3.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（第1课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 第三章 二次函数 第一课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、掌握二次函数y=ax2+k的图象的作法,理解二次函数y=ax2+k的性质,能解决简单的实际问题 2、通过动手画图自主探究,认识二次函数y=ax2+k的图象与性质.经过合作交流,能比较y=ax2+k与y=ax2的异同与联系,初步建立二次函数不同的表达式之间的联系. 3、通过二次函数y=ax2+k的探究活动,培养学生的团队合作精神,勇于探索的学习习惯,提高学生的学习兴趣. 顶点坐标 对称轴 图象 开口方向 图象极点 函数极值 增减性 开口大小 a>0 a<0 (0 ,0) y轴 x y O y x O 向上 向下 当x=0时,y有最小值为0. 当x=0时,y有最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小. 顶点是最低点 顶点是最高点 越大,开口越小. 越小,开口越大. 二次函数y=ax2（ ）的性质 知识回顾 2.若二次函数y=(m-1)x2的图象过点(2,-8),则m= , 这个二次函数的表达式为 . 当x 时,y的值随x值的增大而减小; 当x 时,y的值随x值的增大而增大.  知识回顾 1.关于y= x2,y=x2,y=3x2的图象,下列说法中不正确的是 ( ) A.顶点相同 B.对称轴相同 C.图象形状相同 D.最低点相同 C -1 y=-2x2 >0　 <0　 3.若抛物线y=a1x2与y=a2x2的形状相同,那么(　　) A a1=a2 B a1=-a2 C |a1|=|a2| D a1与a2的关系无法确定 C 4 新知导入 函数y=2x2+1的表达式与y=2x2的表达式有什么相同和不同? 说一说 函数y=2x2+1的表达式与y=2x2的表达式二次项相同 相同的自变量x对应的函数值相差1 猜 想 做一做 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=2x2, y=2x2+1, y=2x2-2的图象. y=2x2+1 的图象与y=2x2的图象开口大小和方向相同吗？ y=2x2-2的图象与y=2x2的图象开口大小和方向相同吗？ y=2x2+1的图象与y=2x2-2的图象对称轴是y轴吗？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-2 … 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 … 列 表 新知探究 -2 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -2 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-2 描 点 连线 观察图象，完成下表 向上 向上 向上 （0,0） （0,1） （0,2） y轴 y轴 y轴 三个函数的增减性相同吗？ 增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 三个函数的最值各是多少？ 6 新知探究 说一说 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -2 把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线y=2x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 . 下 y=2x2+1 上 观察图象可以发现 y=2x2-2 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 顶点坐标发生了改变。 新知探究 说一说 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -2 解析式 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-2 +1 -2 点的坐标 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2-2 2x2 2x2+1 从数的角度探究 把抛物线 y = 2x2 向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？ x y O 　－2 2 2 4 6 4 －4 8 －2 －4 思考 新知探究 在同一坐标系内画出 y = -2x² + 1，y = -2x² - 1 的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 做一做 x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=-2x2+2 … -2.5 0 1.5 2 1.5 0 -2.5 … y=-2x2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … y=-2x2-1 … -5.5 -3 -2.5 -1 -2.5 -3 -5.5 … O 1 -1 2 x y -1 -2 y = -2x2 - 1 y = -2x2 y = -2x2 + 2 新知再探 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，2)， (0，−1) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y = −1 y = 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 1 O -1 2 x y -1 -2 y = -2x2 y = -2x2 + 2 新知再探 把抛物线y=-2x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线y=-2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 . 观察图象可以发现 下 y=-2x2-1 上 y=-2x2+2 y = -2x2 - 1 新知巩固 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标. 