精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二日新班上学期第一次段考数学试卷

丰城九中2024—2025学年上学期高二日新第一次段考数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，则的值为 A. 2 B. 4 C. D. 6 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于角平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的） 9. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 11. 记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 直线是曲线的切线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 已知函数．则______；若，则实数m的值为______． 13. 设是复数，已知，，，则__________． 14. 有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 16. 设函数的图像为曲线，过原点且斜率为的直线为.设与除点外，还有另外两个交点，（可以重合），记. （1）求的解析式； （2）求的单调区间. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 18. 已知抛物线的焦点为.设（其中，）为拋物线上一点.过作抛物线的两条切线，，，为切点.射线交抛物线于另一点. （1）若，求直线的方程； （2）求四边形面积的最小值. 19. 我们称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”；①；②. （1）若数列的通项公式是，试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由； （2）若等比数列为阶“期待数列”，求公比及数列的通项公式； （3）若一个等差数列既是（）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024—2025学年上学期高二日新第一次段考数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解. 【详解】依题意，集合中有个元素，则其真子集的个数有个. 故选：C 2. 已知等比数列满足，则的值为 A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和等比数列的性质求出，结合计算即可. 【详解】根据等比数列的性质可得，∴， 即，解得， 又∵，，故可得， 故选：B 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域、奇偶性、函数值分析运算判断即可得解. 【详解】解：设，定义域为，则有 ， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故选项A、C错误； 因为， 所以选项B错误； 综上知，选项D正确. 故选：D. 4. 已知，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论. 【详解】因为， 所以当时，成立， 当成立时，如取，此时不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题. 5. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知；利用可得，由此可得结论. 【详解】，， 又，； ，，又，； 综上所述：. 故选：C. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式公式求解即可. 【详解】由题意中含的项为，则的系数为60， 故选：A 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于角平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设关于角平分线的对称点为Q，结合角平分线的性质可得是正三角形，再运用椭圆定义求得由余弦定理可得关系进而求得离心率. 【详解】设关于角平分线的对称点为， 则三点共线，设，则， 又，所以为等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以，所以． 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求结果. 【详解】因为，结合题设， 所以，而， 所以， 即，所以， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的） 9. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】把几何语言转化问文字语言，想象空间模型，得出结论. 【详解】对A：平行于同一个平面的两个平面互相平行，正确； 对B：两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面都垂直于第三个平面.根据面面垂直的判定定理，该结论正确； 对C：和两条平行直线分别平行的两个平面相交或平行，故C错误； 对D：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.故D错误. 故选：AB 10. 有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的性质逐一判断即可. 【详解】不妨设原数据，新数据， A：例如原数据为，新数据为，此时极差均为，故A正确； B：原数据中位数为，新数据中位数为，可知或， 若，可得；若，可得； 综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B正确； C：若，可知去掉的数据为，则，可得， 所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C正确； D：若，可知去掉的数据为， 因为，可知原数据的分位数为第3位数， ，可知新数据的分位数为第2位数与第3位数的平均数， 例如原数据为，新数据为， 此时新数据的分位数、原数据的分位数均为3，故D错误； 故选：ABC. 11. 记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 直线是曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，先由函数周期以及可得，再由条件可得的值，即可得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由，又，可得， 又，则，即， 若在上单调，则，即， 令，则， 即在上单调递减， 即，即， 此时，此时，不符合题意， 所以在上不单调， 即在上不单调， 又，即，即， 即，， 若， 此时，符合题意； 若， 此时，不符合题意； 综上可得，，即， 对于A，，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，当，则， 且在上先递减后递增，故C错误； 对于D，因为，所以， ，可得是在处的切线，故D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据最值之差求出的值，需要对该区间内函数的单调性进行分类讨论，从而确定函数解析式，再一一分析选项即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 已知函数．则______；若，则实数m的值为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函数值，即可求得结果. 【详解】因为，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，满足题意； 综上：的值为或. 故答案为：；或. 13. 设是复数，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据复数模长运算，利用可求得，进而可得，由此可求得结果. 【详解】设，， ，， ， ， ，. 故答案为：. 14. 有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，由题知，由于，则，解之可得. 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为， 由题意知， 从而可得，即， 因为，所以，所以。 解之可得，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，所以， 因为,所以是等边三角形， 所以, 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）由(1)建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，平面平面，而平面平面， 平面，所以平面， 所以直线两两垂直，以为原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 由，取，得， 设平面的法向量为， 由，取，得， 所以，由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 16. 设函数的图像为曲线，过原点且斜率为的直线为.设与除点外，还有另外两个交点，（可以重合），记. （1）求的解析式； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）在，单调递减，在，单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将直线与函数联立，可得方程有2个不同的实根，结合向量的模长公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，然后分别求导得，即可得到结果. 【小问1详解】 设直线，联立，可得或， 即方程有2个不同的实根， 且，即， 化简可得，由韦达定理可得， 设， 则， 所以， 【小问2详解】 当时，， 则， 所以在单调递增； 当时，， ， 当时，，当或时，. 所以在，单调递减，在区间单调递增； 综上所述，在，单调递减，在，单调递增. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 P 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 18. 已知抛物线的焦点为.设（其中，）为拋物线上一点.过作抛物线的两条切线，，，为切点.射线交抛物线于另一点. （1）若，求直线的方程； （2）求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线方程，由点坐标同时满足切线方程得直线的方程； （2）设直线的方程，表示出弦长，再求A、B到直线的距离，表示出四边形面积，利用韦达定理化简，由基本不等式求最小值. 【小问1详解】 设，，由题得， 抛物线，即，则， 所以抛物线在点处切线的斜率为， 则切线的方程为，整理得， 同理，的方程为， 又在上，有， 所以直线方程为. 【小问2详解】 设，，， 联立，消去整理得， ， ， 设点到直线的距离为， 则 ， 联立，得， ，（其中）， ， 又，代入上式得， ， 当且仅当，即时，取最小值， 所以四边形面积的最小值为16. 【点睛】方法点睛：求解直线与抛物线的问题时，通常把两个方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 我们称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”；①；②. （1）若数列的通项公式是，试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由； （2）若等比数列为阶“期待数列”，求公比及数列的通项公式； （3）若一个等差数列既是（）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式. 【答案】（1）是；（2），或；（3）. 【解析】 【分析】(1)由通项公式，利用分组求和法可证明；；从而可得结论；（2）先证明，由①，得，由②得或，利用等比数列的通项公式可得结果；（3）设等差数列的公差为，，根据既是（）阶“期待数列”，求出首项与公差，利用等差数列的通项公式可得结果. 【详解】(1)∵， 所以， ∴ ， ， 所以数列为2014阶“期待数列”； （2）若，由①得，，得，矛盾 若，则由①，得，由②得或， 所以，，数列的通项公式为或； （3）设等差数列的公差为，， ∵，∴，即， ∵，由，得， 由①、②知，两式相减得，∴， 又，得， ∴数列的通项公式是. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与求和公式基本量运算，考查的新定义问题以及转化思想的应用，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $