专题 第24章相似三角形 章末复习压轴60题（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第24章 相似三角形 章末复习压轴60题 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•宝山区期中）某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点、在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论： ①；②． 对于结论①和②下列说法正确的是　　 A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②都正确 D．①和②都错误 2．（2020•温州）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为　　 A．14 B．15 C． D． 3．（2021秋•黄浦区期中）如图，已知在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．已知中，，，点为三条内角平分线的交点，若，则，的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2024•青浦区三模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 二．填空题（共22小题） 6．（2024•黄浦区三模）如图，在中，，将绕点旋转得到△，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 　　． 7．（2024春•浦东新区期末）在梯形中，，，，点、分别是、的中点，那么的长为 　　． 8．（2023•崇明区二模）如图，已知在两个直角顶点重合的和中，，，，，将绕着点顺时针旋转，当点恰好落在边上时，联结，那么　　． 9．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 　　平方厘米． 10．（2023秋•静安区校级期中）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则　　（结果用含的代数式表示）． 11．（2023•宝山区二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 　　． 12．（2022秋•闵行区期末）阅读：对于线段与点（点与不在同一直线上），如果同一平面内点满足：射线与线段交于点，且，那么称点为点关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，，点在边上，且，联结．设点是点关于线段的“准射点”，且点在矩形的内部或边上，如果点与点之间距离为，那么的取值范围为 　　． 13．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点、，，则　　． 14．（2021秋•浦东新区期末）如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线、直线、直线上，则等边三角形的边长是 　　． 15．（2021•碑林区校级模拟）如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为 　　． 16．（2021秋•松江区校级期中）如图，中，，，．四边形是正方形，点是直线上一点，且．是线段上一点，且．过点作直线与平行，分别交，于点，，则的长是 　　． 17．（2023秋•虹口区期中）如图，在矩形中，、、分别是边、、上点，且，，与交于点，若，则　　． 18．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 　　． 19．（2021秋•闵行区校级期中）如图，在边长为10的正方形中，内接有六个大小相同的正方形，点，，，是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 　　． 20．（2021春•虹口区校级期末）如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则　　． 21．（2022秋•静安区校级期中）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为　　． 22．如果直线把分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线叫做的“完美分割线”，已知在中，，的一条“完美分割线”为直线，且直线平行于，若，则的长等于 　　． 23．在中，，，，是边上的一点，是边上的一点、与端点不重合），如果与相似，那么的长是　　． 24．已知，在中，，，则的面积是　 　． 25．（2023•徐汇区一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 　　（写出所有符合条件的情况） 26．（2023•宝山区三模）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 　　． 27．如图在中，为上的一点，为上的一点，的延长线交于点，已知，，为不小于2的整数），则的值是　 　． 三．解答题（共33小题） 28．（2023秋•长宁区期末）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 29．（2022秋•黄浦区期中）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：． 30．（2021秋•黄浦区期末）已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足． （1）求证：； （2）求证：． 31．（2021秋•宝山区期中）如图，已知中，，，点在边上（点与点、不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点． （1）如果，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 32．（2023秋•黄浦区校级期中）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． （1）如图①，若四边形是矩形，且．求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形．试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论． 33．（2023•杨浦区一模）已知在正方形中，对角线，点、分别在边、上，． （1）如图，如果，求线段的长； （2）过点作，垂足为点，与交于点． ①求证：； ②设的中点为点，如果，求的值． 34．（2023秋•静安区期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，． （1）若于点，且，求证：四边形是菱形； （2）若，求的值； （3）设、、四边形的面积分别为、、，求证： ． 35．在中，，于点，点为的中点，与交于点，点在上． （1）如图1，，，求证：． （2）如图2，，，求的值． 36．已知，射线是的平分线，点是射线上的一个动点，射线交射线于点． （1）如图，若射线绕点顺时针旋转后与射线交于，求证：； （2）在（1）的条件下，若点是与的交点，且满足，求：与的面积之比； （3）当时，射线绕点顺时针旋转后与直线交于点（点不与点重合），直线交射线于点，且满足．请求出的长． 37．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点 移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒 （1）当为何值时，平分四边形的面积？ （2）当为何值时，？ （3）当为何值时，？ （4）当为何值时，是等腰三角形？ 38．将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得△，即如图①，我们将这种变换记为，． （1）如图①，对作变换，得△，则　 　；直线与直线所夹的锐角为　 　度； （2）如图②，中，，，对 作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值； （3）如图③，中，，，，对作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值． 39．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长； （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）连接，当与相似时，求线段的长． 40．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与、重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设，； ①求关于的函数解析式及定义域； ②当为何值时，？ 41．梯形中，，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，． （1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系； （2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围； （3）若，试用的代数式表示． 42．如图， 在中，，，、分别是边、上的两个动点不与、重合） ，且保持，以为边， 在点的异侧作正方形． （1） 试求的面积； （2） 当边与重合时， 求正方形的边长； （3） 设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式， 并写出定义域； （4） 当是等腰三角形时， 请直接写出的长 ． 43．已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点． （1）如图，当点在射线上时， ①求证：． ②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接，当与相似时，求的长． 44．如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线，与折线的交点为．点运动的时间为（秒． （1）当时，求线段的长； （2）点在线段上运动时，是否可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若的面积为，请求出关于的函数关系式及自变量的取值范围． 45．（2022秋•虹口区校级期中）在中，，，是边的中点，交于点．动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点出发沿射线运动，且始终保持．设运动时间为秒． （1）与相似吗？以图1为例说明理由； （2）若，厘米． ①求动点的运动速度； ②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式． 46．在平面直角坐标系中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点．点为直线上一点，反比例函数的图象过点与直线相交于点． （1）若点与点重合，求的值； （2）连接、、．若，且的面积为的面积的2倍，求点的坐标； （3）是否存在点及轴上的点，使得以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，已知在中，，，以点为圆心，线段长为半径的弧交边于点，且，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点．设，． （1）求的长； （2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当时，求的值． 48．如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且 （1）设，，求与之间的函数关系式； （2）在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明） （3）改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 49．直角三角板中，，．将其绕直角顶点逆时针旋转一个角且，得到△， （1）如图，当边经过点时，求旋转角的度数； （2）在三角板旋转的过程中，边与所在直线交于点，过点作交边于点，连接． ①当时，设，，求与之间的函数解析式及定义域； ②当时，求的长． 50．如图，在中，，，，是边上的高，点、分别是边和边上的动点，且． （1）求的值； （2）连接，设点与点间的距离为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）设直线与直线相交于点，能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 51．如图，已知，，，点是射线上的一个动点（点与点不重合），点是线段上的一个动点（点与点、不重合），连接，过点作的垂线，交射线于点，连接．设，． （1）当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域； （2）在（1）的条件下，取线段的中点，连接，若，求的长； （3）如果动点、在运动时，始终满足条件，那么请探究：的周长是否随着动点、的运动而发生变化？请说明理由． 52．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片，△． （1）将，△如图②摆放，使点与重合，点在边的延长线上，连接交于点．求证：． （2）若将，△如图③摆放，使点与重合，点在边的延长线上，连接交于点，试判断与是否相等，并说明理由． （3）写出问题（2）中与△相似的三角形． 53．如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线，与线段的交点为，与折线的交点为．点运动的时间为（秒． （1）当时，求线段的长； （2）当时，如果以、、为顶点的三角形为直角三角形，求的值； （3）当时，连接交线段于点．请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 54．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、分别与直线相交于、． （1）四边形的形状是　 　，当时，的值是　 　； （2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积； （3）在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点和点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 55．如图，在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． （1）求的值； （2）若为轴上的点，且，求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．如图1，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接． （1）变化时，设．若用表示和，那么　 　，　 　； （2）若，且与相似，求相应长； （3）如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 57．如图，正方形的边长为8厘米，动点从点出发沿边由向以1厘米秒的速度匀速移动（点不与点、重合），动点从点出发沿折线以2厘米秒的速度匀速移动，点、同时出发，当点停止运动，点也随之停止．连接，交于点．设点运动时间为秒． （1）当点在线段上运动时，点出发多少时间后，和相等； （2）当点在线段上运动时，求证：的面积是的面积的2倍； （3）设的面积为，试求出关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 58．如图，在中，，点为中点，以为坐标原点，轴与平行，轴与平行，建立直角坐标系，与轴交于点，与轴交于点．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点处，绕点旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线、射线于点、． （1）证明：； （2）若，．设点的横坐标为，长为．当点在边上运动时，求与的函数关系式及定义域； （3）若，．当的面积为时，试求的长． 59．如图所示，已知边长为3的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线，交直线于点，， （1）写出图中与相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （4）若，试求的面积． 60．如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． （1）如设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当的面积是的面积的2倍时，求的长； （3）点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 相似三角形 章末复习压轴60题 一．选择题（共5小题） 1．某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点、在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论： ①；②． 对于结论①和②下列说法正确的是　　 A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【分析】证明，对应边成比例，即可判断①正确；然后证明，得，所以，由，得，根据，即可判断②正确． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确， 结论①和②都正确， 故选：． 2．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为　　 A．14 B．15 C． D． 【分析】如图，连接，．设交于．证明，推出，由，可得，，由，推出，设，，证明四边形是平行四边形，推出，根据，构建方程求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，．设交于． 四边形，四边形都是正方形， ， ，， ， ，，共线，，，共线，、、共线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，设，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， （负根已经舍弃）， ，， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，已知在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围． 【解答】解：如图所示，过作交于或交于，则或， 此时； 如图所示，过作交于，则， 此时； 如图所示，过作交于，则， 当点与点重合时，，即， ， 此时，； 综上所述，长的取值范围是． 故选：． 4．已知中，，，点为三条内角平分线的交点，若，则，的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】如图，过点作于点，交于点．设，证明，推出，推出，在中，，可得，解得，推出，由，推出，可得，，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作于点，交于点． ，平分， ，， ，平分， ， 设， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 故选：． 5．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【分析】根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：． 二．填空题（共22小题） 6．如图，在中，，将绕点旋转得到△，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 　　． 【分析】先根据旋转的性质得到，，，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明得到，所以△△，然后利用相似比得到的值，从而得到的值． 【解答】解：绕点旋转得到△， ，，， 点为的重心， 为边上的中线，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， △△， ， 故答案为：． 7．在梯形中，，，，点、分别是、的中点，那么的长为 　7　． 【分析】根据梯形中位线定理得到，然后把，代入可求出的长． 【解答】解：，分别是边，的中点， 为梯形的中位线， ． 故答案为：7． 8．如图，已知在两个直角顶点重合的和中，，，，，将绕着点顺时针旋转，当点恰好落在边上时，联结，那么　　． 【分析】证明，推出，，再证明，设，则，在中，，构建方程求出即可． 【解答】解：和中，，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， （负根已经舍去）， ． 9．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 　54或　平方厘米． 【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出长，由三角形面积公式求出四边形的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题． 【解答】解：（1）分别延长，交于，连接，设的面积是， ， ， ， ， 的面积，的面积， 四边形的面积， 的面积， ，， ， ， ， ． （2）分别延长，交于，设的面积是， 由（1）知四边形的面积， ，， ， ， ， ， 原来的直角三角形纸片的面积是或． 故答案为：54或． 10．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则　　（结果用含的代数式表示）． 【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．方法二：证明，可得，设，，，则，利用勾股定理列方程求出的值，进而可以解决问题． 【解答】解：方法一：点和点关于直线对称， ， ， ， ， ， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 方法二：如图，连接， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 设， 则， 设， 则， 由勾股定理得，， ， ， ， ． 故答案为：． 11．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 　或　． 【分析】作于，根据定义规定分别得出或这两种情况，再分别根据全等和相似计算即可． 【解答】解：如图，，， ， 作于，设，， ①当时， ， ， ， ， ， ， ，设， ， ， ， 即． ②当时， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：或． 12．阅读：对于线段与点（点与不在同一直线上），如果同一平面内点满足：射线与线段交于点，且，那么称点为点关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，，点在边上，且，联结．设点是点关于线段的“准射点”，且点在矩形的内部或边上，如果点与点之间距离为，那么的取值范围为 　　． 【分析】设交于点，根据点是点关于线段的“准射点”，可得，所以，过点作交，于点，，根据平行线分线段成比例定理可得，，所以点在线段上，连接，根据勾股定理求出的长，可得点在上时与点重合，此时的长即为的最大值，过点作于点，根据三角形面积求出的长，此时的长即为的最小值，进而可得的取值范围． 【解答】解：如图，设交于点， 点是点关于线段的“准射点”， ， ， 过点作交，于点，， ，， 点在线段上， 连接， ，， ， 过点作于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 点在矩形的内部或边上，点与点之间距离为， 的取值范围为． 故答案为：． 13．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点、，，则　5　． 【分析】根据平分，可得，根据平分的外角，可得，进而可得结果． 【解答】解：平分， ， ， ，① 平分的外角， ， ， ，② ①②得， ． 故答案为：5． 14．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线、直线、直线上，则等边三角形的边长是 　　． 【分析】过点作直线于，将绕点逆时针旋转得到，作直线于交直线于．想办法求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作直线于，将绕点逆时针旋转得到，作直线于交直线于． 则有，，， ， ，，， ． 等边的边长为． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为 　　． 【分析】解法一：分别以，为直角边作等腰和等腰，判定，即可得到的长； 解法二：过作于，过作于，交于，判定，即可得出，设，则，，，再根据，即可得到的值，进而得到的长． 【解答】解法一：如图，分别以，为直角边作等腰和等腰， 依题意得， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）， 的长为， 故答案为：． 解法二：如图，过作于，过作于，交于，则，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 设，则，，， 中，于， ， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 16．如图，中，，，．四边形是正方形，点是直线上一点，且．是线段上一点，且．过点作直线与平行，分别交，于点，，则的长是 　或　． 【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点的位置要进行分类讨论． 【解答】解：中，，，， ，， ， 为直角三角形， ①当点位于点左侧时，如图： 设直线交于点， ， ，， 又四边形是正方形，且， ，， 即， 解得：， ，， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当点位于点右侧时，如图： 与①同理，此时， ， 解得：， 综上，的长为或， 故答案为：或． 17．如图，在矩形中，、、分别是边、、上点，且，，与交于点，若，则　　． 【分析】由题意得：，设，则，设，则，根据条件可得，可得，又因为，可得，根据勾股定理可得，，由即可求解． 【解答】解：由题意得：， 设，则， 设，则， ，且四边形为矩形， ，，， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ． 18．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 　　． 【分析】过点作交延长线于点，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例的，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 19．如图，在边长为10的正方形中，内接有六个大小相同的正方形，点，，，是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 　　． 【分析】过点作，垂足为，可以得到，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到和，根据勾股定理可求的长． 【解答】解：过作于，如图所示， 在和中，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 每个小正方形的边长为． 故答案为：． 20．如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则　　． 【分析】延长到，使得，连接．证明，再证明，，可得结论． 【解答】解：延长到，使得，连接． ， ， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 故答案为：． 21．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为　　． 【分析】如图，过点作于．首先证明，设，，根据，构建方程求解即可． 【解答】解：如图，过点作于． 在中，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，设，，， ， ， ， ，， ， ， 解法二：过做，利用平行线等分线段解决问题． 故答案为． 22．如果直线把分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线叫做的“完美分割线”，已知在中，，的一条“完美分割线”为直线，且直线平行于，若，则的长等于 　　． 【分析】设直线与、分别交于点、，由“完美分割线”的定义可知，，设，证，可求的值，进一步可求出的长． 【解答】解：如图，设直线与、分别交于点、， 则由“完美分割线”的定义可知，， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ． 23．在中，，，，是边上的一点，是边上的一点、与端点不重合），如果与相似，那么的长是　或　． 【分析】分类讨论：当，如图1，则，，证明即可解决问题；当，如图2，则，，接着证明，利用面积法可计算出；当，如图3，，，证明为斜边上的中线，则． 【解答】解：，，， ， 当，如图1，则，， 为等腰三角形， ， ， ， ， 当，如图2，则，， 而， ， ， ， 当，如图3，，， ， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为或． 24．已知，在中，，，则的面积是　　． 【分析】作于，在上截取一点，使得．利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出即可解决问题； 【解答】解：作于，在上截取一点，使得． ，， ， ， ，设， 由， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为． 25．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 　或或或．　（写出所有符合条件的情况） 【分析】分为是等腰三角形，与相似及是等腰三角形，与相似；当是等腰三角形时，又分为和两种；当是等腰三角形时，也分为和两种进行讨论． 【解答】解：若是等腰三角形，与相似， 如图1， 当，时， ， ， 如图2， 当，时， ， ， 当是等腰三角形，与相似时， 如图3， 当，时， ， ， 如图4， 当，时， ， 设， ， ， ， ， 综上所述：或或或， 故答案为或或或． 26．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 　　． 【分析】取中点，连接，过点作于，于，设，由三角形中位线定理可得，，，通过证明四边形是正方形，可得，，通过证明，可得，可求的长，在中，利用勾股定理可求的长，即可求解． 【解答】解：如图，取中点，连接，过点作于，于， 设， ，， 点为中点，点为中点，， ，，， ， ， ，， ，， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 27．如图在中，为上的一点，为上的一点，的延长线交于点，已知，，为不小于2的整数），则的值是　　． 【分析】过点作交于点，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【解答】解：过点作交于点 ， ． 三．解答题（共33小题） 28．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出长即可； （2）根据与相似，可以求出和的长，过作交于，根据平行线分线段成比例及可求出； （3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可以得出也是等腰三角形，所以，然后根据平行线分线段成比例求解即可． 【解答】解：（1），平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 同理，， ， ． 另外，时，作中垂线交于点，同理可证得．此时． 29．如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，求得，然后证明，即可得到结论； （2）由，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）于点， ， 点是的中点， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 点是的中点， ， ， ． 30．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）根据，可得，根据．证明，进而可以解决问题； （2）由，可得，所以，再由，可得，由，得，进而可得结论． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 31．如图，已知中，，，点在边上（点与点、不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点． （1）如果，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）由得到，然后由得到，进而利用，得到，然后得证，从而得到的长； （2）分类讨论，①，②，③，然后利用相似三角形的性质进行求解． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ，， ， ， ， ． （2）①如图1，当时，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ②如图2，当时，， ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：或（舍， ， ③如图3，当时，， ，， ， ， ， ，矛盾，舍去， 综上所述，的长为5或． 32．已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． （1）如图①，若四边形是矩形，且．求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形．试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论． 【分析】（1）根据矩形性质得出，求出，证出即可得结论； （2）当时，成立，证，得出，证，得出，即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图（1），四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）当时，成立． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即当时，成立． 33．已知在正方形中，对角线，点、分别在边、上，． （1）如图，如果，求线段的长； （2）过点作，垂足为点，与交于点． ①求证：； ②设的中点为点，如果，求的值． 【分析】（1）可推出是等边三角形，从而，设，从而表示出和，进一步得出结果； （2）①延长，交于，作，可证得，进而得出，根据得出，从而得出； ②当时，延长交于，作于，作的垂直平分线，交于，，则，由得，即，从而，设，则，在中，由勾股定理得，，从而得出，从而，进而得出，进一步得出结果，同样得出当时的结果． 【解答】（1）解：如图1， 连接， 四边形是正方形，， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， ，（舍去）， ； （2）①证明：如图2， 延长，交于，作， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图3， 当时， 延长交于，作于，作的垂直平分线，交于， ， 设，则， 由上可知：， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4， 当时， 同理可得： ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 34．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，． （1）若于点，且，求证：四边形是菱形； （2）若，求的值； （3）设、、四边形的面积分别为、、，求证： ． 【分析】（1）根据，，可得四边形是平行四边形，然后证明是的垂直平分线，可得，证明，进而可以解决问题； （2）证明，可得，证明，可得，所以，然后根据，即可解决问题； （3）设的边上的高为，长为，的边上的高为，由，可得，得，然后根据三角形的面积即可解决问题． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （3）证明：设的边上的高为，长为，的边上的高为， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 35．在中，，于点，点为的中点，与交于点，点在上． （1）如图1，，，求证：． （2）如图2，，，求的值． 【分析】（1）根据同角的余角相等得出，根据及点为的中点，得出，再利用证明，即可得出； （2）作于，于，先证明四边形是矩形，得出，则，再由两角对应相等的两三角形相似证明，得出，然后在中，根据正弦函数的定义得出，在中，根据余弦函数的定义得出，又，进而求出的值． 【解答】（1）证明：如图1， 在中，，于点， ． ， ， 点为的中点， ， ． 在与中， ， ， ，即； （2）解：如图2，作于，于， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ． ，， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， ． 点为的中点， ， ． 36．已知，射线是的平分线，点是射线上的一个动点，射线交射线于点． （1）如图，若射线绕点顺时针旋转后与射线交于，求证：； （2）在（1）的条件下，若点是与的交点，且满足，求：与的面积之比； （3）当时，射线绕点顺时针旋转后与直线交于点（点不与点重合），直线交射线于点，且满足．请求出的长． 【分析】（1）可以把求证的问题转化为证明即可； （2）首先证明，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解； （3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况进行讨论，作的垂线，利用三角函数即可求解． 【解答】（1）证明：作于，作于，（1分） 平分， ，（2分） ， ，（3分） 又， ， ，（4分） ；（5分） （2）由（1）得：，， ，（6分） ，平分， ，（7分） ，（8分） 又， ，（9分） ， 与的面积之比为；（10分） （3）①当点在射线上时（如图乙， ， 易求得：， ，而， ， 作于， ，， ，，， ， ， ，（12分） ②当点在射线的反向延长线上时（如图乙， ， 此时， ，而， ， 作于， ，， ，，， ， ， ，（14分） 综上所述，当时，． 37．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点 移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒 （1）当为何值时，平分四边形的面积？ （2）当为何值时，？ （3）当为何值时，？ （4）当为何值时，是等腰三角形？ 【分析】点的坐标是，点的坐标是，则一定有．则四边形是直角梯形． （1）平分四边形的面积，则四边形的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于的方程，即可求解； （2）时，，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得的值； （3）当时，四边形是平行四边形，即，据此即可求解； （4）当时，作于，则，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，，， 梯形的面积 当平分四边形的面积时 解得 即当时，平分四边形的面积（3分） （2）当时，作于点，易证 ， 解得： 即：当时，．（6分） （3）当时， 解得 即当时，（9分） （4）当时，作于 则 时， 解得（不合题意，舍去） 当时 解得 ． 综上所述：当或或或时，是等腰三角形． 38．将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得△，即如图①，我们将这种变换记为，． （1）如图①，对作变换，得△，则　　；直线与直线所夹的锐角为　 　度； （2）如图②，中，，，对 作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值； （3）如图③，中，，，，对作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值． 【分析】（1）由旋转与相似的性质，即可得，然后由与△中，，，可得，即可求得直线与直线所夹的锐角的度数； （2）由四边形是矩形，可得，然后由，即可求得的度数，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值； （3）由四边形是平行四边形，易求得，又由△，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：△， ，， ， ； 故答案为：，60； （2）四边形是矩形， ． ． 在中，，， ， ； （3）四边形是平行四边形， ， 又， ． ，而， △， ， ， 而，， ， ， ， ． 39．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长； （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）连接，当与相似时，求线段的长． 【分析】（1）由已知条件证明即可求出的长； （2）过点作，垂足为点，利用矩形的性质和等腰三角形的性质证明，即可得到与之间的函数关系式； （3）首先证明，当与相似时，再分和两种情况求出满足题意的的值即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作，垂足为点， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ； （3）， ， ， ， ， ， 当与相似时， （ⅰ）若， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，，， ； （ⅱ）若，如所示，设与交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， 综上所述，线段的长为或1时与相似． 40．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与、重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设，； ①求关于的函数解析式及定义域； ②当为何值时，？ 【分析】（1）由与都是等边三角形，可得，即可得，根据有两个角对应相等的三角形相似，可得； （2）①根据相似三角形的对应边成比例，可得，代入数值，化简即可得； ②由有两个角对应相等的三角形相似，可得，由相似三角形的对应边成比例与相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得比例式，列方程即可求得． 【解答】解：（1）证明：与都是等边三角形， ， ， ， ． （2）①解：， ， ，设，， ， ． ②解：解法一：与都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， 当或时，． 解法二：与都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ． 过点作于点， ， ， ，， 当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，， 综上所述，当或时，． 41．梯形中，，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，． （1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系； （2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围； （3）若，试用的代数式表示． 【分析】（1）是的外角，根据外角等于不相邻的两个内角之和易得； （2）当时，与的数量关系显然会改变．根据三角形内角和定理得新的关系； （3）分两种情形分别求解．①当点在线段上时，根据得关系求解；②当点在线段的延长线上时，根据得关系求解． 【解答】（1） 证明：，又， ， ， （2）会改变，当点在延长线上时，即时 与的数量关系不同于（1）的数量关系． 解：，， ， ， ． （3）①当点在线段上时， ，， ， ， 即，． ②当点在线段的延长线上时， 可得， ， 作． ，， ． 作，由得， ， 于是 即 亦即． 42．如图， 在中，，，、分别是边、上的两个动点不与、重合） ，且保持，以为边， 在点的异侧作正方形． （1） 试求的面积； （2） 当边与重合时， 求正方形的边长； （3） 设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式， 并写出定义域； （4） 当是等腰三角形时， 请直接写出的长 ． 【分析】（1） 作底边上的高， 利用勾股定理求出高就可以求出面积 ． （2） 根据，得到，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边的长度 ． （3） 可以分为正方形在三角形内部和不全在内部两种情况求解， 全在内部时， 利用三角形相似得，求出，再求重叠部分正方形的面积， 不全在内部时先求出长，再利用，求出宽 ． （4） 当是等腰三角形时， 分，，三种情况写出的长 ． 【解答】解： （1） 过作于， ，， ， ， ． （2） 令此时正方形的边长为， ， ， ． （3） 当时， 由得，解得， 当时， 正方形全部在三角形内部， 由得：，， ， 当时，． （4） 当是等腰三角形时， 设，当， 此时正方形不全部在三角形内部， ， 由 （3） 可知， 由此即可求出； 当时， 求出； 当，求出； 故． 43．已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点． （1）如图，当点在射线上时， ①求证：． ②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接，当与相似时，求的长． 【分析】（1）①过点作，，垂足分别为、，由已知条件证明即可证明；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出与的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可； （2）当与相似时，点的位置有两种情况：①当点在射线上时，②当点在延长线上时，分别讨论求出满足题意的长即可． 【解答】（1） ①证明：过点作，，垂足分别为、． 是的平分线， ． 由，得． ． ， ． ． ． ②解： ， ． ， ． ． ， ， ． ． ． （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ，， ． ． ． 在中，． ②当点在延长线上时， ，， ． ，，， ． 易证，可得． ． ． 易证， 可得． ， ． ． ． 44．如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线，与折线的交点为．点运动的时间为（秒． （1）当时，求线段的长； （2）点在线段上运动时，是否可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若的面积为，请求出关于的函数关系式及自变量的取值范围． 【分析】（1）利用直线平行得出，再利用对应边的比值相等求出即可； （2）点在线段上运动时，以、、为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出； （3）分当时与当时，进行讨论得出符合要求的答案． 【解答】解：（1）， ． ． 即， ． （2）根据题意可得当时，以、、为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况： ①当时，点与点重合， 此时，即，， ②当时，如备用图1， 此时，， 由（1）知，， 而， ， ； ③当时， 可得时，， 可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形， 此时， 综上所述，或或4； （3）如图1，当时，点在线段上，设直线交于点 由（1）可得． 即， ． ． ， 即， 当时，如图3，过点作交于点，交于点． ． 由题意得，． ， ， ， ． 四边形为矩形． ．， ， ， 即， 综上所述， 或． 45．在中，，，是边的中点，交于点．动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点出发沿射线运动，且始终保持．设运动时间为秒． （1）与相似吗？以图1为例说明理由； （2）若，厘米． ①求动点的运动速度； ②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式． 【分析】（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似； （2）①若，根据，求得的长，即一分钟移动的距离，即的速度； ②分别用时间表示出，的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式． 【解答】解：（1）相似． 证明：交于点，， ， 即， ， 与中，，， ， ， ； （2）①在直角中，，厘米， 则，． 由为中点，得， 若． 在中，，， ， ， ， 即， 则求动点的运动速度是每秒钟． ②， ， 则当时，的面积为：， 当时，． 则的面积为：． 46．在平面直角坐标系中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点．点为直线上一点，反比例函数的图象过点与直线相交于点． （1）若点与点重合，求的值； （2）连接、、．若，且的面积为的面积的2倍，求点的坐标； （3）是否存在点及轴上的点，使得以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据反比例函数中进行解答即可； （2）当时，点、分别在点的右侧和上方，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，和相交于点，则四边形为矩形，再求出，根据即可求出的值，进而求出点坐标； （3）①当时，只可能是，作轴于，由可求出的值，再在中，由勾股定理得，，求出的值，进而可得出点坐标； ②当时，只可能是，作轴于，得，，可求出的值，再在中，由勾股定理得，，求出的值，进而可得出点坐标． 【解答】解：（1）若点与点重合，则； （2）当时，如图1， 点、分别在点的右侧和上方，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，和相交于点，则四边形为矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得或， 时，、重合， ， 点坐标为：； （3）存在点及轴上的点，使得， ①当时，如图2，只可能是，作轴于． ，， ， ， ，，， ，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，此时点坐标为，， ②当时，如图3， 只可能是，作轴于，得，， ，，， ，， 在中，由勾股定理得，， ，解得或0，但不符合题意， ． 此时点坐标为，， 符合条件的点坐标为，，． 47．如图，已知在中，，，以点为圆心，线段长为半径的弧交边于点，且，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点．设，． （1）求的长； （2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当时，求的值． 【分析】（1）由，，易得：，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长； （2）由与，，可证得：，则可求得：；作辅助线：作，垂足为点，即可证得：，又由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得关于的函数解析式； （3）首先求得，然后作，垂足为点，即可求得与的值，由勾股定理即可求得的值． 【解答】解：（1），， ， ， ，， ； （2）， ． ，， ． ． ， 作，垂足为点． ． 作，垂足为点，可得． ，即． ，． 又 ，即， 整理，得． 定义域为． （3） ，， ． ，， ． ． 作，垂足为点，可得，． ． 解得， ． 解得， 即． 48．如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且 （1）设，，求与之间的函数关系式； （2）在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明） （3）改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 【分析】（1）可以证明，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解； （2）当时，与的关系式仍然成立，可以首先证明且，即可证明，根据相似三角形对应边的比相等即可证明． 【解答】（1）是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ；（5分） （2）3对； ，，；（7分） （3）当时，与的关系式仍然成立． ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ．（12分） 49．直角三角板中，，．将其绕直角顶点逆时针旋转一个角且，得到△， （1）如图，当边经过点时，求旋转角的度数； （2）在三角板旋转的过程中，边与所在直线交于点，过点作交边于点，连接． ①当时，设，，求与之间的函数解析式及定义域； ②当时，求的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得出； （2）①当时，点在边上（如图）．根据平行线分线段成比例知、及由旋转性质可知，，，由此证明；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及求得； ②先求得的面积，再由，求得，分情况讨论：当点在边上时，，；当点在的延长线上时，，． 【解答】解：（1）在中，， ．（1分） 由旋转可知：，， △为等边三角形．（2分） ．（1分） （2）①当时，点在边上（如图）． ， ．（1分） 由旋转性质可知，，，． ，（1分） ． ；（1分） ． ．（1分） （2分） ②当时，点在边上． ，， ， ， 由旋转性质可知，，，． ， ， ， ，又， ． 此时，． 当时，． 整理，得． 解得，即．（2分） 当时，点在的延长线上（如图）． 仍设，则，，． 当时，． 整理，得． 解得，（负值，舍去）． 即．（2分） 综上所述：或． 50．如图，在中，，，，是边上的高，点、分别是边和边上的动点，且． （1）求的值； （2）连接，设点与点间的距离为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）设直线与直线相交于点，能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）首先由勾股定理求出和，再利用三角形相似就可以求出结论． （2）由条件把、用含的式子表示出来，由勾股定理把表示出来，再根据（1）的结论把、用含的式子表示出来，根据直角三角形的面积公式就可以求出的表达式． （3）如图，根据线段的数量关系和勾股定理就可以求出的值． 【解答】解：（1）， ， 是边上的高， ， ， ， ， （2）由，得， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， （3）如图，得： ①在等腰中，， ， 、、、四点共圆， ， 又 ，， 解得， ； ②若， ， 为中点 ， ，， ． 能成为等腰三角形，的长为或． 51．如图，已知，，，点是射线上的一个动点（点与点不重合），点是线段上的一个动点（点与点、不重合），连接，过点作的垂线，交射线于点，连接．设，． （1）当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域； （2）在（1）的条件下，取线段的中点，连接，若，求的长； （3）如果动点、在运动时，始终满足条件，那么请探究：的周长是否随着动点、的运动而发生变化？请说明理由． 【分析】（1）由，得出其对应边成比例，进而可得出与的关系式； （2）可过点作于，求出的值，即的值，进而可求解的值； （3）的周长为一定值，由于题中满足条件，且，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变． 【解答】解：（1）由题中条件可得， ， ，，， ， ， ； （2）， ， 又， ， 过点作于，则， 中，， ，即， 解得：， ； （3）的周长不变．理由如下： ，， 设，则， ， 即， ， 由（1）知：， 的周长不变． 52．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片，△． （1）将，△如图②摆放，使点与重合，点在边的延长线上，连接交于点．求证：． （2）若将，△如图③摆放，使点与重合，点在边的延长线上，连接交于点，试判断与是否相等，并说明理由． （3）写出问题（2）中与△相似的三角形． 【分析】（1）由题意，知△，根据矩形的性质及全等三角形的性质，可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及相互间的等量关系即可得出； （2）由题意，知△，根据矩形的性质及全等三角形的性质，及相互间的等量关系即可得出； （3）根据相似三角形的判定即可得出． 【解答】（1）证明：由题意，知△， ，，，． ．（1分） ． 四边形是平行四边形．（2分） ． ．（3分） ， ．（4分） （2）解：．（5分） 理由如下：由题意，知△， ，，，． ，．（6分） ， ．（7分） ，， ．（8分） ， ．（9分） （3）解：△，（10分） △，．（11分）（写对一个不得分） 53．如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线，与线段的交点为，与折线的交点为．点运动的时间为（秒． （1）当时，求线段的长； （2）当时，如果以、、为顶点的三角形为直角三角形，求的值； （3）当时，连接交线段于点．请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）过点作于，则四边形为矩形，易知，，利用平行线分线段成比例定理的推论可知，那么可得比例线段，从而求出； （2）由于为锐角，故有两种情况： ①当时，点与点重合，可得，从而可求；②当时，如备用图1，容易证出，再利用比例线段，结合，可求； （3）为定值．当时，如备用图2，先证明四边形为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得，再利用比例线段可求． 【解答】解：（1）过点作于，则四边形为矩形． ，， 此时，， ， 即， ； （2）为锐角，故有两种情况： ①当时，点与点重合， 此时，即，，在内， ②当时，如备用图1， 此时，， 由（1）知，， 而， ， ，在内； 综上所述，或； （3）为定值． 当时，如备用图2，， 由（1）得，， ， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， ． 54．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、分别与直线相交于、． （1）四边形的形状是　矩形　，当时，的值是　 　； （2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积； （3）在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点和点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当时，就是长与宽的比； （2）①利用相似三角形求得的比，就可求得，的值； ②根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式进行计算． （3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得坐标． 【解答】解：（1）图1，四边形的形状是矩形；根据题意，即是矩形的长与宽的比，则． （2）①图，， △． ，即， ，． 同理△△， ，即， ，． ， ； ②图3，在和△中， ， △． ．设， 在中，， 解得． ． （3）存在这样的点和点，使． 点的坐标是，，，． 【对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求】 过点画于，连接，则， ，，． 设，，， 如图4，当点在点左侧时， ， 在中，， 解得，（不符实际，舍去）． ， ，． 如图5，当点在点右侧时， ，． 在中，，解得． ， ，， 综上可知，存在点，，，，使． 55．如图，在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． （1）求的值； （2）若为轴上的点，且，求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出、长度，根据勾股定理求得长，那么就能求得的值． （2）易得到点的坐标为，还需求得点的坐标，之间的距离是一定的，那么点的坐标可能在点的左边，也有可能在点的右边．根据所给的面积可求得点的坐标，把、代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形． （3）根据菱形的性质，分与是邻边并且点在射线上与射线上两种情况，以及与分别是对角线的情况分别进行求解计算． 【解答】解：（1）解，得，． ，． 在中，由勾股定理有， ． （2）点在轴上，，即， 解得．，或，． 由已知可知，设， 当，时有， 解得． ． 同理，时，． 在中，，，； 在中，，，； ， ． （3）根据计算的数据，， 平分， ①、是邻边，点在射线上时，， 所以点与重合， 即， ②、是邻边，点在射线上时，应在直线上，且垂直平分， 点． ③是对角线时，做垂直平分线，解析式为，直线过，，且值为（平面内互相垂直的两条直线值乘积为， 解析式为，联立直线与直线求交点， ，， ④是对角线时，过做垂线，垂足为，根据等积法求出，勾股定理得出，，做关于的对称点即为，，过做轴垂线，垂足为，， ，． 综上所述，满足条件的点有四个：；； ，；，． 56．如图1，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接． （1）变化时，设．若用表示和，那么　　，　 　； （2）若，且与相似，求相应长； （3）如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 【分析】（1）根据三角形内角与外角的关系可以用表示和； （2）与相似，根据题意知，可分三种情况讨论并求出相应长； （3）共三对、、．以为例说明：由于是的外角，可得出；由于、、分别为、、的角平分线，不难得出，由此可得出，即可证得；即，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的两三角形相似． 【解答】解：（1），． （2）与相似，根据题意知，所以本题分三种情况： ①若，如图1，易证，则为等腰直角三角形，． ②，如图2，推出，，，，，． ③，如图3，同2，推出中，，，． （3）写出：，，． 证明其中一个三角形与相似．如：． 证明：平分，． 同理可得出，． ， ， ； ， ； ． 又， ． 57．如图，正方形的边长为8厘米，动点从点出发沿边由向以1厘米秒的速度匀速移动（点不与点、重合），动点从点出发沿折线以2厘米秒的速度匀速移动，点、同时出发，当点停止运动，点也随之停止．连接，交于点．设点运动时间为秒． （1）当点在线段上运动时，点出发多少时间后，和相等； （2）当点在线段上运动时，求证：的面积是的面积的2倍； （3）设的面积为，试求出关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 【分析】（1）当和相等时，三角形和全等，那么，可以根据，的速度，用时间表示出，的长，进而求出的值． （2）因为的速度是的2倍，因此．过点作，垂足为，交于点，作，垂足为．由于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出，因此根据三角形的面积公式即可得出三角形的面积是三角形面积的2倍． （3）要分三种情况进行讨论 ①当在上时，求三角形的面积关键是求边上的高，也就是的长，由于，可通过求得出的值，根据相似三角形和可得出关于，，，的比例关系，可用表示出，进而根据比例关系式得出即的长，也就能得出关于，的函数关系式了． ②当与重合时，可直接求出三角形的面积，根据（2）的结果求出三角形的面积． ③当在上时，关键还是求边上的高，过点作，垂足为，可知，设垂足为，那么可参照②求的方法求出，然后根据三角形的面积公式即可得出，的函数关系式． 【解答】解： （1）四边形是正方形． ． 当时，，． ． ． 即． 解得． 即点出发秒后，． （2）当点在线段上运动时，如图1，过点作，垂足为，交于点，作，垂足为．，，． ． ，． ，． 所以． （3）①当时，点在边上运动． 四边形是正方形． ． ，． ． ． 解得． 即． ． 即． ②当时，点与点重合．此时． ③当时，点在边上运动．如图2，过点作，垂足为，可知． 设垂足为． ． ，， ． ． ． 解得． ． 即． 综上所述，关于的函数解析式为；；． 58．如图，在中，，点为中点，以为坐标原点，轴与平行，轴与平行，建立直角坐标系，与轴交于点，与轴交于点．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点处，绕点旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线、射线于点、． （1）证明：； （2）若，．设点的横坐标为，长为．当点在边上运动时，求与的函数关系式及定义域； （3）若，．当的面积为时，试求的长． 【分析】（1）根据，，即可得出； （2）根据，求出纵坐标，设，，根据，得出，，由相似得，，得出和，即可求出，从而得出和点的坐标，最后求出与的函数关系式及定义域； （3）根据，得出和，再根据，，得出的值，最后根据，得出的值，即可求出的长； 【解答】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， 纵坐标是， ，， 是中点， ， ， ， 由上面相似得， ， ， ， ， ，， ， （3）解：， ， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 当时，； 当时，． 59．如图所示，已知边长为3的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线，交直线于点，， （1）写出图中与相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （4）若，试求的面积． 【分析】（1）根据与都是正三角形，所以它们的内角都是，相等，再结合平角等于，可以找出另外的相关的两个角的和等于，然后即可确定出图中所有相似的三角形； （2）只要证明另外和等于的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似； （3）因为点的位置以及的长度都不确定，所以分点在线段上且点都在线段上；点在线段上，点在内；当点在线段的延长线上，三种情况进行讨论； （4），而点的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，在线段上，则是边长为1的正三角形；在射线上，则是有一个角是的直角，分别求出两直角边，面积可求． 【解答】解：（1）；（3分） 证明：（2）在与中， ， ，（1分） ， ， ，（1分） ；（1分） 解：（3）当点在线段上，点、在线段上时，如图， ， ， 即：， ， 同理可证； ， 即：， ， ， ， ； 当点在线段上，点在内时，如备用图一， 同上可得：，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如备用图二， ，， ， ， ； 综上所述：， 或； （4）当时，是边长为1等边三角形， ；（1分） 当时，是有一个角为的△， ， ，， ． 60．如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． （1）如设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当的面积是的面积的2倍时，求的长； （3）点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 【分析】（1）作，在直角中，利用勾股定理即可得到关于，的方程，即可写出函数关系式； （2）证明，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解； （3）由，易证得，即可得和不可能互相垂直． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，，（1分） 作于（1分） ，， ，，， ，；（1分） （2）， ，， ， ，（2分） ，， ，（1分） ， ，（1分） ， ，（1分） （舍，， 的长为； （3）， ， ， 是等边三角形， ， 和不可能互相垂直．（2分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$