专题04 幂函数、指数函数与对数函数（考题猜想，易错必刷70题17种题型）高一数学上学期湘教版2019

专题04 幂函数、指数函数与对数函数 （易错必刷70题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 指数运算 · 幂函数的概念 · 幂函数的图像与性质 · 指数函数的定义 · 指数函数的图像 · 指数型复合函数的值域 · 指数型复合函数的单调性 · 对数运算 · 对数函数的定义域与值域 · 对数型复合函数的值域 · 对数函数的图像 · 对数型复合函数的单调性 · 幂指对比较大小 · 函数与方程 · 二分法 · 函数模型的应用 · 指数、对数函数的综合问题 1、 指数运算（4小题） 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 4．（24-25高一上·全国·课后作业）化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（    ） A． B． C． D． 2、 幂函数的概念（4小题） 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河南·开学考试）已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 8．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 3、 幂函数的图像与性质（4小题） 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 10．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 12．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4、 指数函数的定义（3小题） 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 5、 指数函数的图像（4小题） 16．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 18．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 19．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A．     B．   C．   D． 6、 指数型复合函数的值域 20．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 23．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 7、 指数型复合函数的单调性（4小题） 24．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8、 对数运算 28．（24-25高一上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 32．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9、 对数函数的定义域与值域（3小题） 33．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 35．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值域． 10、 对数型复合函数的值域（5小题） 36．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 40．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 . 11、 对数函数的图像（4小题） 41．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B． C． D． 42．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 43．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（　　） A． B． C． D． 44．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 12、 对数型复合函数的单调性（4小题） 45．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 48．（23-24高一下·湖南株洲·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 13、 幂指对比较大小（4小题） 49．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一下·上海·开学考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 14、 函数与方程（4小题） 53．（23-24高一下·江苏扬州·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 55．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 56．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（多选）已知，定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有二个解 C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解 15、 二分法（4小题） 57．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 60．（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 16、 函数模型的应用（5小题） 61．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，） A．11 B．12 C．13 D．14 62．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 63．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 64．（23-24高一上·福建龙岩·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年． A．3 B．4 C．5 D．6 65．（23-24高一下·陕西榆林·期末）某种化学物质的衰变满足幂函数模型，每周该化学物质衰减20%，则经过星期后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为（    ）（参考数据：） A．6 B．7 C．8 D．9 17、 指数、对数函数的综合问题（5小题） 66．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 67．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知且是指数函数. (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求函数在区间上的值域. 68．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 69．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围． 70．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． $$专题04 幂函数、指数函数与对数函数 （易错必刷70题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 指数运算 · 幂函数的概念 · 幂函数的图像与性质 · 指数函数的定义 · 指数函数的图像 · 指数型复合函数的值域 · 指数型复合函数的单调性 · 对数运算 · 对数函数的定义域与值域 · 对数型复合函数的值域 · 对数函数的图像 · 对数型复合函数的单调性 · 幂指对比较大小 · 函数与方程 · 二分法 · 函数模型的应用 · 指数、对数函数的综合问题 1、 指数运算（4小题） 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A 2．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=，所以1亿=， 所以1兆=， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用指数幂的运算性质公式化简即可. 【详解】. 故选：C. 2、 幂函数的概念（4小题） 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 6．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式组），解得即可. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，解得. 故选：A 7．（23-24高一下·河南·开学考试）已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】 由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 8．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设幂函数，将点的坐标代入即可. 【详解】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 3、 幂函数的图像与性质（4小题） 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质. 【详解】设幂函数，由，解得， 由，A选项错误； 的定义域是，B选项错误； 在上为减函数，C选项正确； 由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误. 故选：C 10．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A，当时定义域为， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，则的值域为，故B错误； 对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误； 对于D，当时，在上单调递增，故D错误； 故选：A 12．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 4、 指数函数的定义（3小题） 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 15．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 5、 指数函数的图像（4小题） 16．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 18．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据函数的变换规则判断即可. 【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称. 故选：C． 19．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A．     B．   C．   D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用函数的定义域，以及时，且，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为，且， 故排除B,C,当时，且，排除A. 故选：D. 6、 指数型复合函数的值域 20．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则， 所以的值域为. 故选：C 21．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性和指数函数的单调性综合分析即可求解. 【详解】二次函数开口向下， 当时，最大值为， 函数是单调递减函数， 所以的值域为. 故选：B. 22．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 23．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 7、 指数型复合函数的单调性（4小题） 24．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 25．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数与指数函数的单调性即可得解. 【详解】对于，其开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 26．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 27．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数型复合函数的单调性，可得关于a的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意知函数由复合而成， 在上为增函数，由复合函数的同增异减性， 可知需为R上的增函数， 故，∴，∴或， 故选：D. 8、 对数运算 28．（24-25高一上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算可以计算A,C选项；根据对数的运算性质可以计算B选项；对数的真数部分要大于0，据此可以判断D选项. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，C错； 对于D，对数的真数部分要大于0，D错. 故选：B 29．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 30．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解. 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 31．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 32．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误． 故选：A 9、 对数函数的定义域与值域（3小题） 33．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为， 故选：B. 34．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解. 【详解】由题可知，解得且. 故选：D 35．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得； （2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由的范围求的范围，再运用对数函数单调性求的范围，最后即得函数值域. 【详解】（1）由可知，即得：， 由得：，即， 因在定义域内是增函数，故得，即， 又因，故的取值范围. （2）由可得， 因在定义域内是增函数，则，故得：， 即函数的值域为. 10、 对数型复合函数的值域（5小题） 36．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集. 【详解】由，即，解得或， 所以函数的定义域为集合，则值域为集合， 所以. 故选：D 37．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 38．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，设，，计算得到答案. 【详解】， 设，则， 故函数的值域为. 故选：C 39．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解. 【详解】由题意函数的定义域为，而， 不妨设，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 40．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 11、 对数函数的图像（4小题） 41．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 42．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 43．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质即可得解. 【详解】因为函数（且）， 令，解得，则， 所以的图象所过的定点为. 故选：A. 44．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B 12、 对数型复合函数的单调性（4小题） 45．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性的规则来解答. 【详解】因为函数在定义域上单调递减， 故函数的减区间即为函数的增区间， 所以，解得， 即函数的减区间是. 故选：D. 46．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 47．（23-24高一上·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】AC 【分析】 由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误. 【详解】A：因为，所以，故A正确； B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误； C：，对称中心为，故C正确； D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误； 故选：AC. 48．（23-24高一下·湖南株洲·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】根据对数函数的性质一一判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又，所以为奇函数，故B正确，D错误； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在定义域上是减函数，故C正确. 故选：ABC 13、 幂指对比较大小（4小题） 49．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可. 【详解】根据函数在单调递增，知道， 根据函数在单调递减，知道， 根据函数在单调递减，知道， 综上所得，. 故选：C. 50．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中间值，根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递减， 可得，即； 且在定义域内单调递增， 可得，即； 又因为，即； 所以. 故选：A 51．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数，对数函数的单调性求出的范围，从而判断大小. 【详解】由在上单调递增，又，所以， 由在R上单调递减，又，所以， 由是上的减函数，又，所以. 所以. 故选：A. 52．（23-24高一下·上海·开学考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质和幂函数和对数函数的性质即可判断． 【详解】，，函数在上为增函数，，A错误； 由，则函数在上为增函数， 所以，即，B正确； 由，C错误； ， 函数为上为增函数，则， 所以，即，D错误. 故选：． 14、 函数与方程（4小题） 53．（23-24高一下·江苏扬州·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理结合函数单调性以及和即可得解. 【详解】因为和是上单调递增函数， 所以是上单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线， 又， 故函数的零点所在的区间为. 故选：A. 54．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】C 【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可. 【详解】方程化为， 分别做出方程左右两边的图象， 从图象可知，方程， 方程有两个分别在和之间的根， 下面证明：方程在和之间各有一个实根， 设， 根据函数性质得在区间上是增函数， 又，， 则， 由零点存在性定理知， 在区间上仅有一个零点， 即方程区间上仅有一个实根， 同理可得方程区间上仅有一个实根， 结合题意可知，或， 故选：C. 55．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】AD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以，A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，C错误； 对D，因为， 所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确. 故选：AD 56．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（多选）已知，定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有二个解 C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】ACD 【分析】将内层函数看作一个变量，先由外层函数确定其解的个数情况，再根据内层函数的图象即可确定复合函数的解的个数，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，由题意可知时，或或， 故方程时，则或或， ， 又在上单调递减，故都有唯一解， 即方程有且仅有三个解，故A正确； 对于B，当时，， 故时，即，而， 故由图象可知有一个解， 即方程有且仅有一个解，故B错误； 对于C，时，或或， 故由可得或或， 而， 故和各有唯一一个解，有3个解， 故方程有且仅有五个解，故C正确； 对于D，时，， 故由可得，而，在上单调递减， 故有唯一解， 故方程有且仅有一个解，故D正确， 故选：ACD 15、 二分法（4小题） 57．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 58．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 59．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 60．（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 16、 函数模型的应用（5小题） 61．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得. 【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则． 由题意得，即，两边取常用对数，可得． ∵，∴． 又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸． 故选：C. 62．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案. 【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为， 设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意 ，两边取对数得， 可得. 所以至少经过个小时才会“药物失效”. 故选：D. 63．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 【答案】D 【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得，推测此古生物的死亡时间为年，再列方程求得（利用对数的运算）． 【详解】由已知，解得，即， 推测此古生物的死亡时间为年，则，， 所以，． 故选：D． 64．（23-24高一上·福建龙岩·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年. 【详解】依题意可得，则，解得， ∴， 因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减， 所以在上单调递增，而，， 即， ∴该植物的高度超过，至少需要年. 故选：C. 65．（23-24高一下·陕西榆林·期末）某种化学物质的衰变满足幂函数模型，每周该化学物质衰减20%，则经过星期后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为（    ）（参考数据：） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据题目列出函数关系式，再根据题目进行求解即可. 【详解】设某种化学物质的原始量为，经过星期后，该化学物质的存量为，则， 当经过星期后，该化学物质的存量低于该化学物质的时，有， 故，故. 故选：C. 17、 指数、对数函数的综合问题（5小题） 66．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 67．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知且是指数函数. (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由指数函数的定义可知，解出的值； （2）原式等价于，根据指数函数的单调性可得，再结合对数函数的单调性即可求解（注意定义域）； （3），令，则，所以，利用二次函数的性质求得值域. 【详解】（1）由指数函数定义，得，而且且， 解得，则， 故； （2）不等式，即， 而函数在上递增，因此， 即， 则，解得， 所以原不等式的解集为 （3）， 当，令，则，所以， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， ， 函数在区间上的值域为. 68．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 69．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数定义列式计算即得. （2）由（1）的结论，结合指数函数的性质求出在上的值域，换元分离参数借助函数单调性求解即得. 【详解】（1）由函数为奇函数， 得，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，则，因此， 令，，不等式， 等价于，即，而， 因此，，而函数在上单调递减， 即，从而恒成立，则， 所以正实数的取值范围是. 70．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）代入得，再代入点得，联立即可； （2）利用二次函数单调性和对数函数单调性复合即可得到函数单调增区间. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，① 由函数的图象经过点，得， 即，② 解①②得（舍去）． （2）由（1）知， 因为， 所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． $$