24.2 解一元二次方程（第2课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.2 解一元二次方程 第2课时 配方法 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.了解配方的概念；掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 2.理解并掌握把一个二次三项式通过配方化成a(x+h)2+k的形式. 3.灵活运用配方法求代数式的最值. 　 温故知新 你还记得完全平方公式吗？ a2±2ab+b2 (a±b)2 = a2±2ab+b2= 反过来： (a±b)2 　 导入新课 思考：下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+4x+4=0. 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 讲授新课 知识点一 配方法解系数为1的一元二次方程 1.填上适当的数，使下列各等式成立. (1) x2－2x+ = ( x－ )2； (2) x2+8x+ = ( x+ )2； 12 1 42 4 观察上面的等式，你能发现有什么规律吗？ (3) x2－5x+ = ( x－ )2； (4) x2+x+ = ( x+ )2 . 讲授新课 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 讲授新课 想一想：下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9=5 先转化成(x+h)2=k(k≥0)的形式，再利用直接开平方法求解. 解：(1)原方程可化为(x+3)2=5 ∵x+3是5的平方根， ∴x+3=±. ∴x=-3±. 即x1=-3+，x2=-3-. 讲授新课 (2) x2+6x+4=0 想一想：下列方程能用直接开平方法来解吗? (2)解：移项，得：x2+6x=-4. 配方，得：x2+2x3 +32=-4+32， (x+3)2=5. 解这个方程，得x+3=±. 所以x1=-3+，x2=-3-. 讲授新课 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2 ＝k (h、k为常数) 的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. ※配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 讲授新课 典例精析 【例1】解下列方程： (1) x2－4x＋3＝0； 解: (1)移项，得 x2-4x=-3. 配方，得 x2-2x2 +22=-3+22， (x-2)2=1. 解这个方程，得x-2=±1. 所以x1=3，x2=1. (2) x2＋3x－1＝0． (2)移项，得 x2+3x=1. 配方，得 x2+2x=1+ , (x+)2= . 解这个方程，得 x+=±， 所以x1=-+，x2=--. 讲授新课 练一练 1、用配方法解一元二次方程 (1)x2+4x+3=0； (2)x2+x－ =0； (3)(1+x)2+2(1+x)－3=0. 讲授新课 解：(1)移项，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22. ∴(x+2)2=1. ∴ x1=－1，x2=－3. (2)移项，得x2+x= . 配方，得x2+x+()2= +()2. ∴ (x+ 2=1.∴ x1= ，x2=－ . (3)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3. 配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12. ∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4. 讲授新课 知识点二 用配方法解系数不为1的一元二次方程 解: 两边都除以2，得 x2－x+12=0. 移项，得 x2－x =－12. 配方，得 x2－2x + 2 =－12+ 2， (x－)2 =. 请你尝试用配方法解方程2x2－19x+24=0. 解这个方程，得 x－=±. 所以x1= ，x2=8. 讲授新课 典例精析 【例2】解方程：2x2－5x+2=0. 解: 两边都除以2，得 x2－x+1=0. 移项，得 x2－x=－1. 配方，得 x2－2x + 2 =－1+ 2， (x－)2 =. 解这个方程，得 x－=±. 所以x1= ，x2=2. 讲授新课 练一练 1、解下列方程： 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 配方，得 解：移项，得 二次项系数化为1，得 即 讲授新课 2、解方程：－3x2+4x+1=0. 解: 两边都除以－3，得 x2－x－=0. 移项，得 x2－x = . 配方，得 x2－2x + 2 = + 2， (x－ )2 = . 解这个方程，得 x－ =± . 所以 x1=，x2= － . 讲授新课 知识点三 配方法的应用 【例3】试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4-4＋5 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0， 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 所以（k－2）2＋1≥1. 讲授新课 利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. 解：－x2－x－1= －(x2+x+1) =－(x2+x+ － +1) 所以－x2－x－1的值必定小于零. 当 时，－x2－x－1有最大值 讲授新课 练一练 1、应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.     讲授新课 解：对原式配方，得 由非负性可知 所以，△ABC为直角三角形. 【例4】若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 讲授新课 练一练 1、若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 当堂检测 1.若关于x 的方程4x2－(m－2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m 等于( ) A. －2 B. －2 或6 C.－2 或－6 D. 2 或－6 B 当堂检测 2.方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 C 当堂检测 3.解下列方程： （1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 当堂检测 4.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 当堂检测 5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 当堂检测 6.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为等边三角形. 当堂检测 7.已知实数x、y满足x2+4xy+4y2+x+2y-6=0，求x+2y的值． 解：x2+4xy+4y2+x+2y-6=0 （x+2y）2+（x+2y）-6=0 （x+2y+3）（x+2y-2）=0 ∴x+2y+3=0，x+2y-2=0 即：x+2y=-3或2． 当堂检测 8.阅读下面的材料并解答后面的问题： 小力：能求出x2+4x+3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为x2+4x+3=x2+4x+4-4+3=（x2+4x+4）+（-4+3）=（x+2）2-1，而（x+2）2≥0，所以x2+4x+3的最小值是-1． 问题：（1）小强的求解过程正确吗？ （2）你能否求出x2-8x+5的最小值？如果能，写出你的求解过程． 解：（1）正确 （2）能．过程如下： x2-8x+5=x2-8x+16-16+5=（x-4）2-11， ∵（x-4）2≥0， 所以x2-8x+5的最小值是-11． 课堂小结 一、概念： 二、步骤： 把一元二次方程通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. ①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程. 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 三、配方法的应用 1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负） 2.完全平方式中的配方 3.利用配方构成非负数和的形式 谢 谢~ $$