广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二上学期第一阶段考试（10月）数学试题

潮阳一中明光学校 2024~2025学年度 第一学期 第一阶段考试 高二数学 命题人：陈永佳 本试卷分第 Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 注意事项： 1．答第 Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、班级、座位号完整填写在答题卷上. 2．考生务必将第Ⅱ卷（非选择题）的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分。 3．考试结束后,答题卷收回. 第 Ⅰ卷 选择题（共73分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1 ．集合 A = {x | 2sin x = 1, x ∈ R} ， B = {x | x 2 - 3x ≤ 0} ，则A∩ B = ( ) A. [0, 3] B. C. D. 2 ．已知是数z 满足(1+ i) z - 2i = 3 ，则z 对应的点所在象限位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3 ．多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项 A，B ，C，D 中至少有两个选项正确， 并规定：如果选择了错误选项就不得分. 若某题的正确答案是 ABC ，某考生随机选了两项，则其能 得分的概率为 ( ) A. B. C. D. → 3 → 1 → → 4. O 为空间任意一点，若OP = 4 OA+ 8 OB + tOC ，若A, B, C, P 四点共面，则t = ( ) A ． 1 B ． C ． D . 5 ．已知两条不重合的直线a，b,则“a∥b”是“两条直线斜率相等”的( )条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 高二数学 第 1 页 共 4 页1 学科网（北京）股份有限公司 7 ．已知α, β均是锐角，已知sin α = ， cos ，则sin β= A ． 一 B ． C ． 一 D . 8．定义在(0, +∞) 的函数 满足：对∀x1 ，x2 ∈ , 且x1 ≠ x2 ， 成立，且 f (3) = 9 ，则不等式 f (x ) > 3x 的解集为 ( ) A. (9, +∞) B. (0, 9) C. (0, 3) D. (3, +∞) 二、多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 ．在每小题给出的选项中， 有多项符 合题目要求 ．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9 ．一组数据：0 ，1 ，5 ，6 ，7 ，11 ，12 ，则 ( ) A ．这组数据的平均数为 6 B ．这组数据的方差为 16 C ．这组数据的极差为 11 D ．这组数据的第 70 百分位数为 7 10 ．若向量 ， b (→) 满足 = b (→) = 1 ， A ． . b (→) = 1 B ． 与 b (→) 的夹角为 C ． 丄 ( 一 2b (→) ) D ． 一b (→) 在b (→) 上的投影向量为一 b (→) 11． 已知函数 = sin + sin + cos x + a 的最大值为 1，则( ) A． a = -1 B． f(x) 的最小正周期为 2兀 C． f(x) 在( 4 (兀) ,兀）上单调递减 D． f(x) 的图象按向量平移 ，所得图象过原点 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.请把正确答 案写在答案卷上，写在试卷无效） 12.直线过点，且与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为 . 高二数学 第 页 共 4 页2 学科网（北京）股份有限公司 ( → → ) ( | )13 ．两个非零向量a ，b ，定义 ( → → → → )a ×b |=| a || b | ( → → )sin〈a, b〉. 若 = (1, 0, 1) ， b (→) = (0, 2, 2) ，则 b (→) = . 14 ．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于 截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为H 2 ，其中R 为球的半径， H 为球缺的高.2022 北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图 1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非 凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代， 以及面向未来的无限可能.它的外形可近似抽象成一 个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别为4 和2 ，高为6 ，球缺所在 球的半径为5 ，则该组合体的体积为 . 四、解答题： 本题共 5 小题，共 77 分 ．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .请把正确答案写在答案卷上，写在试卷无效） 15.( 13 分)已知 = (1, 4, -2) ， b (→) = (-2, 2, 4) . 若 ，求cos < > 的值； 若 ∥ 求实数k 的值. 16. (15 分)在△ABC 中， 内角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c ，且bcos C +c cosB = 3a cosA . (1)求cosA ； (2)若△ABC 的面积是 2 ， a = 2 ，求 △ABC 的周长. 17、(15 分)从一批草莓中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 15 已知从个草莓中随机抽取一个，抽到重量在的草莓的概率为。 （1）求出，的值； （2）用分层抽样的方法从重量在和的草莓中共抽取5个，再从这5个草莓中任取2个，求重量在和中各有1个的概率。 18．（本小题满分 17 分） 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中 ，点 E 、 F 分别在棱 BB1 、 DD1 上，且 AE 丄 A1B ， AF 丄 A1D . （ 1） 求证： A1C 丄 平面 AEF ； （2） 当 AD = 3 ， AB = 4 ， AA1 = 5 时， 求平面 AEF 与 平面 D1B1BD 的夹角的余弦值 . （第18题图） 19. (17分)近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济” ，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、 带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查 发现：该工艺品在过去的一个月内（以 30 天计），每件的销售价格P(x) （单位：元）与时间 x（单 位：天）的函数关系近似满足 = 10 + 为常数，且k > 0 ）， 日销售量Q(x) （单位：件）与 x时间 x（单位：天）的部分数据如下表所示： 已知第 10 天的日销售收入为 505 元. x 10 15 20 25 30 Q (x) 50 55 60 55 50 (1)给出以下四个函数模型：①Q(x ) = ax +b ； 高二数学 第 4 页 共 4 页1 学科网（北京）股份有限公司 ②Q(x ) = a x — m + b ；③Q(x)= a — bx ；④Q(x)= a.logb x ．请你根据上表中的数据，从中选择你 认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x) 与时间 x 的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为f (x) （单位：元），求f (x) 的最小值. $$