24.2 解一元二次方程（第3课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.2 解一元二次方程 第3课时 公式法 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.经历求根公式的推导过程. 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 4.能灵活运用一元二次方程根的判别式解决相关问题. 　 温故知新 问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？ 化：二次项系数化为 1 ； 移：将常数项移到等号右边； 配：配方，使等号左边成为完全平方式； 开：等号两边开平方； 解：求出方程的解。 每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？ 用配方法可以解所有一元二次方程吗 　 温故知新 1.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0? 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2+4x=－1, 即 　 导入新课 思考： 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 讲授新课 知识点一 用公式法解一元二次方程 用配方法解一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0 (a≠0) 方程两边都除以a 解: 移项，得 配方，得 即 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 讲授新课 即 一元二次方程的求根公式 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，方程有实数根. 问题：接下来能用直接开平方解吗？ (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） 讲授新课 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 问题：接下来能用直接开平方解吗？ (x+n)2=p无实数根的条件是（ p＜0 ） 讲授新课 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 讲授新课 用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定a，b，c 的值； ③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解，若b2－4ac ＜ 0，则方程无实数解. 讲授新课 典例精析 【例1】解方程 ： （1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x. 解：（1）a = 1，b = -7，c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = 9，x2 = -2. 讲授新课 解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1. ∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0， ∴ 即 讲授新课 练一练 1、用公式法解下列方程: 5x2-3x-1=0 解：(1) a=5,b=-3,c=-1 △=b2-4ac=(-3)2-4×5×(-1)=29>0 方程有两个不相等的实数根. 即 讲授新课 2、用公式法解下列方程: △=b2-4ac= (2) 方程化为 故方程无实数根. 讲授新课 知识点二 一元二次方程根的判别式 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. 讲授新课 按要求完成下列表格： 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 的值 根的情况 【点睛】根的判别式使用方法：1.化为一般式，确定a,b,c的值；2.计算 的值，确定 的符号；3.判别根的情况，得出结论. 讲授新课 典例精析 【例2】一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情况是( ) A A． 没有实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 有两个实数根 解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ， 因为 Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0， 所以此方程没有实数根.故选A. 讲授新课 练一练 1、若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是( ) D A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥1 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根， 方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0， 解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ． 讲授新课 2、若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ． k<2且k 0 解：因为关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根， 所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0， 解得 k＜2且 k≠0， 所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0． 讲授新课 3、不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． （3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根． 当堂检测 1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　) A．3、1、4 B．3、－1、－4 C．3、－4、－1 D．－1、3、－4 B 当堂检测 2. 用公式法解方程 ：y2－2y－2=0； 当堂检测 3.关于 x 的一元二次方程 (k+1)x2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围 是( ) A．k≥0 B．k≤0 C．k<0 且 k≠-1 D．k≤0 且 k≠-1 D 4.已知 α 是一元二次方程 x2-x-1=0 较大的根，则下列对 α 的值估计正确的是( ) A．2＜α＜3 B． 1.5＜α＜2 C． 1＜α＜1.5 D． 0＜α＜1 B 5.一元二次方程 3x2=4-2x 的解是 ． ， 当堂检测 6.解方程（1）x2 +7x – 18 = 0. 解： a=1, b= 7, c= -18. ∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0, 即 x1 = -9, x2 = 2 . （2）（x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. ∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0, ∴原方程没有实数根. 当堂检测 7.用公式法解一元二次方程： (1)x2-4x+2=0; (2)16x2+8x=3.     当堂检测 8.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2+3x-4=0； （2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0. 解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, ∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= . ∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0. ∴方程有两个相等的实数根． （3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根． 当堂检测 9.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况. 解： 所以方程有两个实数根． 当堂检测 10. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 解：(1)△ABC是等腰三角形　 理由：把x＝－1代入方程，得2a－2b＝0， ∴ a＝b. ∴ △ABC是等腰三角形. 当堂检测 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)△ABC是直角三角形　 理由：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ (2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0. ∴ b2＋c2＝a2. ∴ △ABC是直角三角形. 当堂检测 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (3) ∵ △ABC是等边三角形， ∴ a＝b＝c. ∴ 原方程变为2ax2＋2ax＝0. ∵ a≠0， ∴ x2＋x＝0. ∴ x1＝0，x2＝－1 课堂小结 一、求根公式： 公式法解方程的步骤 1.一化: 化已知方程为一般形式; 2.二定: 用a,b,c写出各项系数; 3.三求: b2-4ac的值; 4.四判：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根； 5.五代：把系数代入求根公式计算. （b2-4ac ≥0） 课堂小结 二、根的判别式： 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. ①b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. ②b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. ③b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 谢 谢~ 解：a＝1，b＝－2，c＝－2.b2－4ac＝12>0， 方程有两个不等的实数根.y＝＝1±. 即y1＝1＋，y2＝1－. $$