做一做 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 把抛物线y=-x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线y=-x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 x=0 （0,0） 向下 x=0 （0,2） 向下 x=0 （0，-2） 下 上 顶点坐标 对称轴 图象 开口方向 图象极点 函数极值 增减性 a>0 a<0 (0 ,k) y轴 向上 向下 当x=0时,y的最小值为k. 当x=0时,y的最大值为k. 顶点是最低点 顶点是最高点 二次函数y=ax2+k（ ）的顶点位置及开口方向和大小确定后，其他性质也随之确定 x y O y x 二次函数 y = ax2 + k（a ≠ 0）的性质 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 新知归纳 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 新知归纳 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 巩固提升 1.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( ) A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状 C 2.已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)， 且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是(　　) A．a＞0　　　B．a＜0　　　C．a≥0　　　D．a≤0 A 选一选 3.关于二次函数y=-2x2+3,下列说法中正确的是(　　) A.它的图象开口方向是向上 B.当x<-1时,y随x的增大而增大 C.它的顶点坐标是(-2,3) D.当x=0时,y有最小值3 B 4.要从抛物线y=-5x2的图象得到y=-5x2-1的图象，则抛物线y=-5x2必须（ ）.  A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位   D．向右平移1个单位． B 6.二次函数y=-x2-2的图象大致是(　 　) 7.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,则下列说法中正确的是 ( ) A.若y1=y2,则x1=x2 B.若x1≠x2,则y1≠y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 D.若x1<x2<0,则y1>y2 5.抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是(　 　) A.(0,2) B.(0,-2) C.(0,4) D.(0,-4) C D D C 巩固提升 1.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为__________. 2.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） _____（在，不在）y=ax2+a的图象上. 3. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_______. y=-3x2-2 在 ＞0.5 填一填 4.如果二次函数y=(a+3)x2-5的图象不经过第一象限,那么a的取值范围是 。　 　 a<-3 6 巩固提升 1.(2022荣成模拟)已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且y=ax2+n的图象上的点到x轴的最小距离为3. (1)求a,n的值; (2)写出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解: (1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同, ∴a=-2. ∵抛物线y=ax2+n上与x轴最近的点到x轴的距离为3, ∴n=-3. (2)抛物线的表达式为y=-2x2-3,抛物线开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,-3). 巩固提升 练一练 2.将函数y=ax2+4(a≠0)的图象沿y轴向下平移4个单位后,与直线y=kx-2相交于A,B两点,其中点A的坐标是(-1,-1).(1)求a,k的值; 巩固提升 解: (1)∵函数y=ax2+4(a≠0)的图象沿y轴向下平移4个单位后, 得到抛物线y=ax2, 且过点(-1,-1), ∴a=-1. 将(-1,-1)代入y=kx-2, 得-1=-k-2, 解得k=-1, ∴a,k的值分别为-1,-1. (2)求点B的坐标. (2)∵a=-1,k=-1, ∴当-x-2=-x2时, 解得x1=-1,x2=2. 当x=-1时,y=-(-1)2=-1; 当x=2时,y=-22=-4. ∵点A的坐标是(-1,-1), ∴点B的坐标为(2,-4). 巩固提升 C 课堂小结 二次函数 y = ax2 + k（a ≠ 0）的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 最值 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 增减性 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 8.已知抛物线y=-x2+2,当1≤x≤5时,y的最大值是(　 　) A.2 B. C. b D. 5.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为　 　.  3.如图所示,直线AB经过点B(0,6),且tan∠ABO=,与抛物线y=ax2+2在第一象限内相交于点P, 又知△AOP的面积为6.求a的值; 解: (1)∵直线AB经过点B(0,6),且tan∠ABO=, ∴OB=6,=,∴OA=4,∴A(4,0). ∵△AOP的面积为6, 设点P的坐标为(m,n), ∴×4×n=6,∴n=3. 过点P作PC⊥OA于点C,∴PC∥OB, ∴=,∴=, ∴AC=2, ∴点P的横坐标为m =4-2=2, ∴点P的坐标为(2,3). ∵点P在抛物线y=ax2+2上, ∴3=4a+2, ∴a=. $$