第三章 一次方程（组）知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

第三章 一次方程（组）知识归纳与题型突破（题型清单） 1.方程的概念：含有未知数的等式叫方程 注意：方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示，方程中的未知数的个数不一定是一个，可以是两个或两个以上。 2.解方程和方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。 解方程是一个过程，方程的解是一个结果。 检验一个数是不是方程的解，只需要将这个数代入原方程即可。若方程两边相等，则这个数是方程的解，反之则不是。 3.解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．这些步骤不是固定不变的，有时可以省略某个步骤，主要是根据方程的特点灵活选用。 4.一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1的方程。 特点：a.只有一个未知数； b.未知数的次数是1； C.可带分母，但分母不能带有未知数。 5.等式的性质 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a= b，那么ac=bc;如果a＝b（c≠0），那么=. 6.方程解的检验方法 把所得的未知数的值分别代人原方程的左、右两边，看左、右两边是否相等，如果相等，那么就是原方程的解，否则就不是． 注意：一定要把未知数的值代入原方程，不要代入变形后的方程，因为变形过程有可能出错． 7.理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况 (1)a≠0时，方程有唯一解x=； (2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b≠0时，方程无解。 8.二元一次方程组概念： ①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。 一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0） 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。 ②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。 注意：只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。 9．二元一次方程和二元一次方程组的解 （1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 （2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解） 注：①写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。 二元方程解的写法的标准形式是：，（其中a、b为常数）； ②一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组； ③而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。 10.二元一次方程组的解的讨论： 已知二元一次方程组 ①当时，有唯一解； ②当时，无解； ③当时，有无数解。 11.二元一次方程组的解法——消元 代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 12.实际问题与二元一次方程组 （1）利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记） （2）列方程组解应用题的常见题型： （1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量； （2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； （3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等； （4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； ②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速； （5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）； （6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量； （7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量； （8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示； （9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； （10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。 13.三元一次方程组的解法 概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。 注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。 解三元一次方程组的基本思想（消元） 题型一　一元一次方程 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足条件（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24七年级上·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 7．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 题型二　等式的基本性质 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，下列等式变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式是由根据等式性质变形得到的，其中正确的有（　　） ①；②；③④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24七年级下·全国·期中）下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，那么 ，其依据是 ． 10．（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 题型三　一元一次方程的解法 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 3．（23-24七年级上·重庆·期末）已知关于x的方程与有相同的解，则 ． 4．（23-24七年级上·河南漯河·期中）解方程： (1) (2) 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型四　一元一次方程的应用 例题：（23-24七年级下·云南昆明·开学考试）元旦期间，嘉嘉、淇淇等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，嘉嘉与爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)嘉嘉他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助嘉嘉算一算，先回答用哪种方式购票更省钱，然后再说明理由； 巩固训练 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间． 3．（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 5．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 6．（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购： 超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有8名学生乘客买票，则总票款为______元； (2)若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为______元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 题型五　二元一次方程（组） 例题5-1：（重庆江津·期中）已知是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 例题5-2：（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）在下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·期中）若方程是二元一次方程，则 ， ． 7．（山东菏泽·期中）若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 8．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 题型六　二元一次方程组的解法 例题6-1：（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程组∶ (1)； (2)． 例题6-2：（河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 例题6-3：（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 3．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 4．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 5．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 8．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x 、y的方程组和的解相同，求 的值． 10．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 题型七　二元一次方程组的应用 例题7-1：（2024·安徽六安·模拟预测）某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双． 例题7-2：（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ (2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ (3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·海南海口·期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 4．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 5．（23-24七年级下·云南昭通·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 6．（23-24八年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 7．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 8．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 题型八　三元一次方程组 例题：（23-24七年级下·全国·期中）解方程组：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）解方程组： 2．（23-24六年级下·上海·期末）解方程组：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组）知识归纳与题型突破（题型清单） 1.方程的概念：含有未知数的等式叫方程 注意：方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示，方程中的未知数的个数不一定是一个，可以是两个或两个以上。 2.解方程和方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。 解方程是一个过程，方程的解是一个结果。 检验一个数是不是方程的解，只需要将这个数代入原方程即可。若方程两边相等，则这个数是方程的解，反之则不是。 3.解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．这些步骤不是固定不变的，有时可以省略某个步骤，主要是根据方程的特点灵活选用。 4.一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1的方程。 特点：a.只有一个未知数； b.未知数的次数是1； C.可带分母，但分母不能带有未知数。 5.等式的性质 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a= b，那么ac=bc;如果a＝b（c≠0），那么=. 6.方程解的检验方法 把所得的未知数的值分别代人原方程的左、右两边，看左、右两边是否相等，如果相等，那么就是原方程的解，否则就不是． 注意：一定要把未知数的值代入原方程，不要代入变形后的方程，因为变形过程有可能出错． 7.理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况 (1)a≠0时，方程有唯一解x=； (2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b≠0时，方程无解。 8.二元一次方程组概念： ①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。 一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0） 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。 ②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。 注意：只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。 9．二元一次方程和二元一次方程组的解 （1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 （2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解） 注：①写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。 二元方程解的写法的标准形式是：，（其中a、b为常数）； ②一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组； ③而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。 10.二元一次方程组的解的讨论： 已知二元一次方程组 ①当时，有唯一解； ②当时，无解； ③当时，有无数解。 11.二元一次方程组的解法——消元 代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 12.实际问题与二元一次方程组 （1）利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记） （2）列方程组解应用题的常见题型： （1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量； （2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； （3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等； （4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； ②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速； （5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）； （6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量； （7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量； （8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示； （9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； （10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。 13.三元一次方程组的解法 概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。 注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。 解三元一次方程组的基本思想（消元） 题型一　一元一次方程 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的概念可得且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数次数为1的整式方程，逐一判断． 【详解】解：A、符合定义，故正确； B、为分式方程，不是整式方程，故错误； C、未知数最高次数为2，故错误； D、含有两个未知数，故错误； 故选：A． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 4．（七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的判断．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、选项中方程符合一元一次方程的定义，本选项符合题意； B、选项中不是等式，不是方程，本选项不符合题意； C、选项方程中未知数的次数为2，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、选项中方程含有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意． 故选：A． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足条件（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ， ， 故选：B． 6．（23-24七年级上·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义及解绝对值方程，掌握一元一次方程的未知数的次数为1是解题的关键，同时关注一次项系数不为0．依据一元一次方程的未知数的次数为1且系数不为零求解即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 且， ， 解得：， 故选：A． 7．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可． 【详解】解：由题意可得且， 由可得， 由可得或 综上： 故答案为： 题型二　等式的基本性质 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，下列等式变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、等式两边同加4，得，故本选项的等式变形正确； B、由于，等式两边同除以，得，故本选项的等式变形正确； C、等式两边同乘，得，再在等式两边同加3，得，故本选项的等式变形正确； D、若，等式两边同除以a，则，故本选项的等式变形错误． 故选：D 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式是由根据等式性质变形得到的，其中正确的有（　　） ①；②；③④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据等式的性质一一判断即可． 【详解】解： ，故①正确，②错误； 当时，， ，故④错误； ，等式的左右两边同时除以2 ，故③正确； 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 5．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题． 根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B错误； C、若，则，故C正确； D、，当时，不成立，故D错误； 故选：C． 7．（23-24七年级下·全国·期中）下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查等式的性质，解题的关键是熟知移项的特点．根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边仍相等；等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式两边仍相等．作相应变形进而判断． 【详解】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加1，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质1，等式两边都加上，可得，原变形错误，故此选项符合题意； C、等式两边都都加上3，得，再减去y，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； D、等式两边都减去4，得，再减去，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，则或，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，则，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，那么 ，其依据是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可． 【详解】解： 故答案为：，等式的基本性质1 10．（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三　一元一次方程的解法 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可． （1）根据移项、合并同类项、系数化为解题即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可； （4）先整理，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （2） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （4） 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程． 把代入方程，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得． 故选：B 3．（23-24七年级上·重庆·期末）已知关于x的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 4．（23-24七年级上·河南漯河·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键： （1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可； （2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （3）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （4）先化简、再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 7．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 题型四　一元一次方程的应用 例题：（23-24七年级下·云南昆明·开学考试）元旦期间，嘉嘉、淇淇等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，嘉嘉与爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)嘉嘉他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助嘉嘉算一算，先回答用哪种方式购票更省钱，然后再说明理由； 【答案】(1)他们一共去了8个成人，4个学生 (2)购团体票更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总价单价数量求出购买16张团体票的总费用． （1）设成人人数为，则学生人数为，根据总费用成人票价人数学生票价人数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买16张团体票的总钱数，与300比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设成人人数为人，则学生人数为人， 根据题意得：， 解得：， ． 答：他们一共去了8个成人，4个学生． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元）， ， 购团体票更省钱． 答：购团体票更省钱． 巩固训练 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ 【答案】1.5或2.5小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相遇问题和追及问题的列式方法．设两人同时出发相向而行，需小时两人相距16千米，分两种情况进行解答：第一种情况：当两人没有相遇他们相距16千米，列出方程：；第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米，列出方程：，再解方程即可． 【详解】解：设两人同时出发相向而行，需小时两人相距16千米． 第一种情况：当两人没有相遇他们相距16千米， 依题意可得：，解得：； 第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米， 依题意可得：，解得：， 答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间． 【答案】第二天乙车返回B地花了3小时 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，找出等量关系建立方程是解题的关键． 设第一天乙车从B地到C地行驶的时间为小时，则甲车从A地到C地行驶的时间为小时，根据第二天在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时建立方程 ，求解即可． 【详解】解：设第一天乙车从B地到C地行驶的时间为小时，则甲车从A地到C地行驶的时间为小时，根据题意，得 解得： A、B两地的路程是：（千米）， 第二天乙车返回B地花的时间为：（小时）． 答：第二天乙车返回B地花了3小时． 3．（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)60 (2)12.5 (3)该户居民4月份用水，5月份用水 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用． （1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可； （2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可； （3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围． 【详解】（1）解：， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 5．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)70 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为． 故答案为：； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， ∴， ∴最小的数是8； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， 由日历表可知， 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； 当取20，取10，由日历表可知符合题意， ∴的最大值为． 6．（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购： 超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有8名学生乘客买票，则总票款为______元； (2)若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为______元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)360 (2)1350 (3)车上有学生乘客10人，非学生乘客40人 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）根据题目所给优惠方案进行计算即可； （2）根据题意所给优惠方案进行计算即可； （3）设车上有学生乘客x人，非学生乘客人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： （元）， 故答案为：360． （2）解：（元）， 故答案为：1350． （3）解：设车上有学生乘客x人，非学生乘客人， ， 整理得：， 解得：， ∴， 答：车上有学生乘客10人，非学生乘客40人． 题型五　二元一次方程（组） 例题5-1：（重庆江津·期中）已知是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得． 故选：B． 例题5-2：（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解；A、方程组中的一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的定义； ②，符合二元一次方程组的定义； ③，含有三个未知数； ④，符合二元一次方程组的定义； ⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次． 所以是二元一次方程组的有3个． 故选：B． 4．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A．，方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．，是二元一次方程组，故符合题意； C．，含有二次项，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．，不是整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意． 故选：B． 5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）在下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的两个整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含未知数的项的次数不都为1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、含未知数的项的次数不都为1，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 6．（23-24七年级下·全国·期中）若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：，． 7．（山东菏泽·期中）若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程，， ，，， 解得：，， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的定义问题． 根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：0． 题型六　二元一次方程组的解法 例题6-1：（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程组∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程组，熟练掌握解方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将二元一次方程组进行变形，然后再用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， 把代入①得， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 整理原方程组，得， 由①得：， 把③代入②得：， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 例题6-2：（河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 例题6-3：（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用代入消元法求解即可； （3）用加减消元法求解即可； （4）整理后用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴； （2）解：， 把①代入②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴； （3）解： ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （4）解： 整理，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 3．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 4．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 【答案】（2）  （3） 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设，进而得到，求解即可． 【详解】（2）设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （3）原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 5．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解，解二元一方程组， （1）根据题意得出是方程①的解，代入得出，同理解得 （2）由题可知，原方程组可变为，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 甲看错了②中的 是方程①的解 ，解得 ∵乙看错了①中的 ∴是方程②的解 ∴ 解得 综上：，. （2）由题可知，原方程组可变为 ，得 解得 把代入①解得 原方程组的解为. 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可； （2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：原方程组为， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 8．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组： （1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）解：由（1）可知方程组， 解得， ∴． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x 、y的方程组和的解相同，求 的值． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据两个方程组的解相同可得，解得，再代入，求得，，最后代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解集为， 把代入得，， 由得，， 把代入③得，， 解得， ∴ ． 10．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． （1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可； （2）根据（1）的结论代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， （2）解： 题型七　二元一次方程组的应用 例题7-1：（2024·安徽六安·模拟预测）某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双． 【答案】该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双 【分析】设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双．专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双． 根据题意， 得 解得 答：该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双． 例题7-2：（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ (2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ (3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． (3)方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是元． 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案； （3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨， 依题意有：， 解得：， 答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； （2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆， 依题意有：， ∴ ． ∵m，n均为正整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车； 方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． （3）方案1所需费用：（元）； 方案2所需费用：（元）； 方案3所需费用：（元）． ∵， ∴方案3所需费用最少，最少费用是元． 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 2．（23-24七年级下·海南海口·期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据图示可得：长方形的长可以表示为厘米，长又是75厘米，故，长方形的宽可以表示为厘米，或厘米，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：， 故选：C． 3．（湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 4．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生 (2)①方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆； ②方案二最省钱，最少租金3040元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐x，y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）①根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可． ②分别计算费用比较即可． 【详解】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生， 根据题意得：， 解得：， 则1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生； （2）①根据题意得：， 整理得：， 当时，；当时，，当时，， 方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆． ②各种租车费用：方案一租金：(元)； 方案二租金： (元) ； 方案三租金： (元)． ∵． ∴方案二最省钱，最少租金3040元． 5．（23-24七年级下·云南昭通·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元 (2)共有3种购买方案：方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”：方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”；方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝” 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组解决实际问题，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组与一元一次不等式组的综合运用是解题的关键． （1）设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意得：， 解得：， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）解：设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意可得：， 解得：， ∵m是正整数， ∴m可取30，31，32， ∴共有3种购买方案： 方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”： 方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”； 方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝”． 6．（23-24八年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 7．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 8．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米 (2)需支付的总费用为60000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 题型八　三元一次方程组 例题：（23-24七年级下·全国·期中）解方程组：． 【答案】方程组的解为 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，方程组利用加减消元法求出解即可，熟练掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， ∴方程组的解为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：①②得， ①③得， 联立④⑤得方程组， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为． 2．（23-24六年级下·上海·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解． 【详解】解： ①②得：， ②③得：， 联立④⑤得， ④⑤得： ，解得：， 将代入④得：，解得：， 将，代入③得：，解得：， 方程组的解为： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$