精品解析：吉林省白山市长白朝鲜族自治县实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 高二上学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 卷I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ） A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 3. 已知，，、分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 所成的二面角为锐角 D. 所成的二面角为钝角 4. 设向量，，，则（ ） A. 与垂直 B. 与垂直 C. 与共线 D. 与共线 5. 如图，在正方体中，E为的中点，若O为底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 6. 设、，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，点满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的为（ ） A. 若两条不重合直线的斜率相等，则它们平行； B. 若两直线平行，则它们的斜率相等； C. 若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D. 若两直线垂直，则它们的斜率之积为. 11. 如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（ ） A. B. 0 C. D. 卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为______. 13. 已知直线.点，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是________． 14. 如图，在平行六面体中，，，则______． 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计77分 ） 15. 设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． （1）直线l在x轴上的截距为2； （2）直线l的斜率为1． 16. 根据下列条件分别写出直线一般式方程 （1）斜率为，且经过点； （2）过点，且垂直于x轴； （3）斜率是4，在y轴上截距为； （4）经过两点； （5）在x轴y轴上的截距分别为. 17. 如图，已知正方体棱长为，，分别为棱，的中点. （1）求点E到直线BF的距离 （2）求与平面所成角的正弦值； 18. 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，，分别为，的中点． （1）求直线和直线所成角的余弦值． （2）求点到平面距离． 19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 高二上学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 卷I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间点的对称性，直接求坐标. 【详解】根据空间点的对称性，可知点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为相反数，所以对称点的坐标为. 故选：A 2. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ） A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可推得，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，，所以. 故选：B. 3. 已知，，、分别是平面，法向量，则平面，的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 所成的二面角为锐角 D. 所成的二面角为钝角 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用、的数量积运算判断. 【详解】因为，，且分别是平面，的法向量， 而， 所以，的位置关系是垂直， 故选：B 4. 设向量，，，则（ ） A. 与垂直 B. 与垂直 C. 与共线 D. 与共线 【答案】B 【解析】 【分析】用向量加法写出和坐标，用数量积为来判断两个向量垂直，用坐标成比例来判断向量共线. 【详解】，，与不垂直，故A错误； ，，与垂直，故B正确； ，∵，与不共线，故C错误； ，∵，与不共线，故D错误； 故选：B. 5. 如图，在正方体中，E为的中点，若O为底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出，，利用向量关系即可求出. 【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，，，. 因为，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 6. 设、，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出线段中点坐标，再求出直线斜率，利用垂直得中垂线斜率，从而得直线方程． 【详解】由已知中点坐标为，即， ，∴中垂线斜率为，直线方程为，即． 故选：A． 【点睛】本题考查求直线方程，考查中点坐标公式，解题关键是掌握两直线垂直的条件，属于基础题． 7. 在四面体中，点满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理，可得，解得. 故选：C. 8. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据底面是正方形，E为中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求解. 【详解】如图所示根据题意知， 而, 将代入上式可求得 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，找到斜边所在直线的倾斜角与该直角边所在直线的倾斜角之间的关系，借助于和差角的正切公式即可求得. 【详解】 如图，设的直角边所在直线的斜率为2，设其倾斜角为，则， 以为等腰直角三角形的直角边，为直角可作和， （以为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等）， 则易得斜边所在直线的倾斜角，此时， 斜边所在直线的倾斜角，此时， 故选：AB. 10. 下列命题中正确的为（ ） A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B. 若两直线平行，则它们斜率相等； C. 若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D. 若两直线垂直，则它们的斜率之积为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线平行、垂直时，斜率之间的关系逐一判断即可. 【详解】当直线斜率都存在且两直线不重合时,若，则，故A正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知B错误； 若，则，可知C正确， 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了两直线平行、垂直时，斜率之间的关系，注意直线与轴垂直时，斜率不存在时特殊情况，属于基础题. 11. 如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出，利用可得范围，即可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由两直线平行，可求得的值，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】由直线与直线平行， 可知，即， 故直线为， 直线变形得， 故， 故答案为：. 13. 已知直线.点，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】注意到过定点，后结合图象可得答案. 【详解】过定点，如图， ，. 则直线与线段AB有公共点，则的斜率. 故答案为： 14. 如图，在平行六面体中，，，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件将用表示，然后平方化简后再开方可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 因为，，， 所以 ， 所以. 故答案为：7 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计77分 ） 15. 设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． （1）直线l在x轴上的截距为2； （2）直线l的斜率为1． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得直线l在x轴上的截距的表达式，令其为2并检验可得答案； （2）由题可得直线l的斜率表达式，令其为1并检验可得答案. 【小问1详解】 令，， 由题；将代入直线方程满足题意，则； 【小问2详解】 ，令 得或. 当时，直线l的方程为：，不满足题意； 当，直线l的方程为：，满足题意.则. 16. 根据下列条件分别写出直线的一般式方程 （1）斜率为，且经过点； （2）过点，且垂直于x轴； （3）斜率是4，在y轴上截距为； （4）经过两点； （5）在x轴y轴上的截距分别为. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式，再化简为一般式，从而得解； （2）由题意可知直线斜率不存在，据此可得一般式； （3）利用直线的斜截式，再化简为一般式，从而得解； （4）利用直线的两点式，再化简为一般式，从而得解； （5）利用直线的截距式，再化简为一般式，从而得解. 【小问1详解】 由点斜式，可得， 则直线的一般式方程为； 【小问2详解】 因直线垂直于x轴，又过点，则直线的一般式方程为：； 【小问3详解】 由斜截式，可得， 则直线的一般式方程为：； 【小问4详解】 由两点式，可得， 则直线的一般式方程为； 【小问5详解】 由截距式，可得， 则直线的一般式方程为：. 17. 如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点. （1）求点E到直线BF的距离 （2）求与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线的距离，从而得解； （2）利用（1）中结论，求得向量与平面的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值，从而得解. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为， 以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 则在的投影长度为，且， 所以点E到直线BF的距离为. 【小问2详解】 由（1）得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 设与平面所成角为，， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，，分别为，的中点． （1）求直线和直线所成角的余弦值． （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量知识求异面直线夹角、点面距离得答案. 【小问1详解】 如图以C为原点建立空间直角坐标系， 由题则， . 则， ， 则直线和直线所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1） 设平面的法向量为，则，取， 则，又，则点到平面的距离为. 19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在长方体中，由平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，证得平面，得到平面平面的一个法向量为，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面. 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 因为平面，且平面，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 则， 因为平面，平面，所以, 又因，且，平面，所以平面， 所以取平面的一个法向量为， 设平面的法向量， 因为，则 ， 取，可得，所以， 则， 由图象可得，二面角为锐二面角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$