精品解析：广东省广州市广东实验中学越秀学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

省实越秀高二级10月月考 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】若，，则. 故选：D. 3. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，给出以下结论： ①点关于原点的对称点的坐标为； ②点关于平面对称的点的坐标是； ③已知点与点，则的中点坐标是； ④两点间的距离为5.其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性即可判断①②；根据中点坐标即可判断③；根据空间中两点间的距离公式即可判断④. 【详解】对于①，点关于原点的对称点的坐标为，故①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，故②正确； 对于③，点与点中点坐标是，即， 故③正确； 对于④，间的距离为，故④错误. 故选：C. 5. 已知空间四点共面，但任意三点不共线，若为空间中任意一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量共面定理建立方程求得结果即可. 【详解】因， 所以， 空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得. 故选：B. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，得，，所以. 故选：A. 7. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基底表示将基底转换即可得出对应坐标. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标是，则, 所以， 可得，解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B 8. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点. 在正方体中，平面，平面，， 又，，平面，即，， 同理可证，，则，. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，. 对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确； 对于命题②，，则平面的一个法向量为， ，令，解得， 所以，存在点使得平面，命题②正确； 对于命题③，，令， 整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积公式可判断AC选项；根据共线向量的关系可判断B选项；根据投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以为钝角，故C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ） A. 若直线的斜率为1，则直线的方程为 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 C. 若M为中点，则的方程为 D. 直线的方程可能为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D. 【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确； 对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误； 对于C，因为中点，且A，B在轴、轴上，所以，，故AB的方程为，即，故C正确； 对于D，直线与x轴无交点，与题意不符，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 C. 与底面所成的角的取值范围为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，利用向量的数量积公式，结合二次函数的性质，可判定A正确；由，得到点是上的三等分点，取上的三等分点，证得平面，过作，证得,得到截面为等腰梯形，可判定B正确；过点作的垂线，设，求得的长，得到，可判定C不正确；求得和，得到是平面的一个法向量，得到是正方体的外接球的直径，进而可判定D正确. 【详解】以原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为， 且为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点， 可得， 对于A，因为，设， 所以，可得， 则， 所以当时，取得最小值为，所以A正确； 对于B，由，可得点是上靠近点三等分点，所以， 取上靠近的三等分点，则，所以， 又由平面的法向量为，则，所以， 因为平面，所以平面， 过作交于点， 设，可得，由，可得，解得， 则于重合，所以取的中点，可得, 因为，所以，所以 截面为，且为等腰梯形， 又因为， 可得梯形的高为， 所以截面的面积为，所以B正确； 对于C，过点作的垂线，垂足为，连接，则即为所求角， 设，则， 由余弦定理可得， 则， 因为点是上的动点，所以，可得， 所以，故，所以C不正确； 对于D，由， 可得，则，所以， 同理可得，所以是平面的一个法向量，即平面， 设垂足，则， 所以是正方体的外接球的直径， 所以正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，则k=______________. 【答案】-1 【解析】 【分析】 由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k值. 【详解】由l1⊥l2，知：， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题. 13. 已知空间中单位向量、，且，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算，得到答案. 【详解】，故. 故答案为：. 14. 如图，在三棱柱中，，且平面，又平面，为垂足，若（其中），则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再结合体积法求出，两者结合，可求的值. 【详解】因为平面，平面，所以，. 又，所以两两垂直. 故可以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，， 所以，，，. ，. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 又，，所以. ， 所以点到平面的距离为：. 所以. 即， 即，，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三点. （1）若过两点的直线的倾斜角为，求的值； （2）若三点共线，求出的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【小问1详解】 由题意，解得； 【小问2详解】 ， 因为三点共线，所以， 即，解得. 16. 如图，在平行六面体中，设分别是，的中点. （1）用向量表示； （2）化简：. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理即可得解； （2）根据空间向量的线性运算化简即可. 【小问1详解】 ， 因为分别是，的中点， 所以 ； 【小问2详解】 . 17. 已知的顶点，，. （1）求AB边上的高所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由垂直可得高线斜率，由点斜式直线方程可得； （2）按截距是否为分类讨论.当截距不为时，设出截距式方程代入点的坐标待定系数可得. 【小问1详解】 如图，过作，垂足为， 由题意知， 则，又， 故直线CD的方程为：，即， 即AB边上的高所在直线的方程为：； 【小问2详解】 由题意，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， ①当时，由直线过，则直线方程为， ②当时，设直线方程为：， 代入点，得，解得， 则直线方程为，即， 综上所述，直线方程为：或 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求证：． （2）求线段中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【小问1详解】 由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． 【小问3详解】 令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 19. 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. （1）设，，，试用基底表示向量； （2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用向量加减法的几何意义有，，即可求； （2）假设四面体的最长棱为，只需以为顶点的其它两组棱中或即得证至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）由平面，令结合向量共面定理有，即得一元二次方程在有解，求的范围且范围长度为即得证. 【详解】（1）∵，而， ∴， 所以. （2）不妨设是四面体最长的棱，则在，中，，， ∴，即， 故，至少有一个大于，不妨设， ∴，，构成三角形. （3）设，，，由（1）知. 又，有，，， ∴， ， ， 设，又 ∴ 因为平面，所以存在实数，使得：， ∴ ∴，消元：在有解. 当时，，即； 当时，，解得. 综上，有. 所以对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 【点睛】思路点睛： 1、利用向量线性运算的几何意义，结合几何图形表示向量； 2、利用三角形的性质：两边之和大于第三边(其中假设第三边为最长边)，即可证是否可组成三角形； 3、令，根据线面平行，结合向量共面定理得到参数的方程，进而求范围并且范围长度为即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实越秀高二级10月月考 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ） A. B. C. 1 D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，给出以下结论： ①点关于原点的对称点的坐标为； ②点关于平面对称的点的坐标是； ③已知点与点，则的中点坐标是； ④两点间距离为5.其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 5. 已知空间四点共面，但任意三点不共线，若为空间中任意一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，，则（ ） A. B C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 10. 已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ） A. 若直线的斜率为1，则直线的方程为 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 C. 若M为的中点，则的方程为 D. 直线的方程可能为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 C. 与底面所成的角的取值范围为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，则k=______________. 13. 已知空间中单位向量、，且，则的值为________. 14. 如图，在三棱柱中，，且平面，又平面，为垂足，若（其中），则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三点. （1）若过两点直线的倾斜角为，求的值； （2）若三点共线，求出的值. 16. 如图，在平行六面体中，设分别是，的中点. （1）用向量表示； （2）化简：. 17. 已知的顶点，，. （1）求AB边上的高所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求证：． （2）求线段中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. （1）设，，，试用基底表示向量； （2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $