专题04 幂函数、指数函数与对数函数（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高一数学上学期湘教版2019

高一湘教版（24-25学年）数学必修1期中考点大串讲 串讲04 幂函数、指数函数与对数函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 九大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中、期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　指对运算 技巧点拨 求解指数、对数的运算问题,要熟练掌握指数式、对数式的运算法则,熟识各种变形,便可顺利地化简求值. 举一反三 题型剖析 题型二　幂函数 举一反三 解　(1)幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则－m2＋2m＋3为偶数，且－m2＋2m＋3>0，得－1<m<3，m＝0或m＝1或m＝2. 当m＝0与m＝2时，－m2＋2m＋3＝3是奇数，不合题意，当m＝1时，f(x)＝x4. (2)由(1)知g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1，若g(x)>2恒成立，则c－1>2，即c>3.故实数c的取值范围为(3，＋∞). 题型剖析 题型三　指数函数的图像 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　指数函数的性质 【例4】　已知函数f（x）＝. （1）若a＝－1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值. 解　（1）当a＝－1时，f（x）＝，令g（x）＝－x2－4x＋3，由于g（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）. 解　（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝， 由于f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1. 技巧点拨 指数型函数问题的求解策略 对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af（x）的函数的单调性，它的单调区间与f（x）的单调区间有关：若a＞1，函数f（x）的单调增（减）区间即函数y＝af（x）的单调增（减）区间；若0＜a＜1，函数f（x）的单调增（减）区间即函数y＝af（x）的单调减（增）区间. 举一反三 【变式】已知函数f（x）＝是奇函数（a为常数）. （1）求a的值； 解：（1）因为f（x）＝是R上的奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0， 即＋＝＋＝＝1－a＝0， 所以a＝1. （2）解不等式f（x）＜. 解：（2）f（x）＝＜， 所以2x＋1＜8，解得x＜2，所以不等式的解集为（－∞，2）. 题型剖析 题型五　对数函数的图像及应用 D D 举一反三 【变式】已知函数f(x)＝，且方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 1<a≤2 解析：作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为1<a≤2. 题型剖析 题型六　对数函数的性质 例 6 已知函数y＝在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围______________.   [2，2＋2] 解析：令u＝x2－ax＋a，因为外层函数y＝在(0，＋∞)为减函数，则内层函数u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上是减函数， 所以，解得2≤a≤2＋2. 举一反三 题型剖析 题型七　比较大小问题 举一反三 题型剖析 题型八　函数与方程 【例8】设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案：D 解析：(图象法)令f(x)＝0，得x＝ln x，作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点． 故选D. 举一反三 【变式】已知函数f(x)＝则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，则函数f(x)－2|x|零点的个数即函数f(x)与函数y＝2|x|的交点个数． 作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为2. 故选C. 题型剖析 题型九　函数模型及应用 举一反三 B 03易错易混 易错点1　忽略对底数的讨论出错 【错解】根据指数函数的单调性可知函数的最大值为f(1)=2,解得a=2 【错因】指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论。 针对训练 03易错易混 易错点2　求复合函数的单调区间忽略定义域出错 【错解】 【错因】求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。 针对训练 03易错易混 易错点3　换元时忽略新元范围而致错 【错解】[1,+∞) 【错因】用换元法替代指数式时,必须确定换元后新元的取值范围,否则会产生错解。求新元的范围时,要根据已知函数的定义域来求. 针对训练 04押题预测 D A D ABC 谢谢观看！ 【例1】 计算:(1)2log32-log3+log38-; (2)0.06+[(-2)3+16-0.75+0.0. 解:(1)原式=log3-3=2-3=-1. (2)原式=0.-1+2-4++0.1=-1+. 【变式】 计算:(1)+0.2; (2)log3+2log510+log50.25+. 解:(1)原式=-4-1+×()4=-3. (2)原式=log3+log5(100×0.25)+7÷=log3+log552+=-+2+. 【例2】已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为偶函数，则实数m＝(　　) A．2或－1 　B．－1 　C．4 　D．2 D [解析]　∵函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝x，是奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x－2，是偶函数，符合题意．∴m＝2，故选D． 【变式】　已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数. (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意x∈R恒成立，求实数c的取值范围. 【例3】 (1)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　) (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． A [－1,1] [解析]　(1)由函数f(x)的大致图象可知3<a<4，－1<b<0，所以g(x)的图象是由y＝ax(3<a<4)的图象向下平移－b(0<－b<1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图象，故选A． (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 1．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是(　　) B [解析]　当x＝1时，f(x)＝1，排除A，C；又x>1时，f(x)＝2x－1，排除D，故选B． 例2(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝loga(|x|＋b)的图象可以是(　　) (2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 解析　画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))) eq \s\up12(x)，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3. 【变式】已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) 解析　由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D. 【例7】若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 解析　因为0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以c>a>b.故选D. 【变式】若a＝log23＋log32，b＝2，c＝eq \f(1,logπ2)＋log3π，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a 解析　因为a＝log23＋log32>2eq \r(log23·log32)＝2，所以a>b.因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.综上，c＞a＞b.故选B. 【例16】（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【详解】设此人休息小时才能驾驶，由题意可得，即， 由于函数再定义域内单调递减，所以， 所以此人至少要休息小时. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·黑龙江·期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的 ，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据： ， ） A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年 1.若指数函数 且 在 上的最大值为 ，则 . 【正解】若，则在上为增函数，所以，即. 若，则在上为减函数，所以，即. 综上或.故答案为：或. 1.已知奇函数 在 上的最大值为 ，则 （） A． 或3 B． 或2 C．3 D．2 【答案】A 2.函数 的单调递减区间为 【正解】函数分为内外层函数，设，，令，得， 内层函数，在区间单调递增，在区间单调递减， 外层函数单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知， 函数在区间单调递减.故答案为： 2.已知函数 ，若 ，则此函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】由题意，令 ，解得 或 ， 故函数 的定义域为 ， ，得 ， 令 ，则 ， 根据复合函数的单调性，即求 在定义域内的增区间， 由二次函数的性质， 的增区间为 ， 所以函数 的单调递增区间为 .故答案为： . 3．当 时，函数 的值域为 . 【正解】因为，令，由于，则， 则原函数可化为，， 当时，取最小值，当时，取最大值，故，即. 故答案为： 3.函数 的值域为 ． 【答案】 【详解】因为 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以函数 的值域为 . 故答案为： 1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南·期中）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（    ） A．5% B．3% C．2% D．1% 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 $$