精品解析：广西壮族自治区南宁市新民中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

南宁市新民中学高一上学期10月月考数学科试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~二章第二节. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 9 4. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，，则（ ） A B.  C. D. 7. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 定义集合运算：.若集合，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列式子表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则___________． 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，，或. （1）求，； （2）求. 16. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 已知集合． （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 18. 已知x，y都是正数，且，求证 （1） （2） 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁市新民中学高一上学期10月月考数学科试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~二章第二节. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解即得. 【详解】集合，，则. 故选：A 3. 高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设两项都合格的人数为，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得 ，解得， 即这两项成绩都合格的人数是4. 故选：B 4. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题的否定为. 故选：C. 5. 设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误； 【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误； 对于B，由在上是减函数可得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：C. 6. 设集合，，则（ ） A. B.  C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知通分两集合的式子，比较分子即可判断两集合的关系. 详解】由题知，，， 因为时，为奇数，为所有整数， 所以. 故选：B 7. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【详解】， 因为，所以， 所以， 对应实数值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 8. 定义集合运算：.若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【详解】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列式子表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用集合与集合，集合与元素之间的关系判断即可. 【详解】因为， 所以， A：，故A正确； B：是集合，不是元素，不能用，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等的定义求解即可． 【详解】由题意得，，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，集合为，满足题意， 故答案为：． 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，，或. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用集合的交集和并集运算求解即可； （2）直接利用集合的交集和补集运算求解即可. 【小问1详解】 因为全集，，， 所以，. 【小问2详解】 由题知，或， 所以或. 16. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 17. 已知集合． （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，集合，当时，集合； （3） 【解析】 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； 【小问2详解】 ：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； 【小问3详解】 中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 18. 已知x，y都是正数，且，求证 （1） （2） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由基本不等式证明即可. （2）利用基本不等式结合不等式的性质证明即可. 【小问1详解】 证明：因为x，y都是正数，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由于，所以 【小问2详解】 因为x，y都是正数，且，所以， 又，所以， 即. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【小问1详解】 韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； 【小问2详解】 （i）由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立； （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$