4.2.1 指数函数的概念 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦指数函数概念核心知识点，通过细胞分裂、放射性物质衰减实例导入，承接函数概念与性质及指数幂运算，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 此资料以“设疑自探—解疑合探—质疑再探”驱动教学，借实例抽象概念发展数学抽象素养，辨析底数取值培养逻辑推理能力，实际问题建模提升数学建模素养。含分层练习与合作辨析活动，助力教师实施探究式教学，帮助学生深化概念理解与应用能力。

4.2.1《指数函数的概念》教案 一、教材分析 本节课是必修一 “基本初等函数（I）” 的第二节第一课时，承接第一章 “函数的概念与性质” 和本章第一节 “指数与指数幂的运算”，是对函数概念的具体应用与拓展，也是后续学习指数函数的图像、性质及对数函数的基础。教材通过细胞分裂、放射性物质衰减等实际实例，引导学生抽象出指数函数的概念，体现 “从具体到抽象” “数学建模” 的核心素养，符合新课标 “注重情境创设与实际应用” 的理念。 二、学情分析 本节课的授课对象为高一学生，已具备以下基础：①掌握函数的基本概念（定义域、值域、对应关系）；②熟练进行指数与指数幂的运算；③具备初步的从实例中归纳共性的能力。但存在不足：①对 “抽象函数概念的形成过程” 理解不深；②对 “底数取值范围的限制条件” 容易混淆；③将实际问题转化为数学函数模型的能力有待提升，需要通过 “设疑 — 自探 — 合探” 的模式逐步突破难点。 三、学习目标 从细胞分裂、放射性物质衰减等实际实例中，抽象概括出指数函数的共同特征，形成指数函数的概念，发展数学抽象素养；理解指数函数定义中 “底数且” 的限制条件，能通过逻辑推理分析其合理性，提升逻辑推理素养；能根据指数函数的概念判断给定函数是否为指数函数，初步掌握将实际问题转化为指数函数模型的方法，培养数学建模素养。 四、本节课的重点、难点 重点：指数函数的概念及 “（且）” 的结构特征； 难点：理解指数函数定义中底数a的取值范围的限制原因；将实际问题抽象为指数函数模型。 五、设疑自探 自探问题： 1、教材中给出两个实例： ①细胞分裂时，每次分裂后细胞数量翻倍，若初始细胞数为 1 个，写出第n次分裂后细胞总数y与分裂次数n的函数解析式（n为正整数）； ②某种放射性物质初始质量为 1，其半衰期为 2 天（即每经过 2 天，质量衰减为原来的一半）。请写出该物质剩余质量m与时间t（单位：天，）的函数解析式。 2、根据上述实例的共同特征，尝试给 “指数函数” 下一个定义。 3、在你给出的指数函数定义 y = ax (a > 0 且 a ≠ 1) 中，底数 a 为什么不能取负数、0 和 1？ 请分别举例说明，当底数 a 为负数或 0 时，指数 x 取某些值时函数无意义的情况。 4、试判断函数、、、、y = x2是否为指数函数，并说明理由。 自探问题答案： 1、①由于每次分裂细胞数量翻倍，因此函数解析式为；②根据放射性物质衰减的规律，可知剩余质量m与时间t的函数解析式为。 2、共同特征：解析式均为 “常数的自变量次幂” 形式，即 “常数 ^ 自变量”，其中常数为正数且不为 1，自变量在指数位置； 指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中定义域是R。 3、底数a的取值限制原因：若：当自变量为分数（如）时，无意义（负数不能开偶次方）；当自变量为无理数时，无法定义，故。若：则，是常函数，不是指数函数（失去 “指数变化” 的本质特征），故。 4、①：是指数函数（符合，且）；②：不是（底数）；③：不是（解析式为 “常数 × 指数式”，不是 “常数的自变量次幂”）；④：不是（底数）；⑤y = x2：不是。自变量 x 在底数 位置，而非指数 位置，这是幂函数。 六、解疑合探 合探问题：小组合作辨析： 1、下列函数中，哪些是指数函数？请说明理由，并总结判断指数函数的 “三个关键点”。①；②；③；④；⑤；⑥。 2、 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂成两个），设初始细菌数为，试建立细菌总数y与培养时间t（单位：分钟）之间的函数关系式，并判断该函数是否为指数函数。 3、若函数是指数函数，求实数a的值。 合探引导 问题 1：重点讨论 “指数函数的结构特征”，总结 “三个关键点”——①底数是正数且不为 1；②指数是自变量x（单独的x，无常数项、系数）；③解析式为 “底数 ^ 自变量”，无其他常数因子。 问题 2：重点引导学生将 “时间t与分裂次数” 建立联系（分裂次数），再转化为函数关系式，体会 “实际问题→数学模型” 的建模过程。 问题 3：重点利用指数函数的定义列方程（且且），培养逻辑推理能力。 7、 质疑再探 引导学生提出疑问：如 “指数函数与幂函数有什么区别？” “为什么指数函数的定义域是R？” “实际生活中还有哪些现象可以用指数函数模型描述？” 等。 答案：指数函数与幂函数的本质区别：指数函数是 “指数为自变量，底数为常数”（），幂函数是 “底数为自变量，指数为常数”（）； 指数函数定义域为R的原因：当时，对任意实数x，都有意义； 实际应用举例：人口增长（短期内）、复利计息、病毒传播等。 八、拓展应用 1、某机器的价值为 10 万元，每年的折旧率为 10%（即每年价值减少 10%），试建立机器价值y（万元）与使用年限x（年）之间的函数关系式，并判断是否为指数函数。 答案：函数关系式为（），不是指数函数，因为系数不是1。 2、若函数（且）的图像经过点，求a的值及的值。 答案：由过点得，又且，故；。 3、（多选题）下列函数中，是指数函数的有（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 解析：根据指数函数定义（且），关键点为 “底数正且不为 1、指数为单独x、无常数因子”：A：符合定义（且）；B：是幂函数（底数为自变量），不是指数函数；C：，符合定义（且）；D：，有常数因子 5，不是指数函数。 4、（多选题）关于指数函数（且）的底数a的取值范围，下列说法正确的有（ ） A. 是为了保证对任意实数x，有意义 B. 是因为当时，函数为常函数，失去 “指数变化” 特征 C. 若，则当x为分数时，一定无意义 D. 若，则当时，无意义解析 【答案】 ABD。 【解析】对底数a的取值限制原因分析如下：A：当时，无论x为有理数还是无理数，都有唯一确定的值，正确；B：时，，是常函数，不具备指数函数 “随指数变化而变化” 的本质，正确；C：如，时，有意义，C错误；D：时，时，无意义，正确。 5（多选题）下列实际问题中，能建立指数函数模型的有（ ） A. 某商品的售价为每件 10 元，销量y与售价x之间的关系 B. 某细胞每 30 分钟分裂一次，细胞总数y与分裂时间t之间的关系 C. 某银行一年期定期存款年利率为 1.5%，本金P元到期后的本息和y与存款年数x之间的关系（复利计息） D. 正方形的面积y与边长x之间的关系 【答案】BC 解析：A：销量与售价通常为线性关系（如销量随售价升高而线性减少），不是指数函数模型；B：细胞分裂为 “指数增长”，（为初始细胞数），是指数函数模型；C：复利计息时，本息和，符合指数函数形式，是指数函数模型；D：正方形面积，是幂函数模型，不是指数函数模型。 学科网（北京）股份有限公司 $