精品解析：广东实验中学越秀学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024学年第一学期10月月考数学试题 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则|z|=（ ） A. B. 1 C. 5 D. 25 2. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 5. 直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交 6. 函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 以下说法错误有（ ） A. 已知，，不共面，则，，一定能构成空间的一个基底 B. 对于任意非零向量，，若，则 C. 直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 D ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 8. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确有（ ） A. 若，共线，则 B. 任意向量满足 C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 10. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点B到平面的距离相等 11. 已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（ ） A. 0 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______． 13. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为________ 14. 对于空间向量，定义，其中表示，，这三个数的最大值.若，.①则________；②当，则的最小值________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点. （1）用，，表示向量； （2）在线段上存在一点，且，求证：. 16. 为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于”，根据直方图得到的估计值为． （1）求乙离子残留百分比直方图中的值； （2）求甲离子残留百分比的第百分位数； （3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 17. 记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. （1）求； （2）若点在边上，且，，求的周长. 18. 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点. （1）求平面与平面所成的角的余弦值； （2）求点到平面的距离： （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． （1）设，当为何值时，的面积最小？ （2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期10月月考数学试题 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则|z|=（ ） A. B. 1 C. 5 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到，再计算模长得到答案. 【详解】，故. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的化简和模长，意在考查学生的计算能力. 2. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】B 【解析】 【分析】A由图结合极差概念可判断选项正误；B由图结合百分位数概念可判断选项正误；C由图可判断甲乙平均数的大小关系；D由图结合方差概念可判断选项正误. 【详解】A，由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确； B，对甲成绩排序，又，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90； 对乙成绩排序，又，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90， 则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误； C，由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确； D，由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简所求式，再将其化弦为切计算即得. 【详解】因为． 故选:D． 4. 堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 5. 直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解. 【详解】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行 故选：B 6. 函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值． 【详解】解：由函数，，的部分图象知， ，，解得， 再由五点法作图可得，解得； ， ． 故选：A． 7. 以下说法错误的有（ ） A. 已知，，不共面，则，，一定能构成空间的一个基底 B. 对于任意非零向量，，若，则 C. 直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 D. ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，先假设其共面，由共面向量的基本定理存在使得，再由条件判断;选项B，考虑分母为0可判断；选项C，应用点到直线的距离公式求解；D，应用共面向量定理即可判断. 【详解】选项A： 设，，共面，则存在使得则. 因为，，不共面，所以，此时无解, 故，，不共面，选项A正确. 选B: 中任意一个为0时，不成立，故选项B错误. 选项C：直线的方向向量为， 又点，点，则, 在上的投影向量的长度为 所以点到的距离为，故选项C正确. 选项D ，，三点不共线，对空间任意一点，由 即, 即 所以，，共面，故四点共面,即选项D正确. 故选：B 8. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积计算得，通过的范围求解即可． 【详解】设正方体为，正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为， 因为点P在正方体表面上运动， 当P为正方体的表面正方形的中心时，可取到最小值， 当P为正方体的顶点时，可取到最大值， 故，则 即 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，共线，则 B. 任意向量满足 C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】由，共线，可能四点共线，即可判断A，由向量数量积的运算律即可判断B，由四点共面定理即可判断C，由三点共线定理即可判断D. 【详解】，共线，则或四点共线，故A错误； 向量数量积运算不满足结合律，故B错误； 若是空间的一组基底，则三点不共线，且，则，即，所以四点共面，故C正确； 若为空间四点，且有（不共线），当时，即时，可得，即，所以三点共线；反之，当三点共线，则，即，化简可得；所以是三点共线的充要条件，故D正确； 故选：CD 10. