山东省烟台市栖霞市第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学十月月考试题 一、单选题 1．已知集合，，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设命题，则的否定为（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 7．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 8．若则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．2 二、多选题 9．下列说法不正确的是（    ） A．已知，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C．的定义域为，则的定义域为 D．不等式解集为，则 10．对于函数定义域中任意的，有如下结论， ①，②，③，④.下列函数能同时满足以上两个结论的有（     ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（     ） A．关于点对称 B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的值为 ． 13．已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 14．已知函数，若，且，则的取值范围是 . 四、解答题 15．定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 16．已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求，时，函数的解析式． 17．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 18．对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)对于所有的函数，证明：； (3)设，若，求集合. 19．已知函数，. (1)当时，求曲线在处切线的方程； (2)当时，试判断在上零点的个数，并说明理由； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 参考答案 一、单选题 1．已知集合，，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据集合运算的结果求参数的取值范围. 【详解】，解得． 故选：D. 2．设命题，则的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 4．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 5．已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得：当时，，当，，当，，再借助导数研究函数单调性与二次函数的性质计算即可得解. 【详解】由题意知，当时，恒成立，即恒成立， 即有在上恒成立，令，则， 故当时，，当，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即，即有； 当时，， 由题意可得，当，，当，， 则有当，，当，， 分别解得，，即； 综上所述：. 故选：D. 6．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 【答案】C 【分析】依据题意构造奇函数，利用奇函数的性质结合指数运算求解即可. 【详解】令， 的定义域为，关于原点对称， 所以，故， ， 所以是奇函数，而，， 解得，所以， 故，故C正确. 故选：C 7．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 8．若则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．2 【答案】B 【分析】对式子进行配方，进而可知表示的几何意义，进而可知时最小，对等式进行化简，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进而可知其零点，进而求解. 【详解】的几何意义是点与函数的图象上任意一点距离的平方，即， 要使得存在最小值，必须，即， 即在上有解， 令， 当，恒成立， 所以在上至多存在一个零点， 因为， 所以在上存在一个零点3， 所以取得最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于能够发现的几何意义. 二、多选题 9．下列说法不正确的是（   ） A．已知，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C．的定义域为，则的定义域为 D．不等式解集为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，可判断A；B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B；C选项，由，可求定义域判断C；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足，当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立， 当时，由对一切实数恒成立， 可得，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是， 所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确； C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，C说法不正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故， 则，故，D说法不正确. 故选：ACD. 10．对于函数定义域中任意的，有如下结论，①，②，③，④.下列函数能同时满足以上两个结论的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得结果. 【详解】由①可得，函数在定义域内为增函数； 由②可得，，即函数为奇函数； 由③可得，函数的图象向下凸.； 由④可得，， 即，说明函数的周期为4. 对于A，函数不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除； 对于B, 函数是奇函数，且周期为,故符合要求； 对于C，函数在上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求； 对于D，是奇函数，且在上单调递增，故符合要求. 故选：BCD. 11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假. 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象， 又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则， 又为的导函数，所以，即，则， 又为奇函数，所以，即， 由上得，故，故， 即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于， 故，即，故4是的一个周期， 又，即，所以为周期为4的周期函数， 因为，令可得，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是上的奇函数，故，结合得， ， 故，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：（1）若函数为奇函数，则，两边求导，可得，所以为偶函数.即奇函数的导函数为偶函数； （2）若函数为偶函数，则，两边求导，可得，所以为奇函数.即偶函数的导函数为奇函数. 三、填空题 12．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【详解】，则，则． 故答案为： 13．已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 四、解答题 15．定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 16．已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求，时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意条件推出，得到函数的周期； （2）由（1）中的函数周期得到； （3）根据函数的周期和时的函数解析式，求出时的函数解析式，再由函数周期及，求出时的函数解析式，得到答案. 【详解】（1）证明：由题意知，则．用代替x得，故是周期为4的周期函数． （2）若，则． （3）当时，，则，又周期为4， 所以． 当时，，则， 根据周期为4，则． 又，所以． 所以解析式为 17．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 18．对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)对于所有的函数，证明：； (3)设，若，求集合. 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由，解出的值即集合的元素，由，解出的值即集合的元素； （2）分别讨论与的情况，当时，设，则，即，进而得证； （3）由，可得，则，进而求解即可. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得， 集合，． （2）若，则显然成立； 若，设为中任意一个元素， 由，可得. （3）， ，即，解得， ， ， ， ， ， 或或， . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝. 19．已知函数，. (1)当时，求曲线在处切线的方程； (2)当时，试判断在上零点的个数，并说明理由； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)1个，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可求解； （2）根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算，即可判断； （3）根据题意，分与讨论，利用导数判断函数的单调性，然后再由的正负分情况讨论，代入计算，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 所以曲线在处切线的斜率. 又因为，所以曲线在处切线的方程为. （2），令，则， 当时，，则在上单调递增. 因为，， 所以存在唯一的，使得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，所以，又， 所以当时，在上有且只有一个零点. （3）①当时，，与当时，矛盾，不满足题意. ②当时，，， 令，则，. 记函数，，则， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减， 所以，所以. 又因为在上单调递增， 所以，所以在上单调递增. （i）若， 则，所以在上单调递增， 则，符合题意； （ii）若，可得，则. 因为，且在上单调递增， 所以存在唯一的，使得. 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 其中，且. 所以 ， 因为，所以. 又因为，所以， 所以，满足题意. 结合①②可知，当时，满足题意. 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间函数值符号为关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$