河北省唐山市丰南区第一中学2024-2025学年高三上学期10月段考数学试卷

2024-2025上学期丰南一中高三段一考试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（   ） A． B． C． D． 3．命题的否定为（    ） A． B． C． D． 4．“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的部分图象大致为（    ）． A． B． C． D． 6．定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 8.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（   ） A．的图象的一条对称轴是直线 B．当时， C．函数有3个零点 D． 11．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．设函数的3个零点分别是，则的取值范围是 D．存在实数，使函数在内有最小值 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知，则的单调增区间为 ． 13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 . 14．对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 16．设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，． (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式） 17．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 19．已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学段一参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D C D C BC ACD 题号 11 答案 BC 8．由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，，所以只需在上恒成立， 即恒成立．令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有．综上，． 10．【详解】对于A：由于是偶函数，因此可以得到， 用替换可以得到，则的对称轴为，选项A正确； 对于B：当时，显然是一个增函数，此时，因此，选项B错误； 对于C：由于是奇函数，因此可以得到，则，因此，故，因此，则，则4是函数的周期.当时，是一个向下凹的曲线，在的下方，容易知道是两者一个交点的横坐标，由于是的对称轴，因此当时，，由于，因此当时，，而4是函数的周期，因此当时，和无交点.由于，且4是函数的周期，因此，进一步得到，因此，故是奇函数，而也是奇函数，因此当时两者也只有一个交点，显然是它们一个交点的横坐标，故总共有三个交点，即有三个零点，C正确. 对于D：由于，因此，有. 则，D选项正确. 11．【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增， 则，即，所以，所以A错误； 对于B中，令，当时，可得，若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点，则需有两个不等的负实根，则满足，解得，所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确. 对于C中，设函数的3个零点分别是，则，可得， 令，可得， 则在上单调递减，所以， 当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为， 即的取值范围是，所以C正确； 对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数， 故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，所以， 要使函数在内有最小值，即，即，故无解， 所以不存在，所以D不正确. 14．【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， 结合“零点相邻函数”的定义可得，则，据此可知函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根， 整理可得：，令，则， 根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，则据此可知实数的取值范围是. 15．（1）因为由正弦定理可得，即. 由余弦定理知又因，所以； （2），的面积，即， 所以， 所以，即.所以的周长为. 16．（1）设等差数列公差为d，正项等比数列公比为q(q>0)，依题意，，解得， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由(1)知，，数列是等差数列，首项为2，公差为4，，数列是等比数列，首项为4，公比为4，而，数列的前21项的和： ， 所以数列的前21项的和为. 17．（1）当时，， 当时,， 所以. （2）当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 18．（1）连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则，于是 （3）[方法一：几何法]   过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.由题干数据可得，，，根据勾股定理，，由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]   辅助线同方法一.设点到平面的距离为. ， . 由，即. 1）当时，，， ，则， 则的图象在处的切线方程为，即； （2）（i）， 令，由恰有两个极值点，， 则有两个不同实数根，，且， 则有，即； （ii）由（i）知，，且，， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即，即可得证：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$