命题“，”的否定为假命题 D. “三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个使“”成立的充分条件为_______. 13. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人． 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设集合，求实数a的值； （2）设集合．如果，求实数m的取值范围． 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知命题：，恒成立，命题为真命题时实数的取值集合为． （1）求集合； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 19. 设数集A由实数构成，且满足：若且，则. （1）若，试证明A中还有另外两个元素； （2）集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； （3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $