3.1.1函数的概念教案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念　教案 教 学 目 标 、 重 点 难 点 教学目标： 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3．能够正确使用区间表示数集． 教学重点：了解函数定义的三要素，掌握区间的符号表示方法，会求简单的定义域和值域. 教学难点：理解函数的定义及符号f的含义． 教学流程 课堂探究： 【探究一】实际生活中的函数 问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内列车行进的路程s（单位：km)，与运行时间t(单位:h)的关系为s=350t① 问题2.某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。一个工人的工资W是他工作天数的d的函数吗？w与d的对应关系是怎样的？ 问题3：图中是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。 你认为这里的I是t的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？ 问题4.国际上常用恩格尔系数 r(r=食物支出金额/总支出金额×100%) 反映一个地区人民活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。 你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 思考：上述问题一至问题四中的对应关系是否是函数关系？它们有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？ 【探究二】函数的概念的形成 1.以上4个问题的共同特征有: (1)都包含两个非空数集用A,B来表示 (2)都有一个对应关系 (3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下的特征，对于数集A中的任意，一个数x，按照对应关系在数集B中都有唯一确定的y值和它对应 2.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. 3.函数概念理解 (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性（即定义域中的每一个元素都有函数值），集合B中的数具有唯一性（每一个自变量都有唯一的函数值与之应）． (3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格、也可以是文字描述，在不同的函数中f的具体含义不一样． (4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x=a时的一个函数值． 例如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7 4.函数的三要素 (1)定义域A （2）对应关系f （3）值域{f(x)|x∈B} 【探究三】函数概念的应用 例1.下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号) ( ① ② ③ ④ ) 例2.若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下图给出的对应能构成从M到N的函数f：M→N的是(　　) 【探究四】利用函数的概念描述常见函数 思考：对照函数的定义，试着写出一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域。 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 a>0 a<0 图象 定义域 值域 例3.试着构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10−x)描述 【探究五】区间 各个区间的含义及表示方法如下表所示 【探究六】函数三要素的应用 例2.下列函数哪个与函数y=x相等 课堂小结 学了什么？ 函数的定义：会求函数的定义域、值域 函数的三要素 区间的表示 作业 作业设计：课时作业本 教 后 反 思 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$