专题 第24章相似三角形章末复习易错60题（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第24章 相似三角形 章末复习易错60题 一．选择题（共21小题） 1．如图，在中，，且，平分交于，，．①；②；③；④．则下列结论正确的是　　 A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①③ 【分析】根据已知条件可证，得出．根据等量关系及等腰三角形的性质得到．根据同位角相等，证明．证明，根据相似三角形的性质得出． 【解答】解：①平分 ， ， ， ， ， ， ， ，故本选项正确； ②， ， ， ， ， ， ，故本选项正确； ③， ， 易知：， ， 易证：， ， ，， ， ， ， ， ，故本选项正确； ④易证， ，故本选项正确； 故选：． 2．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，，则的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，延长交于点，根据同角的余角相等求出，利用两角对应相等的两三角形相似证明，再由相似三角形对应边成比例可得，然后在中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【解答】解： 法一：如图，过点作于点，延长交于点． 在矩形中，， ，， ， 又， ， ，即， ． 在中，， ． 法二：记与交于，与交于， ，， （平行线分线段成比例定理）， ， ． 故选：． 3．如图，在中，，．在内依次作，，．则等于　　 A． B． C． D． 【分析】依次判定，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出的长度． 【解答】解：， ， 又， ， 同理可得：， ，，，， ， ， 解得：，，． 故选：． 4．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】在和中，由，可得出，根据相似三角形的性质，得，从而可选出答案． 【解答】解：，， ， ． 故选：． 5．如果平行四边形对角线与交于，，那么下列向量中与向量相等的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质可知，则，则，依此即可作答． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ． ． 故选：． 6．在矩形中，，，则向量的长度为　　 A．4 B． C．或 D． 【分析】首先求得的模，然后由：向量的长度，即可求得向量的长度． 【解答】解：在矩形中，，， ， 向量的长度． 故选：． 7．如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，易证，利用相似比，可求出、面积比，再求出． 【解答】解：被截成三等分， ， ， 故选：． 8．如图，在内有边长分别为，，的三个正方形，则，，满足的关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】因为内有边长分别为、、的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与、、关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论． 【解答】解： ，； 又，，； ，； ， ， ． 故选：． 9．如图，在平行四边形中，如果，，那么等于　　 A． B． C． D． 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 故选：． 10．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据相似三角形的判定定理求出，再根据其对应边成比例解答即可． 【解答】解：在中，，， ，．故选：． 11．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两腰长为12，16，则剪出的小三角形是　　 A． B． C． D． 【分析】由于剪掉的小三角形与原三角形相似，由此可根据相似三角形的对应线段成比例求出小三角形的各边的边长． 【解答】解：如图，，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故选：． 12．如图，点、、、、、、、、都是方格纸中的格点，为使，则点应是、、、四点中的　　 A． B． C． D． 【分析】由图形可知的边， ，当时，和是对应边，相似比是，则的对应边是3，则点的对应点是． 【解答】解：根据题意， ，， 应是 故选：． 13．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为　　 A．2 B．3 C．6 D．12 【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【解答】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：． 14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解． 【解答】解： ， 错误． 故选：． 15．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于　　 A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可． 【解答】解：如图，，， ， （两个角对应相等的两个三角形相似）， ， 设，则， 同理，得， ， ， ， ． 故选：． 16．在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有　　 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【分析】过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【解答】解：过点作的垂线，或作的垂线，作的垂线共三条直线，故选． 17．如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得，依据平行线成比例的性质即可得到答案． 【解答】解：、根据对顶角相等，此结论正确； 、根据平行线分线段成比例定理，得，所以此结论错误； 、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确； 、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确． 故选：． 18．在下列命题中，真命题是　　 A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：不正确，不符合相似三角形的判定方法； 不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确； 不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不正确； 正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定； 故选：． 