精品解析：河北省邢台市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

河北省邢台市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. 10 C. D. 100 3. 已知直线的两点式为，则（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式为 C. 直线的倾斜角为锐角 D. 直线的点斜式为 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的三个顶点，则边AB的中线所在直线的一般式为_________. 13. 已知直线经过定点，则的坐标为_________. 14. 在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为_________，三棱锥外接球的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2. （1）若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行； （2）若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直； （3）若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式. 16. 在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 17. （1）若直线沿轴向右平移5个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率； （2）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 18. 在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求直线DF与平面BEF所成角的大小． 19. 在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2. （1）当二面角为时，判断与平面是否平行； （2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义即可求解. 【详解】由条件可得，解得. 故选：D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. 10 C. D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求. 【详解】由题意得，则， 故选：B. 3. 已知直线的两点式为，则（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式为 C. 直线的倾斜角为锐角 D. 直线的点斜式为 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意向量， 故，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 7. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 8. 在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量方法求点面距离即可. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，，， 如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为， 则，所以，两式相减可得， 令，解得， 则平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】AD项，假设共面，由空间向量基本定理建立方程组，由方程组无解推出矛盾则可得不共面结论；BC项，写出其中一个向量用另外两个向量表达的关系式，由平面向量基本定理可得共面结论. 【详解】A项，假设共面，则存在实数，使， 即， 由构成空间的一个基底，则，方程组无解. 故假设错误，故不共面，故A正确； B项，由可知，共面，故B错误； C项，由可知，共面，故C错误； D项，假设共面，则存在实数，使， 即， 由构成空间的一个基底，则，方程组无解. 故假设错误，故不共面，故D正确； 故选：AD. 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点讨论求解即可. 【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意， 此时直线的方程为，即； 若直线不过原点，设直线方程为， 则， 若，此时直线方程为； 若，此时直线方程为. 综上所述，直线的方程为或或. 故选：ABD. 11. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】建立直角坐标系，先求出点的坐标，得出数量积以，再结合可得范围． 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则． 设，则， 所以． 设，连接，则， 因为为长方体的中心，所以． 因为，所以，所以． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的三个顶点，则边AB的中线所在直线的一般式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求中点坐标，由两点式求斜率，最后由点斜式写出直线方程即可. 【详解】由已知可得边的中点，又直线过点， 所以所求直线的斜率， 所以边的中线所在直线方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知直线经过定点，则的坐标为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】整理直线方程为的形式，解方程组可得定点. 【详解】直线可化为， 联立方程组，解得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为_________，三棱锥外接球的表面积为_________. 【答案】 ①. 1 ②. #### 【解析】 【分析】由向量坐标求出三棱锥的各棱长，由长度关系与数量积可得线面垂直关系，由垂直关系入手选定底面与高可求体积；设出球心坐标，由建立方程组求解可得，进而求出球的半径，则表面积可求. 【详解】由题意得，， 所以有， 且， 则，平面，平面，且， 故平面. 又，所以，又， 所以是正三角形，则， 故三棱锥的体积； 设三棱锥外接球的球心， 则由可得， 方程组， 解得，故，所以. 则外接球半径为， 则三棱锥外接球的表面积. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2. （1）若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行； （2）若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直； （3）若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式. 【答案】（1）；平行 （2）；垂直 （3） 【解析】 【分析】（1）由两点坐标可求斜率，再由点斜式方程可求，然后化为斜截式方程即可，比较两直线的斜率与截距可得平行； （2）由一般式方程转化为斜截式方程可得在轴上的截距，再由两直线斜率之积为判定垂直； （3）由两直线平行可求得的斜率为，设出斜截式方程，分别求出直线与坐标轴的交点，根据面积列出方程待定系数可得. 【小问1详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为2，即直线过点， 则由点斜式可得直线方程为， 化为斜截式方程得，直线的斜率， 在轴上的截距为. 所以的斜截式方程为； 由直线经过点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 故的斜截式方程为，在轴上的截距为. 由两直线斜率相同，在轴上的截距不同，则. 【小问2详解】 由直线的一般式方程为， 化为斜截式方程为，故在轴上的截距为； 直线的斜率，由， 所以两直线与互相垂直. 【小问3详解】 由直线与平行，则斜率，故可设直线方程为， 令，得；令，得； 由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 则，所以，解得. 所以直线的方程为， 即的一般式方程为. 16. 在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明； （2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. 17. （1）若直线沿轴向右平移5个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率； （2）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，根据平移的应用得到平移后的直线方程为，由两直线重合可得，化简计算即可. （2）由两点坐标求入射光线所在直线的斜率，再由斜截式可得直线方程；再由入射与反射光线关于轴对称，则斜率互为相反数，求出斜率再由斜截式可求反射光线所在直线方程. 【详解】（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为， 直线沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后， 所得直线的方程为： 化简得. 因为平移后与原直线重合，则. 解得，即直线的斜率为. （2）由两点坐标，可得直线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为，即. 因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称， 所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数， 所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为， 即. 18. 在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求直线DF与平面BEF所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直． 以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 设平面BEF的法向量为，因为，， 所以，解得，令，得，故． 设平面DEF的法向量为，因为，， 所以令，得． 因为，所以，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直； （2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知， 平面BEF的一个法向量为， 则， 所以， 即直线DF与平面BEF所成的角为． 19. 在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2. （1）当二面角为时，判断与平面是否平行； （2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）不与平面平行 （2）平面不与平面垂直 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，转化为是否为0即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，转化为两个向量数量积是否为0即可； （3）求出平面与平面的法向量，进而求出向量夹角余弦值再转化即可. 【小问1详解】 若二面角为，则平面平面， 因为平面平面，且，所以平面， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，因为， 所以令，得， 因为，所以， 所以不与平面平行. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为，所以二面角的平面角为，即， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，因为， 所以令，得， 设平面的法向量为， 因为， 所以令，得， 因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直. 【小问3详解】 在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为， 因为， 所以令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $