清单04 幂函数、指数函数与对数函数（考点清单，知识导图+17个考点清单+题型解读）高一数学上学期湘教版2019

清单04 幂函数、指数函数与对数函数 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】指数幂的概念及运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 【清单02】幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 3.幂函数的图象与性质 （1）五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； （2）五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 注意：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【清单03】指数函数 1、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 2、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 注意：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【清单04】对数的概念及运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 【清单05】对数函数 1、对数函数的概念 （1）函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． （2）判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 2、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 【清单06】 函数零点与二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0， 这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【考点题型一】指数运算 【例1】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【考点题型二】幂函数的概念 【例2】（23-24高二下·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D．3 【变式2-1】（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【考点题型三】幂函数的图像与性质 【例3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【变式3-1】（23-24高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】幂函数的图象如图，则将的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【变式3-4】幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】指数函数的定义 【例4】（2024·江苏·高一假期作业）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024上·吉林·高一统考期末）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024上·天津河西·高一统考期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【考点题型五】指数函数的图像 【例5】（2024·上海·高一专题练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【变式5-2】（2024上·甘肃·高一统考期末）如果，那么函数的图象在 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【考点题型六】指数型复合函数的值域 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 【例6】（2024·高一月考）已知函数，则的最大值是 . 【变式6-1】（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的值域为，则（    ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【变式6-4】（2024上·重庆·高一重庆市石柱中学校校联考期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】指数型复合函数的单调性 【例7】（2024上·甘肃定西·高一统考期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024上·天津和平·高一统考期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】对数运算 【例8】（2024上·北京西城·高一统考期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024上·云南·高一统考期末）（    ） A．1 B． C．4 D．6 【变式8-2】（2024上·广东深圳·高一统考期末）（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式8-3】（2024·江苏·高一假期作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】对数函数的定义域与值域 【例9】（2024上·北京顺义·高一统考期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·山西太原·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】对数型复合函数的值域 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 【例10】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】对数函数的图像 【例11】函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式11-1】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式11-2】（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A．B．C． D． 【变式11-3】函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【考点题型十二】对数型复合函数的单调性 【例12】（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】函数的单调递增区间是 ． 【变式12-2】若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【考点题型十三】幂指对比较大小 【例13】（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·广西百色·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十四】函数与方程 【例14】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【变式14-1】（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【考点题型十五】二分法 【例15】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【变式15-1】（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十六】函数模型及其应用 【例16】（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式16-1】（23-24高一上·黑龙江·期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据：，） A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年 【考点题型十七】指对函数的综合问题 【例17】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，． (1)若函数在为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【变式17-1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数且是奇函数． (1)求的值； (2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式17-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 幂函数、指数函数与对数函数 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】指数幂的概念及运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 【清单02】幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 3.幂函数的图象与性质 （1）五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； （2）五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 注意：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【清单03】指数函数 1、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 2、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 注意：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【清单04】对数的概念及运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 【清单05】对数函数 1、对数函数的概念 （1）函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． （2）判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 2、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 【清单06】 函数零点与二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0， 这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【考点题型一】指数运算 【例1】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得. 【详解】由， 因，故， 即得，. 故选：A. 【考点题型二】幂函数的概念 【例2】（23-24高二下·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可. 【解答过程】设幂函数，代入点， 得，解得， 所以， 则， 故选：C． 【变式2-1】（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设幂函数，将点的坐标代入即可. 【解答过程】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【解题思路】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【解答过程】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 【考点题型三】幂函数的图像与性质 【例3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【解题思路】结合幂函数性质逐项判断即可得. 【解答过程】因为幂函数的图象过点，所以， 所以，所以， 对A、B：因为，定义域为，值域为， 故A正确、B错误； 对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：在区间，上单调递减， 由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【解答过程】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】幂函数的图象如图，则将的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则， 所以， 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以， 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，， 故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 【变式3-4】幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 【考点题型四】指数函数的定义 【例4】（2024·江苏·高一假期作业）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解. 【详解】因为指数函数的形式为且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 【变式4-1】（2024上·吉林·高一统考期末）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】幂函数的通式为（为常数）， 则BCD选项均符合幂函数的定义， 而A选项为指数函数，不符合幂函数的定义， 故选：A. 【变式4-2】（2024上·天津河西·高一统考期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 【考点题型五】指数函数的图像 【例5】（2024·上海·高一专题练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可. 【详解】， 当时，因为，所以过点且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A、C、D， 故选：B 【变式5-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 【变式5-2】（2024上·甘肃·高一统考期末）如果，那么函数的图象在 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【详解】∴y=的图象过第一、第二象限,且是单调增函数,经过(0,1)， 的图象可看成把y=的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的， 故函数的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限， 故选B. 【考点题型六】指数型复合函数的值域 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 【例6】（2024·高一月考）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【解析】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 【变式6-1】（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，函数单调递增，故有， 此时函数的值域为， 当时，函数单调递减，故有， 此时函数的值域为， 要想函数的值域为， 只需， 故选：B 【变式6-3】（2024·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的值域为，则（    ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】讨论和，利用指数函数的单调性求函数的最值列出等式即可求解. 【详解】当时，在上单调递减， 则，解得， 此时. 当时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）， 此时 综上可得：为或. 故选：C 【变式6-4】（2024上·重庆·高一重庆市石柱中学校校联考期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元，可得出，然后将问题转化为二次函数在上的值域，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】，令，得， 由于二次函数在区间上单调递增，当时，. 因此，函数的值域为. 故选D. 【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，利用换元法转化为二次函数的值域问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 【考点题型七】指数型复合函数的单调性 【例7】（2024上·甘肃定西·高一统考期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 【变式7-1】（2024·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解 【详解】解：令，则t在上递减，在上递增， 又在R上递增， 所以的单调递减区间为， 故选：B 【变式7-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 【变式7-3】（2024上·天津和平·高一统考期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【考点题型八】对数运算 【例8】（2024上·北京西城·高一统考期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 故选：B. 【变式8-1】（2024上·云南·高一统考期末）（    ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用对数运算性质求解. 【详解】 故选：D 【变式8-2】（2024上·广东深圳·高一统考期末）（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解. 【详解】，故A正确. 故选：A. 【变式8-3】（2024·江苏·高一假期作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】， 故选:B. 【考点题型九】对数函数的定义域与值域 【例9】（2024上·北京顺义·高一统考期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据对数函数的性质求定义域即可. 【详解】令，得， 即函数的定义域为. 故选：C. 【变式9-1】（23-24高一上·山西太原·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数的特征，列式求函数的定义域. 【详解】函数的定义域需满足不等式，即， 即，所以函数的定义域为. 故选：C 【变式9-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域. 【详解】由知，，值域是． 故选：C 【考点题型十】对数型复合函数的值域 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 【例10】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 【变式10-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，设，，计算得到答案. 【详解】， 设，则， 故函数的值域为. 故选：C 【变式10-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【考点题型十一】对数函数的图像 【例11】函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】恒成立，排除CD，根据定义域排除A，得到答案. 【详解】恒成立，排除CD， 的定义域为，排除A. 故选：B. 【变式11-1】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 【变式11-2】（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 【变式11-3】函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为对数函数(且)恒过定点， 所以函数  (且)的图象必过定点. 故选：C. 【考点题型十二】对数型复合函数的单调性 【例12】（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得. 【详解】由可得，，解得， 故的定义域为， 由为增函数， 令，对称轴为， 故其单调递减区间为， 所以的单调递减区间为. 故选：D. 【变式12-1】函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】令且，即，则或， 所以定义域为， 由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增， 而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为. 故答案为： 【变式12-2】若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数关于单调递增，函数在上是严格减函数， 所以关于在上是严格减函数，且， 所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型十三】幂指对比较大小 【例13】（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 【变式13-1】（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解. 【详解】， ， ， 所以. 故选：A. 【变式13-2】（23-24高一上·广西百色·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，又，， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：D 【考点题型十四】函数与方程 【例14】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 【变式14-1】（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用零点的存在性定理判断即可. 【详解】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 【变式14-2】（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可. 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 【变式14-3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】解出方程的根，即可得出函数的零点个数. 【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意； 当时，由于，由，可得，解得，合乎题意. 因此，函数的零点个数为. 故选：D. 【考点题型十五】二分法 【例15】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【变式15-1】（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法即可判断. 【详解】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式15-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 【考点题型十六】函数模型及其应用 【例16】（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，再由指数函数的性质以及对数运算，即可求解. 【详解】设此人休息小时才能驾驶，由题意可得，即， 由于函数再定义域内单调递减， 所以， 所以此人至少要休息小时. 故选：C 【变式16-1】（23-24高一上·黑龙江·期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据：，） A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年 【答案】B 【分析】由题意得，再结合指对互化的知识以及对数的运算性质可得答案. 【详解】由题意，，即，所以， 所以. 故选：B. 【考点题型十七】指对函数的综合问题 【例17】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，． (1)若函数在为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）任取，则，依题意可得可得，参变分离可得，从而求出的取值范围； （2）令，由复合函数的单调性说明在上单调递减，从而得到，令（），则关于的方程在上有两个不等实数根，等价于关于的方程在有两个不等实数根，结合一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）任取，则 ， 因为函数在上为增函数，且时，， 所以由可得，即， ，，则，所以， 因此实数的取值范围是. （2）当时，. 令， 因为在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 因为在区间上的值域为， 所以 即. 令（因为，所以）， 易知，关于的方程在上有两个不等实数根， 等价于关于的方程在有两个不等实数根， （时，，） 令， 则，解得， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由复合函数的单调性得到的单调性，从而得到，再换元，将问题转化为关于的方程在有两个不等实数根的问题. 【变式17-1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数且是奇函数． (1)求的值； (2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在这样的实数，使得其成立 【分析】（1）先根据函数为奇函数，求得，结合函数的奇偶性，即可求解； （2）根据题意，转化为对任意有恒成立，设，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）由，求得，得到，设，根据题意，转化为，结合对数函数的性质，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数且是奇函数， 可得，即，可得， 经验证：当时，，满足， 此时函数为奇函数，符合题意. （2）解：由，可得为单调递减函数， 因为对任意有恒成立， 即对任意有恒成立， 设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，即时，此时函数在区间上单调递增， 则，解得； 当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值， 则，解得，因为，此时无解； 当时，即时，此时函数在区间上单调递减， 则，解得，因为，此时无解； 综上可得，实数的取值为. （3）解：由，可得，解得或（舍去），所以， 则， 设，则， 当时，可得，此时， 又由， 则当时，在上的最小值为； 当时，在上的最大值为； 设， 当时，函数在处取得最小值， 此时，解得（舍去）； 当时，函数的对称轴为， 函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）； 当时，函数的对称轴为， 函数在处取得最大值，此时， 综上可得，不存在这样的实数，使得其成立. 【变式17-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 （1）由奇函数性质即可得解，并注意检验； （2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证； （3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为R，则，解得， 当时，，定义域为全体实数，且， 所以函数是奇函数，满足题意； （2）由（1）可知单调递增，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数单调递增； （3）由题意， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$