19．如图所示，一张矩形纸片的长，宽，、分别为、的中点，这张纸片沿直线对折后，矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，得，根据比例的基本性质，得．则可求得，故可求． 【解答】解：， ，， 则． 故选：． 20．下列命题中，正确的是　　 A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．所有的矩形都相似 【分析】根据各图形的性质及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【解答】解：不正确：因为没有指明其顶角或底角相等或对应边成比例，不符合相似三角形的判定； 不正确，因为没有说明锐角相等或对应边成比例，不符合相似三角形的判定； 正确，因为其三个角均相等且对应边成比例，符合相似三角形的判定； 不正确，因为正方形也是矩形，但一个正方形无法与一个矩形相似． 故选：． 21．如图，，，，，．若在边上有点使和相似，则这样的点存在的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知分两种情况或来进行分析，求得的长，从而确定存在的个数． 【解答】解：， ，， 设，则； ①若，则 ，解得： ②若，则 ，解得：， 这样的点存在的个数有3个． 故选：． 二．填空题（共25小题） 22．如图，有一所正方形的学校，北门（点和西门（点各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 　90000　平方米． 【分析】延长、相交于，则由于，可得是直角三角形，再根据可得，，再根据相似三角形的相似比解答即可． 【解答】解：延长、相交于， ，可得是直角三角形， 四边形是正方形， ，， 设，则， ，， ， 即， 解得，， ． ． 23．如图，菱形的边长为1，直线过点，交的延长线于，交的延长线于，则　1　． 【分析】根据四边形是菱形得到，从而得到，根据得到，从而得到，代入菱形的边长为1即可求得结论． 【解答】证明：四边形是菱形， ，， ，， ， 又， ． 故答案为：1． 24．设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图②将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；，依此类推，则可表示为　　．（用含的代数式表示，其中为正整数） 【分析】连接，设、交于点，先求出，再根据得出，最后根据，即可求出． 【解答】解：如图，连接，设、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 25．如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，于点，点在上，，连接交于点．若点是的中点，则的值为 　　． 【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示： 第1步：利用角平分线的性质，得到； 第2步：延长，构造一对全等三角形； 第3步：过点作，构造平行四边形．由，得到等腰；然后利用角之间关系证明，从而推出四边形为平行四边形； 第4步：由，列出比例式，求出的值． 【解答】解：已知为角平分线，则点到、的距离相等，设为． ， ． 如图，延长，在的延长线上截取，则有．连接． 在与中， ， ． 过点作，交于点，交于点． ， ， ， ． ，即为等腰三角形， ． 由题意，易知为等腰三角形，且； ， ， 又（对顶角） ， ， 四边形为平行四边形， ． 点为中点，， ． ， ，即， ． 故答案为：． 方法二： 如图，有已知易证， 故，又， 所以，则可证 设，则，， 所以，而，故， 所以，是的中点， 所以． 26．如图，直角三角形中，，，，在线段上取一点，作交于点，现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为，若△△，则　　． 【分析】利用勾股定理列式求出，设，得到，然后求出，再利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后利用勾股定理列式求出，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到的值，从而可得的值． 【解答】解：，，， ， 设， 点为的中点，将沿折叠，点对应点记为，点的对应点为， ， ，，， ， ， 即， 解得， 在△中，， 又，△△， ， ， 即， 解得， 的长为． 故答案为：． 27．如图，是的重心，，，则的长为 　4　． 【分析】延长交于点，是的重心，故为的中线；又，故为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上中线的性质可知，根据重心的性质，． 【解答】解：延长交于点， 是的重心， 为的中线； 又， 为斜边上的中线， ， 是的重心， ． 28．如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点顺时针方向旋转得到，则的面积　12　． 【分析】根据点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点顺时针方向旋转得到，得出，以及，即可得出的面积，进而得出答案． 【解答】解：点是的重心，的延长线交于，， ， 将绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 是直角三角形， 的面积为：， ， ， 的面积为：， 的面积为：12． 故答案为：12． 29．如图，为的重心，若过点且，交、于、，则的值为 　　． 【分析】如果连接并延长，交于点，由三角形的重心的性质可知，则．又，根据相似三角形的判定可知，得出，最后由，得出，从而求出． 【解答】解：如图，连接并延长，交于点． 为的重心， ， ， 过点且， ， ． 又， ， ． 故答案为：． 30．在中，是上的动点异于、，过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过点的的相似线，简记为为自然数）． （1）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，，此外，还有　1　条； （2）如图②，，，当　　时，截得的三角形面积为面积的． 【分析】（1）过点作交于，则，是第3条相似线； （2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏． 【解答】解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图①所示，过点作交于，则； 故答案为：1； （2）设截得的三角形面积为，，则相似比为． 如图②所示，共有4条相似线： ①第1条，此时为斜边中点，，； ②第2条，此时为斜边中点，，； ③第3条，此时与为对应边，且，； ④第4条，此时与为对应边，且，，． 故答案为：或或． 31．在四边形中，如果，那么与相等的向量是　　． 【分析】由，可以得到，，即可证得四边形是平行四边形，则可得到． 【解答】解：， ，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 32．一张等腰三角形纸片，底边长为，底边上的高长．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 　6　张． 【分析】设第张为正方形，如图，，则，从而计算出的值即可． 【解答】解：如图，设第张为正方形， 则，， ， ， 即， 解得． 故答案为：6． 33．如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是　48　． 【分析】利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长． 【解答】解：正方形的边在上， ， ， ． 设， ， ， 解得：， 这个正方形零件的边长是． 故答案为：48． 34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，写出所有符合条件的三角形　△、△、△　． 【分析】设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【解答】解：设网格的边长为1． 则，，． 连接， ，，． ， △． 同理可找到△，和相似． 故答案为：△，，． 35．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端处．已知，．且测得米，米，米．那么该古城墙的高度是　8　米． 【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出，再由得到，得到代入数值求的． 【解答】解：，， 即 解得：米． 36．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是　6　米． 【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答． 【解答】解：设甲的影长是米， ，， ， ， ，，， ， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 所以甲的影长是6米． 37．如图，已知零件的外径为，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，量零件的内孔直径．若，量得，则零件的厚度　2.5　． 【分析】要求零件的厚度，由题可知只需求出即可．因为和平行，可得，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【解答】解：两条尺长和相等， ． 38．如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形△，△，△（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则的面积是　144　． 【分析】根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比． 【解答】解：过作平行线交、于、，过作平行线交、于、，过作平行线交、于、， △1、△2的面积比为，△1、△3的面积比为， 它们边长比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ，， 设为， ， ， ， ． 故答案为：144． 39．如图，中，，直线，交于点，交于点，交于点．若，则　　． 【分析】本题的关键主要是证明，要想证明它就要根据所给的面积比求出相似比，从而求线段比． 【解答】解： ，， ，且 ， ， 又 ，， ，且相似比为， ， ． 40．如图，在中，是边上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么　　． 【分析】可根据向量的加法法则进行计算，． 【解答】解：． 故答案为：． 41．如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么　．　． 【分析】根据向量的三角形法则可知，根据平行线的性质和相似三角形的性质可知，．根据向量的三角形法则可知，代入即可求解． 【解答】解：，． ，． ． 故答案为：． 42．如图，在平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么　　． 【分析】由平行四边形的性质可证，再根据相似三角形的性质得即可解． 【解答】解：是平行四边形， ， ． 故答案为：． 43．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为　　． 【分析】因为阴影部分的面积，根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了． 【解答】解：，三个正方形的边长分别为2、3、5， ，即， ， ， ，即 ， ， 阴影部分的面积． 故答案为： 44．如图，点，，，在射线上，点，，在射线上，且，．若△，△的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为　10.5　． 【分析】已知△，△的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出，由于△与△是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为，根据△的面积为4，可求出△的面积，同理可求出△和△的面积．即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：△，△的面积分别为1，4， 又，， ，， △△， ， ． ，△的面积是4， △的面积为（等高的三角形的面积的比等于底边的比）． 同理可得：△的面积； △的面积． 三个阴影面积之和． 故答案为：10.5． 45．在矩形中，、分别是边、的中点，点、在边上，且．若，，则图中阴影部分的面积为　35　． 【分析】连接，由于分别是上的中点，所以，而四边形是长方形，所以四边形是矩形，再过作，同样也垂直于，再利用，可得相似比，那么可求出，，以及，的长，再利用三角形的面积公式可求出和的面积，用矩形的面积减去的面积减去的面积，即可求阴影部分面积． 【解答】解：连接，过作，交于，交于， ，相似比是， ， 又， ，， ， ，， ． 故答案为：35． 46．如图，在已建立直角坐标系的的正方形方格纸中，是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、、为顶点的三角形与相似点除外），则格点的坐标是　或或　． 【分析】根据题意作图，可以作相似比为的相似三角形，还要注意全等的情况，根据图形即可得有三个满足条件的解． 【解答】解：如图：此时对应或，且相似比为， 故点的坐标为：或； ， 此时的坐标为； 格点的坐标是或或． 三．解答题（共14小题） 47．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：　　，　 　； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【解答】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，，， ，． ． 48．在中，，于点，点为的中点，与交于点，点在上． （1）如图1，，，求证：． （2）如图2，，，求的值． 【分析】（1）根据同角的余角相等得出，根据及点为的中点，得出，再利用证明，即可得出； （2）作于，于，先证明四边形是矩形，得出，则，再由两角对应相等的两三角形相似证明，得出，然后在中，根据正弦函数的定义得出，在中，根据余弦函数的定义得出，又，进而求出的值． 【解答】（1）证明：如图1， 在中，，于点， ． ， ， 点为的中点， ， ． 在与中， ， ， ，即； （2）解：如图2，作于，于， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ． ，， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， ． 点为的中点， ， ． 49．已知，射线是的平分线，点是射线上的一个动点，射线交射线于点． （1）如图，若射线绕点顺时针旋转后与射线交于，求证：； （2）在（1）的条件下，若点是与的交点，且满足，求：与的面积之比； （3）当时，射线绕点顺时针旋转后与直线交于点（点不与点重合），直线交射线于点，且满足．请求出的长． 【分析】（1）可以把求证的问题转化为证明即可； （2）首先证明，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解； （3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况进行讨论，作的垂线，利用三角函数即可求解． 【解答】（1）证明：作于，作于，（1分） 平分， ，（2分） ， ，（3分） 又， ， ，（4分） ；（5分） （2）由（1）得：，， ，（6分） ，平分， ，（7分） ，（8分） 又， ，（9分） ， 与的面积之比为；（10分） （3）①当点在射线上时（如图乙， ， 易求得：， ，而， ， 作于， ，， ，，， ， ， ，（12分） ②当点在射线的反向延长线上时（如图乙， ， 此时， ，而， ， 作于， ，， ，，， ， ， ，（14分） 综上所述，当时，． 50．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点 移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒 （1）当为何值时，平分四边形的面积？ （2）当为何值时，？ （3）当为何值时，？ （4）当为何值时，是等腰三角形？ 【分析】点的坐标是，点的坐标是，则一定有．则四边形是直角梯形． （1）平分四边形的面积，则四边形的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于的方程，即可求解； （2）时，，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得的值； （3）当时，四边形是平行四边形，即，据此即可求解； （4）当时，作于，则，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，，， 梯形的面积 当平分四边形的面积时 解得 即当时，平分四边形的面积（3分） （2）当时，作于点，易证 ， 解得： 即：当时，．（6分） （3）当时， 解得 即当时，（9分） （4）当时，作于 则 时， 解得（不合题意，舍去） 当时 解得 ． 综上所述：当或或或时，是等腰三角形． 51．将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得△，即如图①，我们将这种变换记为，． （1）如图①，对作变换，得△，则　　；直线与直线所夹的锐角为　 　度； （2）如图②，中，，，对 作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值； （3）如图③，中，，，，对作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值． 【分析】（1）由旋转与相似的性质，即可得，然后由与△中，，，可得，即可求得直线与直线所夹的锐角的度数； （2）由四边形是矩形，可得，然后由，即可求得的度数，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值； （3）由四边形是平行四边形，易求得，又由△，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：△， ，， ， ； 故答案为：，60； （2）四边形是矩形， ． ． 在中，，， ， ； （3）四边形是平行四边形， ， 又， ． ，而， △， ， ， 而，， ， ， ， ． 52．已知：在直角梯形中，，，，．连接，垂足为． （1）求证：； （2）求线段的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，由可知，，由此可得，又，利用“”可证； （2）由等腰三角形的性质可知，，根据，利用相似比求，在中，利用勾股定理求． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，又， ， ， 由， 得， ，， ， ， ． 53．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长； （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）连接，当与相似时，求线段的长． 【分析】（1）由已知条件证明即可求出的长； （2）过点作，垂足为点，利用矩形的性质和等腰三角形的性质证明，即可得到与之间的函数关系式； （3）首先证明，当与相似时，再分和两种情况求出满足题意的的值即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作，垂足为点， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ； （3）， ， ， ， ， ， 当与相似时， （ⅰ）若， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，，， ； （ⅱ）若，如所示，设与交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， 综上所述，线段的长为或1时与相似． 54．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与、重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设，； ①求关于的函数解析式及定义域； ②当为何值时，？ 【分析】（1）由与都是等边三角形，可得，即可得，根据有两个角对应相等的三角形相似，可得； （2）①根据相似三角形的对应边成比例，可得，代入数值，化简即可得； ②由有两个角对应相等的三角形相似，可得，由相似三角形的对应边成比例与相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得比例式，列方程即可求得． 【解答】解：（1）证明：与都是等边三角形， ， ， ， ． （2）①解：， ， ，设，， ， ． ②解：解法一：与都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， 当或时，． 解法二：与都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ． 过点作于点， ， ， ，， 当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，， 综上所述，当或时，． 55．梯形中，，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，． （1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系； （2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围； （3）若，试用的代数式表示． 【分析】（1）是的外角，根据外角等于不相邻的两个内角之和易得； （2）当时，与的数量关系显然会改变．根据三角形内角和定理得新的关系； （3）分两种情形分别求解．①当点在线段上时，根据得关系求解；②当点在线段的延长线上时，根据得关系求解． 【解答】（1） 证明：，又， ， ， （2）会改变，当点在延长线上时，即时 与的数量关系不同于（1）的数量关系． 解：，， ， ， ． （3）①当点在线段上时， ，， ， ， 即，． ②当点在线段的延长线上时， 可得， ， 作． ，， ． 作，由得， ， 于是 即 亦即． 56．如图， 在中，，，、分别是边、上的两个动点不与、重合） ，且保持，以为边， 在点的异侧作正方形． （1） 试求的面积； （2） 当边与重合时， 求正方形的边长； （3） 设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式， 并写出定义域； （4） 当是等腰三角形时， 请直接写出的长 ． 【分析】（1） 作底边上的高， 利用勾股定理求出高就可以求出面积 ． （2） 根据，得到，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边的长度 ． （3） 可以分为正方形在三角形内部和不全在内部两种情况求解， 全在内部时， 利用三角形相似得，求出，再求重叠部分正方形的面积， 不全在内部时先求出长，再利用，求出宽 ． （4） 当是等腰三角形时， 分，，三种情况写出的长 ． 【解答】解： （1） 过作于， ，， ， ， ． （2） 令此时正方形的边长为， ， ， ． （3） 当时， 由得，解得， 当时， 正方形全部在三角形内部， 由得：，， ， 当时，． （4） 当是等腰三角形时， 设，当， 此时正方形不全部在三角形内部， ， 由 （3） 可知， 由此即可求出； 当时， 求出； 当，求出； 故． 57．探究：如图，四边形中，，为的中点，若．求证： 知识应用：如图，坐标平面内有两个点和其中点的坐标为，，点的坐标为，，求的中点的坐标． 知识拓展：在上图中，点的坐标为，点的坐标为，分别在轴和轴上找一点和，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出点和点的坐标． 【分析】【探究】：过点作，交于，交的延长线于点，求证即可； 【知识应用】：分别过、、、三点作轴的垂线，由、的坐标，进而即可求解点的坐标； 【知识拓展】：由于点、的位置不确定，也即可能是平行四边形的边长，亦有可能是其对角线，所以应分几种情况： 即①当是平行四边形一条边，且点在轴的正半轴时，则与互相平分； ②当是平行四边形一条边，且点在轴的负半轴时，又是一种情况； ③当是对角线时，所以应分开来分别求解． 【解答】【探究】证明：过点作，交于，交的延长线于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ； 【知识应用】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 则点的坐标为，，点的坐标为，， 由探究的结论可知，， 点的坐标为，， 点的横坐标为， 同理可求点的纵坐标为， 点的坐标为，． 【知识拓展】 ①当是平行四边形一条边，且点在轴的正半轴时，与互相平分， 设点的坐标为，点的坐标为 由上面的结论可知：，， ，， 此时点的坐标为，点的坐标为， ②同理，当是平行四边形一条边，且点在轴的负半轴时，求得点的坐标为，点的坐标为， ③当是对角线时点的坐标为，点的坐标为． 58．已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点． （1）如图，当点在射线上时， ①求证：． ②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接，当与相似时，求的长． 【分析】（1）①过点作，，垂足分别为、，由已知条件证明即可证明；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出与的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可； （2）当与相似时，点的位置有两种情况：①当点在射线上时，②当点在延长线上时，分别讨论求出满足题意的长即可． 【解答】（1） ①证明：过点作，，垂足分别为、． 是的平分线， ． 由，得． ． ， ． ． ． ②解： ， ． ， ． ． ， ， ． ． ． （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ，， ． ． ． 在中，． ②当点在延长线上时， ，， ． ，，， ． 易证，可得． ． ． 易证， 可得． ， ． ． ． 59．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）连接，当为何值时，？ 【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）因为当、、三点共线时，两点同时停止运动，所以可用表示出此时的，，的长，利用相似三角形的性质即可求出的最大值，进而求出的取值范围； （3）因为利用相似的性质和矩形的性质可证明，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长，时间也可求出了． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）已知如图： ， ， ， ， ， ； （3）， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 秒． 60．如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线，与折线的交点为．点运动的时间为（秒． （1）当时，求线段的长； （2）点在线段上运动时，是否可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若的面积为，请求出关于的函数关系式及自变量的取值范围． 【分析】（1）利用直线平行得出，再利用对应边的比值相等求出即可； （2）点在线段上运动时，以、、为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出； （3）分当时与当时，进行讨论得出符合要求的答案． 【解答】解：（1）， ． ． 即， ． （2）根据题意可得当时，以、、为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况： ①当时，点与点重合， 此时，即，， ②当时，如备用图1， 此时，， 由（1）知，， 而， ， ； ③当时， 可得时，， 可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形， 此时， 综上所述，或或4； （3）如图1，当时，点在线段上，设直线交于点 由（1）可得． 即， ． ． ， 即， 当时，如图3，过点作交于点，交于点． ． 由题意得，． ， ， ， ． 四边形为矩形． ．， ， ， 即， 综上所述， 或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 相似三角形 章末复习易错60题 一．选择题（共21小题） 1．如图，在中，，且，平分交于，，．①；②；③；④．则下列结论正确的是　　 A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①③ 2．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，，则的值等于　　 A． B． C． D． 3．如图，在中，，．在内依次作，，．则等于　　 A． B． C． D． 4．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 5．如果平行四边形对角线与交于，，那么下列向量中与向量相等的是　　 A． B． C． D． 6．在矩形中，，，则向量的长度为　　 A．4 B． C．或 D． 7．如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的　　 A． B． C． D． 8．如图，在内有边长分别为，，的三个正方形，则，，满足的关系式是　　 A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，如果，，那么等于　　 A． B． C． D． 10．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 11．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两腰长为12，16，则剪出的小三角形是　　 A． B． C． D． 12．如图，点、、、、、、、、都是方格纸中的格点，为使，则点应是、、、四点中的　　 A． B． C． D． 13．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为　　 A．2 B．3 C．6 D．12 14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是　　 A． B． C． D． 15．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于　　 A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 16．在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有　　 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 17．如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 18．在下列命题中，真命题是　　 A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 19．如图所示，一张矩形纸片的长，宽，、分别为、的中点，这张纸片沿直线对折后，矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，则等于　　 A． B． C． D． 20．下列命题中，正确的是　　 A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．所有的矩形都相似 21．如图，，，，，．若在边上有点使和相似，则这样的点存在的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共25小题） 22．如图，有一所正方形的学校，北门（点和西门（点各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 　　平方米． 23．如图，菱形的边长为1，直线过点，交的延长线于，交的延长线于，则　　． 24．设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图②将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；，依此类推，则可表示为　　．（用含的代数式表示，其中为正整数） 25．如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，于点，点在上，，连接交于点．若点是的中点，则的值为 　　． 26．如图，直角三角形中，，，，在线段上取一点，作交于点，现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为，若△△，则　 　． 27．如图，是的重心，，，则的长为 　　． 28．如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点顺时针方向旋转得到，则的面积　 　． 29．如图，为的重心，若过点且，交、于、，则的值为 　　． 30．在中，是上的动点异于、，过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过点的的相似线，简记为为自然数）． （1）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，，此外，还有　　条； （2）如图②，，，当　　时，截得的三角形面积为面积的． 31．在四边形中，如果，那么与相等的向量是　 　． 32．一张等腰三角形纸片，底边长为，底边上的高长．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 　　张． 