精品解析：河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷

河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且与共线，则坐标是（ ） A. B. C D. 3. 一组样本数据为6，11，12，16，17，19，31，则错误的选项为（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据的分位数为17 C. 该组数据的平均数为16 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 4. 在三棱柱中， （ ） A. B. C. D. 5. 若空间中有三点，则点到平面距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，又点在平面内，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则CD的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B. 若两直线方向向量不平行，则两直线不平行 C. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量共面 B. 若与共面，则，使得 C. 若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底 D. 若，则共面，反之不正确 11. 棱长为1的正方体中，点在棱CD上运动，点在侧面上运动，满足平面，则（ ） A. 点在侧面对角线上 B. 点在侧面对角线上 C. 线段PQ的最小值为 D. 线段PQ的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________. 13. 如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为______. 14. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）； （2）若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，. （1）试用表示向量； （2）求与的夹角. 17. 如图，在长方体中，. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离. 18. 如图1，等腰中，底分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：平面； （2）为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点. （1）在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面对称的特征求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数， 因为点的坐标为，所以点关于平面对称的点是. 故选：C 2. 已知，且与共线，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标形式的共线定义求得，则可得到的坐标. 【详解】因为，且与共线， 所以，解得， 所以. 故选：B. 3. 一组样本数据为6，11，12，16，17，19，31，则错误的选项为（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据的分位数为17 C. 该组数据的平均数为16 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】B 【解析】 【分析】求出该组数据的极差、分位数、平均数逐项判断可得答案. 【详解】对于A，根据极差定义，该组数据的极差为，故A正确； 对于B，因为，所以该组数据的分位数为，故B错误； 对于C，该组数据的平均数为，故C正确； 对于D，若该组数据去掉得到一组新数据， 则新数据6，11，12， 17，19，31的平均数为， 所以这两组数据的平均数相等，故D正确. 故选：B. 4. 在三棱柱中， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算向量减法，然后向量的平行四边形法则计算，由此可得结果. 【详解】如图所示根据题意知 又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，则， 所以， 根据向量的平行四边形法则可得 故选：C 5. 若空间中有三点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的法向量，然后利用空间点面距离公式可得答案. 【详解】， 设平面的一个法向量为， 由得，令得， 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D. 6. 已知点，又点在平面内，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用，结合空间向量的坐标表示即可得解. 【详解】，， 由于，所以三点不共线， 可得， 即 可得，解得. 故选：C. 7. 如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则CD的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二面角的平面角的定义可得，利用向量法求的模即可． 【详解】由二面角的平面角的定义知向量， 所以， 得， 由得， 因为，所以 ， 可得. 故选：A. 8. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B. 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由题意可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，从而可得两个平面平行，即可判断；对于B，由两直线的方向向量不平行，可得这两直线不平行，即可判断；对于C，由题意可得，从而得，即可判断；对于D，由题意可得以，从而得或，即可判断. 【详解】解：对于A，因为两个不重合的平面法向量平行， 则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面， 即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面， 所以这两个平面平行，故正确； 对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故正确； 对于C，因为， 所以，所以，故正确； 对于D，因为，， 所以， 所以， 所以或，故错误 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量共面 B. 若与共面，则，使得 C. 若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底 D. 若，则共面，反之不正确 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，逐项判定即可求解. 【详解】对于A，令，则， 解得，可得，故A正确； 对于B，若与共面，则，使得，故B正确； 对于C，因为是空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在实数，使得 ，即， 解得，所以假设成立， 所以不能构成空间一个基底，故C错误； 对于D，若，则共面，反之也正确，故D错误. 故选：AB. 11. 棱长为1的正方体中，点在棱CD上运动，点在侧面上运动，满足平面，则（ ） A. 点在侧面对角线上 B. 点在侧面对角线上 C. 线段PQ的最小值为 D. 线段PQ的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立以为坐标原点空间直角坐标系，设，，求出点的坐标，用坐标法表示向量，根据线面垂直得到方程组，求出，可判断点在侧面对角线或上，从而求出，得到线段的最小值. 【详解】如图建立以坐标原点空间直角坐标系， 设，，则， 所以 因为平面， 所以，可得， 由可知点在侧面对角线上，故A错误，B正确； ，可得， 所以 ， 故当时，，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：设出空间坐标系，将需要点用坐标表示，利用向量与面垂直可求得方程组，解方程组即可求得结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即可求解. 【详解】由题意可知， 根据点到平面的距离为. 故答案为： 13. 如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为______. 【答案】0.775## 【解析】 【分析】求出开关均正常工作的概率及开关正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件概率公式即可求出答案. 【详解】由题意，开关在某段时间均正常工作的概率， 开关在某段时间正常工作的概率， 这段时间内线路正常工作的概率为：. 故答案为：0.775. 14. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设确定平面的法向量、直线的方向向量，应用向量法求线面角的正弦值可得，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量， 且平面与直线相交于， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ， 对于二次函数，其是图象一条开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，函数取到最小值，且最小值为， 此时直线l与平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值为， 对应平面的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）； （2）若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1可求出的值，首先确定第百分位数位于，设其为，由，即可求得结果； （2）利用分层抽样知，在内的人数为2人，在内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得： ，解得； 因为成绩在的频率为， 所以，第百分位数位于， 设其为，则， 解得，所以，第百分位数约为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人， 设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为， 则在这5人中抽取2人的情况有： ，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中得分不在同一组的2人有：，，，，，，有6种情况， 所以概率为. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，. （1）试用表示向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件，利用空间向量的线性运算表示向量即可； （2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案. 【小问1详解】 ； 小问2详解】 因为，， ， 所以 ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. 17. 如图，在长方体中，. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得； （2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 在长方体中，以D为坐标原点， 向量分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 所以，又因， 平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量为，到平面的距离为， 由， 所以，令， 可求得则， 所以. 18. 如图1，等腰中，底分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：平面； （2）为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得答案； （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面； 【小问2详解】 如图，由（1）知平面，取的中点，连接，则， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 可得，， 由得， 则， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 为平面的一个法向量， 所以， 由图可得平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点. （1）在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建系，求出相关点和相关向量的坐标，通过线线垂直建立方程组，即可求得点的坐标，得出结论； （2）按（1）建系，利用四点共面求得点坐标，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因底面，且是正方形，故可以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则 因点P、Q分别是棱的中点，则, , 假设在底面内存在点，使得平面，则 则由，解得， 故存在点，满足平面； 【小问2详解】 按照（1）建系，设点， 依题意，四点共面，故必有, 即，则得，，解得， 即，又, 设平面的法向量为，则， 故可取.因， 设与平面所成角为，则. 即与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $