精品解析：福建省莆田市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年莆田二中高二10月质量检测 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解. 【详解】由题意，数列，可化为， 所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是. 故选：D. 2. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决. 【详解】根据等比中项知道，求得，则. 又，则. 故选：A. 3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 4. 若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得的值，得到数列是周期为6的数列，结合，即可求解. 【详解】数列的前项和为，且满足，且， 可得，，所以数列是周期为6的数列， 其中，所以. 故选：D. 5. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以. 故选：B. 6. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出阶幻方中所有数字之和，再除以得对角线上的数字之和，再令可得结果. 【详解】阶幻方由填入得到，填入的数字之和为， 又因为阶幻方每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等， 所以对角线上的数字之和为， 当时，代入可得， 故选：C． 7. 在数列中，，则（ ） A. 25 B. 32 C. 62 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可. 【详解】解：令函数， 由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列， 所以 所以 故选：B 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A. 是数列的最小项 B. 是数列的最大项 C. 是数列的最大项 D. 当时，数列递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【详解】设第项为最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，取得最小值 D. 当时，满足的最大整数的值为25 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D. 【详解】因为， 所以， 即，所以，故A正确． 因为，，成等差数列， 所以，而，则，故B正确． 因为，由得， 即，所以，所以对称轴为：， 所以当时，开口向上，当，取得最小值， 当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误． 因为，数列单调递增，所以，， 则，，又因为， 所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确． 故选：ABD 11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 实数取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数列前项积和通项公式的关系判断A，B，利用错位相减法判断C，分类讨论结合数列的性质判断D即可. 【详解】因为，所以，当时，由是正项数列的前项积， 得，即，所以，所以， 所以数列是公差为1的等差数列，不是等比数列，故A错误; 当时，，即，又，解得(其它根舍去)， 所以，当时，， 又，满足上式，所以，故B正确， 由题意知，所以， 则，， 两式相减得， ，所以，故C正确; 由，易知单调递增，故，当为奇数时，由， 对恒成立，得恒成立，即，而，故， 当为偶数时，由恒成立，得，此时， 故，所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理分类讨论，然后进行分离参数，得到所要求的取值范围即可． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 13. 等比数列中，，，令，则数列前项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列中，求出，求出的通项公式，再根据，求出通项公式，进而求出的前项和. 【详解】根据等比数列中，则，解得， 所以，由，则， 所以 故答案为：. 14. 已知函数，数列满足，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质可得出，再代入等差数列的通项公式即可求出公差； （2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决 【小问1详解】 假设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 所以，即，因为，所以， 所以通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以 16. 已知直线过定点，且直线在，轴上的截距依次为和. （1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分为截距都为和不为，进行求解直线方程； （2）根据题意设直线方程，求出坐标，进而计算最小值时求解直线方程. 【小问1详解】 当直线过定点，若截距都为时， 设，则，所以直线方程为， 当直线过定点，若截距都不为时， 设，则，所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 根据题意设直线方程， 当时，，当时，， 则 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线方程为，即. 17. 已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和，并证明：． 【答案】（1）； （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义可以求出数列的通项公式，再利用累和法可以求出数列的通项公式； （2）利用错位相减法，结合的单调性证明即可. 【小问1详解】 由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为．因为，所以，所以 ，所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可得，所以①，②，②－①得 ，所以． ，，所以递增，所以，又当时，，所以．因此，． 18. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）求证：对于任意正整数， 【答案】（1） （2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到； （2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式推导可得； （3）利用从第二项开始，，进行逐项放缩，进而证明. 【小问1详解】 设等差数列公差为，由，， 则 ， 解得， 所以； 【小问2详解】 由，得， 则，，， 所以以为首项，为公比的等比数列， 故，则. 小问3详解】 当时，， . 19. 已知数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明. （3）设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，得到，得到，得到数列为等差数列，进而得到数列（2）由（1）知，求得，得到是递增数列，进而证得数列是“绝对差异数列”； （3）由（1）求得，得到，分为偶数和为奇数，分别求得，结合的单调性，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，所以， 因为，可得，所以， 所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以， 可得，即， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 所以数列是“绝对差异数列”. 【小问3详解】 解：由（1）知，，可得， 所以， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 当为偶数时，单调递减， 此时时，此时取得最大值，则； 当为奇数时，单调递增，此时，所以， 综上可得，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年莆田二中高二10月质量检测 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，则（ ） A. 25 B. 32 C. 62 D. 72 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A. 是数列最小项 B. 是数列的最大项 C. 是数列的最大项 D. 当时，数列递减 10. 已知等差数列公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，取得最小值 D. 当时，满足最大整数的值为25 11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 实数的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________ 13. 等比数列中，，，令，则数列前项和为______. 14. 已知函数，数列满足，，，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和 16. 已知直线过定点，且直线在，轴上的截距依次为和. （1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程. 17. 已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和，并证明：． 18. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求数列通项公式； （3）求证：对于任意正整数， 19 已知数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明. （3）设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$