33．如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是　 　． 34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，写出所有符合条件的三角形　 　． 35．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端处．已知，．且测得米，米，米．那么该古城墙的高度是　 　米． 36．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是　　米． 37．如图，已知零件的外径为，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，量零件的内孔直径．若，量得，则零件的厚度　 　． 38．如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形△，△，△（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则的面积是　 　． 39．如图，中，，直线，交于点，交于点，交于点．若，则　 　． 40．如图，在中，是边上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么　　． 41．如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么　　． 42．如图，在平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么　　． 43．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为　　． 44．如图，点，，，在射线上，点，，在射线上，且，．若△，△的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为　 　． 45．在矩形中，、分别是边、的中点，点、在边上，且．若，，则图中阴影部分的面积为　 　． 46．如图，在已建立直角坐标系的的正方形方格纸中，是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、、为顶点的三角形与相似点除外），则格点的坐标是　　． 三．解答题（共14小题） 47．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：　 　，　 　； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 48．在中，，于点，点为的中点，与交于点，点在上． （1）如图1，，，求证：． （2）如图2，，，求的值． 49．已知，射线是的平分线，点是射线上的一个动点，射线交射线于点． （1）如图，若射线绕点顺时针旋转后与射线交于，求证：； （2）在（1）的条件下，若点是与的交点，且满足，求：与的面积之比； （3）当时，射线绕点顺时针旋转后与直线交于点（点不与点重合），直线交射线于点，且满足．请求出的长． 50．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点 移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒 （1）当为何值时，平分四边形的面积？ （2）当为何值时，？ （3）当为何值时，？ （4）当为何值时，是等腰三角形？ 51．将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得△，即如图①，我们将这种变换记为，． （1）如图①，对作变换，得△，则　 　；直线与直线所夹的锐角为　 　度； （2）如图②，中，，，对 作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值； （3）如图③，中，，，，对作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值． 52．已知：在直角梯形中，，，，．连接，垂足为． （1）求证：； （2）求线段的长． 53．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长； （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）连接，当与相似时，求线段的长． 54．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与、重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设，； ①求关于的函数解析式及定义域； ②当为何值时，？ 55．梯形中，，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，． （1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系； （2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围； （3）若，试用的代数式表示． 56．如图， 在中，，，、分别是边、上的两个动点不与、重合） ，且保持，以为边， 在点的异侧作正方形． （1） 试求的面积； （2） 当边与重合时， 求正方形的边长； （3） 设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式， 并写出定义域； （4） 当是等腰三角形时， 请直接写出的长 ． 57．探究：如图，四边形中，，为的中点，若．求证： 知识应用：如图，坐标平面内有两个点和其中点的坐标为，，点的坐标为，，求的中点的坐标． 知识拓展：在上图中，点的坐标为，点的坐标为，分别在轴和轴上找一点和，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出点和点的坐标． 58．已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点． （1）如图，当点在射线上时， ①求证：． ②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接，当与相似时，求的长． 59． 如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）连接，当为何值时，？ 60．如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线，与折线的交点为．点运动的时间为（秒． （1）当时，求线段的长； （2）点在线段上运动时，是否可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若的面积为，请求出关于的函数关系式及自变量的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$