精品解析：福建省福州金山中学2024-2025学年高二上学期第一次限时训练（10月）数学试卷

福州金山中学2024-2025学年第一学期第一次限时训练 高二数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 过点且垂直于直线直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（ ） A. B. C D. 6. 已知点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，三棱锥中，，，两两垂直且长度均为1，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，,沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. (多选)下列四个选项中正确的是（ ） A. 方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B. 直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C. 直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 10. 如图，正方体的棱长为a，以下结论正确的是（ ）. A. B. C. 存在实数，使得 D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C. 已知，若与垂直，则 D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 13. 是直线上的两点，，，且直线与直线成的角，则两点间的距离是____________． 14. 已知点，，若轴上存在一点，使最大，则点的坐标为___________. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 16. 如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点． （1）求异面直线与所成角余弦值； （2）求平面与所成二面角的正弦值． 17. 如图，在正方体中，棱长为1，、分别为、的中点，求下列问题： （1）求到直线的距离； （2）求到面距离. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，． （Ⅰ）求证：直线平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （Ⅲ）设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为，求点M到底面ABCD的距离． 19. 如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州金山中学2024-2025学年第一学期第一次限时训练 高二数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列方程来求得的值. 【详解】依题意， 即，解得. 故选：B 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设其倾斜角为，求得直线的斜率，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率， 设其倾斜角为，可得，所以. 故选：D. 3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 4. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：当直线过原点时，斜率为，由点斜式写出直线的方程；当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点代入方程求解即可. 【详解】当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是． 当直线不过原点时，设直线的方程是：， 把点代入方程得， 所以直线的方程是. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D． 【点睛】本题主要考查直线的方程的求法，还考查了分类讨论的思想方法，属于基础题. 5. 已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在四面体中，分别为的中点，且， 所以 . 故选：C 6. 已知点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，故，，计算得到答案. 【详解】设，即，故， ， 当时，向量数量积有最小值，此时. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 7. 如图所示，三棱锥中，，，两两垂直且长度均为1，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取定空间的一个基底，表示出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在三棱锥中，取空间的一个基底，则， 由，得， 而两两垂直，， 所以. 故选：C 8. 如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，,沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，表示出相应的点的坐标，利用向量夹角公式求解。 【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意可得，，，， ，动点在线段上，则可设， ， 令则 则 当时取最大值 故选： 【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角的余弦值，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. (多选)下列四个选项中正确的是（ ） A. 方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B. 直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C. 直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方程的意义可判断A选项的正误；利用条件求得对应直线的方程，可判断B、C选项的正误；取直线的倾斜角为直角，可判断D选项的正误. 【详解】对于A，方程表示直线上去掉点所形成的两条射线，与方程表示的图形不相同，A故错误； 对于B，直线过点，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于轴，其方程为，故B正确； 对于C，直线过点，斜率为，则其方程为，即，故C正确； 对于D，若直线垂直于轴，则直线的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，正方体的棱长为a，以下结论正确的是（ ）. A. B. C. 存在实数，使得 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标，结合向量的坐标运算公式，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标，如图所示， 因为正方体的棱长为， 可得 对于A中，可得，所以，所以A错误； 对于B中，可得，所以，所以B正确； 对于C中，可得，所以向量与不共线向量， 所以不存在实数，使得，所以C错误； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C. 已知，若与垂直，则 D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论． 【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时， 即使，也不能说明，故A错误； 若，则， 所以，所以四点共面，故B正确； 由题意可得，若与垂直， 则，解得，故C正确； 由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－2,1) 【解析】 【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0， ，故答案为 考点：直线的斜率公式 点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系． 13. 是直线上的两点，，，且直线与直线成的角，则两点间的距离是____________． 【答案】5或 【解析】 【详解】, ,或 或 故答案为或． 14. 已知点，，若轴上存在一点，使最大，则点的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于轴的对称点，则可得，结合图形可得，由图可得当三点共线时，取得最大值，此时点是直线与轴的交点，从而可求得点的坐标 【详解】设点关于轴的对称点，则， ， 所以，当三点共线时，取得最大值， 因为，，所以， 所以直线的方程为，当，得， 所以当最大时，点的坐标为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【小问1详解】 解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. 小问2详解】 如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 16. 如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与所成二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为． （2）设平面的法向量为， ， ，即且， 令，则，是平面的一个法向量， 取平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角的大小为，由， 得，故平面与平面夹角的正弦值为． 17. 如图，在正方体中，棱长为1，、分别为、的中点，求下列问题： （1）求到直线的距离； （2）求到面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式可得结果； （2）在空间直角坐标系中，利用点到平面距离公式可得结果. 【小问1详解】 如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. ，， 则到直线的距离. 小问2详解】 由（1）可得，， 设为面的法向量， 则，即， 取，得平面的一个法向量. 又，得到面的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，． （Ⅰ）求证：直线平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （Ⅲ）设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为，求点M到底面ABCD的距离． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)1或者 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可； (Ⅲ)设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点M到底面ABCD的距离． 【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可知， 由线面垂直的定义可知：，且， 由线面垂直的判定定理可得：直线平面； (Ⅱ)以点A为坐标原点，AD，AP方向为y轴，z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 则直线PB的方向向量，很明显平面PAD的法向量为， 设直线PB与平面PAD所成角为， 则，. (Ⅲ)设，且， 由于， 故：，据此可得：， 即点M的坐标为， 设平面CMB的法向量为：，则： ， 据此可得平面CMB的一个法向量为：， 设平面MBA的法向量为：，则： ， 据此可得平面MBA的一个法向量为：， 二面角的余弦值为，故：， 整理得 ，解得：或. 由点M的坐标易知点M到底面ABCD的距离为1或者. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得外接球半径为2，过P点作，利用各边关系可证为，即可得到平面，进而证得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据面面夹角公式求解即可； （3）设N为，由题意可知，即可解出点N的轨迹方程为，进而求的轨迹的长度. 【小问1详解】 证明：设O为矩形对角线的中点， ∴． 即． ∴O为三棱锥外接球的球心． 又∵三棱锥外接球表面积为， ∴外接球半径为2． 即． 过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F， 则，，，， ∴ 而， 在中，满足 ∴为直角三角形， ∵，， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． 【小问2详解】 以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可知： 且 设平面的法向量为， 得，取，则， 设平面的法向量为， 得，取，则 设平面与平面夹角为， 则 所以平面与平面夹角余弦值为是． 【小问3详解】 由（2）中空间直角坐标系可设N为，，， ， 取平面法向量为． ∵直线与直线与平面所成角相等， ∴ 得： 整理得：，即 ∵N点在边及其内部， ∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分． ∴轨迹长度为半径为1的圆周长为． 得 ∴N点轨迹长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$