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点B到平面的距离相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、 、、、， 对于A选项，，，则， 所以直线与直线不垂直，故A错误； 对于B选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，所以，即， 因为平面，平面，故B正确； 对于C选项，连接、、， 因为、分别为、的中点，则， 且，所以四边形为平行四边形，则， 所以，所以、、、四点共面， 故平面截正方体所得截面为， 且，同理可得，， 所以四边形为等腰梯形， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示： 因为，，， 所以，故，， 因为，，，则四边形为矩形， 所以， ，故， 故梯形的面积为，故C正确； 对于D选项，，则点到平面的距离为， ，则点到平面的距离为， 所以点与点到平面的距离相等，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将、两点代入直线的方程，可知点、不可能同时在直线上，又，可判断出点的轨迹即为线段，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断. 【详解】将点代入直线得，再将点代入直线得，故点、不可能同时在直线上， 又，且， 点的轨迹为线段，即直线与线段恒有交点， 又直线， 直线恒过定点，作出示意图： 此时，， 故直线的斜率的取值范围为：，且直线的斜率存在， 故直线的倾斜角的取值范围为：， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 13. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为________ 【答案】 【解析】 【分析】由图及题意可得棱台的高，后由体积公式可得答案. 【详解】如图，连接，过D作平行线，交于E点，连接DE. 又//，则四边形为平行四边形. 又由题，，，则. 又，，则. 则等腰直角三角形斜边上高，即棱台的高为. 则由棱台体积公式，棱台体积为：. 故答案为： 14. 对于空间向量，定义，其中表示，，这三个数最大值.若，.①则________；②当，则的最小值________. 【答案】 ①. 6 ②. 4 【解析】 【分析】根据结合可求出，先求出，从而可求出，然后在同一个坐标系中作出的图象，根据图象可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 所以，其中， 在同一个坐标系中作出的图象如下图所示， 因为， 所以的图象是图中加粗部分折线， 由，得，则， 由，得，则， 由图可知，当时，有最小值4. 故答案为：6，4 【点睛】关键点点睛：此题考查空间向量的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，考查理解能力和数形结合的思想，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点. （1）用，，表示向量； （2）在线段上存在一点，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得结果； （2）利用垂直关系的向量表示，可得，即可求得. 【小问1详解】 易知； 【小问2详解】 易知，又； 所以； 不妨取， 可得 ， 即可得， 所以. 16. 为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于”，根据直方图得到的估计值为． （1）求乙离子残留百分比直方图中的值； （2）求甲离子残留百分比的第百分位数； （3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 根据直方图的估计值，可列出式子求出 ,因为(为全集)，即可列出式子求出; （2）设甲离子残留百分比的第百分位数为，根据条件，建立方程，即可求解； （3）将各个区间的中间值乘该组数据的频率，相加，再乘组距，即可求出乙离子残留百分比的平均值. 【小问1详解】 由已知得，解得， 所以． 【小问2详解】 根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为， 则，解得， 所以甲离子残留百分比的第百分位数为. 【小问3详解】 乙离子残留百分比的平均值的估计值为． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. （1）求； （2）若点在边上，且，，求的周长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果； （2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长. 【小问1详解】 由，则， 又，故. 【小问2详解】 由（1）可知，，又，则； 由题可知，， 故， 所以， 因为，所以，， 在中，， 故的周长为. 18. 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点. （1）求平面与平面所成的角的余弦值； （2）求点到平面的距离： （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可得出平面与平面所成的角的余弦值； （2）利用空间距离的向量求法代入公式计算可得结果； （3）假设存在点满足题意，设，利用线面角的向量求法列出等式，解方程可得. 【小问1详解】 因为正三角形，是的中点，所以； 又菱形，，，所以， 又因为平面与菱形所在的平面互相垂直，且平面平面， 所以平面，平面，所以； 因此可得两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可得， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，解得； 即为平面的一个法向量； 易知为平面的一个法向量，且； 所以平面与平面所成的角的余弦值为； 故平面与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 取，平面的一个法向量为， 因此可得点到平面的距离为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为， 易知， 设，， 则， 由直线与平面所成的角为， 可得， 解得，满足题意； 故在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，此时. 19. 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． （1）设，当为何值时，的面积最小？ （2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）且 或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而根据三角形中的边角关系可得，而三角形的面积为，要使得面积最小，则最大即可；（2）根据空间直角坐标系，根据平面法向量垂直得两平面垂直即可求解. 【小问1详解】 因为 ,所以 , 由于 平面 , ,故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 【小问2详解】 以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ,故 设 ,则 ; 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， 因为平面平面POF，所以 ，即 或 ， 故存在点 ,使得平面平面POF，且 或 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$