精品解析：安徽省亳州市亳州一中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

亳州一中2024-2025学年第一学期 高二年级第一次月考测试卷 数学 注意事项： 1．满分分值：150分；考试时间：150分钟． 2．考试范围：选择性必修一第一章，第二章，第三章3.1椭圆． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，只需上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 2. 在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 3. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 4. 是直线与直线(垂直的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】按照直线的斜率是否为零和是否存在对分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线的充要条件计算分析即可得出． 【详解】当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直； 当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直； 当、时，两条直线的斜率分别：，， ∵两条直线相互垂直，∴，解得． 综上可得：是直线与直线(垂直的充分不必要条件． 故选A． 5. 直线与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意分别求得三角形的底边和高，然后计算面积即可. 详解：由题意可知原点、圆心到直线的距离分别为：， 直线被圆截得的弦长为：， 则的面积为. 本题选择D选项. 点睛：圆的弦长的常用求法： (1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 6. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 10. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 11. 曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（ ） A. 曲线C关于直线交于不同于原点的两点，则 B. 存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）； C. 存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）； D. 曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于. 【答案】AC 【解析】 【分析】由对称性判断A，利用基本不等式求得曲线上的点到原点距离的最大值后可判断BCD． 【详解】因为由可得，所以曲线关于原点对称， 又直线过原点，所以与两点关于原点对称， 所以，所以A正确； 由，所以， 即：①，当取等号，此时，点在曲线上， 而，所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所以B错误， 点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，故C正确， 由①式知，所以D错误． 故答案为：AC． 【点睛】方法点睛：利用方程研究曲线的性质，利用基本不等式求曲线上的点到原点距离的最大值． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知、，进而求解方程即可. 【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 13. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理可求得，利用椭圆离心率的定义即可求得结果. 【详解】如下图所示： 因为，，所以， 可得，即，可得； 又在中，， 由椭圆定义可得，即， 所以，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【小问1详解】 因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； 【小问2详解】 因为 所以与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为与互相垂直， 所以 或. 16. 已知直线与圆：交于两点． （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意，线段垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，可得线段的垂直平分线的方程；（2）利用，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求的值；（3）设切线方程，利用点到直线距离，建立斜率的方程． 试题解析：（1）由题意，线段的垂直平分线经过圆的圆心，斜率为， ∴方程为，即； （2）圆可化为， ∵，∴圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线的距离为，∴，∴ （3）由题意，知点不在圆上．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即．由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以所求切线的方程为．②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为． 综上，所求切线的方程为． 考点：直线与圆的位置关系． 【易错点晴】解析几何中求切线方程是一种重要题型，也是易错题型，其根源是忽视了直线方程的局限性．直线方程的点斜式（斜截式）都漏掉了一种情况，即斜率不存在的情况，故在利用这种形式的直线方程时，一定要养成优先考虑特殊情况的习惯；同样，直线方程的截距式也存在着不足，不仅要求斜率存在且不能为零，还要求直线不能过原点． 17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. 【小问3详解】 由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得. 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 19. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后可得答案； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，所以 又因为离心率， 所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立可得， 则恒成立， 所以， 则， 所以中点坐标为的， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，可得， 当时，， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 综上：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州一中2024-2025学年第一学期 高二年级第一次月考测试卷 数学 注意事项： 1．满分分值：150分；考试时间：150分钟． 2．考试范围：选择性必修一第一章，第二章，第三章3.1椭圆． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，只需上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 4. 是直线与直线(垂直的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为 A. B. C. D. 6. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 10. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 11. 曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（ ） A. 曲线C关于直线交于不同于原点的两点，则 B. 存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）； C. 存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）； D. 曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 13. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 16. 已知直线与圆：交于两点． （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程． 17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 19. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $